“分組”與“分配”問題的解決方法第六章計數(shù)原理2024/6/29例1．要把6本不同的書分為三份，一份1本，一份2本，一份3本，則共有多少種不同的分法？解：可分三步完成第一步：先從6本書中取1本作為第一份，第二步：再從剩下的5本書中取2本作為第二份，第三步：剩下的3本作為第三份即可故總共有種分法變式：要把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，

一人1本，一人2本，一人3本，又有多少種分法？分析：可先分成3份，再分別分配給這3人即可

不同元素完全不均勻分組問題（無序）

不同元素完全不均勻分配問題（有序）1.不同元素的分組及分配問題——①完全不均勻分組探究新知練習(xí)：要把7位同學(xué)分到3個班中，一個班1人，一個班2人，一個班4人，共有幾種分法？

題型一：不同元素完全不均勻分組/分配問題歸納總結(jié)變式．把6本不同的書分為三份，每份2本，則總共有多少種不同的分法？例2．6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種不同的分法解：若分三步考慮，即第一步：甲先從6本書中取2本有

種方法

，第二步：乙再從剩下的4本書中取2本有

種方法

，第三步：丙剩下的2本取2本有

種方法，則共有種分法

不同元素完全均勻分組問題（無序）

不同元素完全均勻分配問題（有序）1.不同元素的分組及分配問題——②完全均勻分組變式．把6本不同的書分為三份，每份2本，則總共有多少種不同的分法？1.不同元素的分組及分配問題——②完全均勻分組分析：每堆兩本，分三步完成，第一步從六本中任取兩本作為第一堆，有種取法，第二步從剩下的四本中任取兩本作為第二堆，有種取法，第三步剩下的兩本作為第三堆，有種取法.據(jù)分步乘法原理，分堆方法數(shù)是種.問題1：這樣分堆會有重復(fù)嗎？變式．把6本不同的書分為三份，每份2本，則總共有多少種不同的分法？1.不同元素的分組及分配問題——②完全均勻分組答：會造成重復(fù)分堆，例如假設(shè)這六本書編號為1，2，3，4，5，6號，先取兩本，取到3，4作為第一堆，再取5，6兩本作為第二堆，剩下1，2作為第三堆，這是一種分堆的方法.然后第二次分堆時，先取到1，2作為第一堆，再取到5，6作為第二堆，剩下3，4作為第三堆，顯然這種分堆方法跟第一種分堆方法是一樣的.而且繼續(xù)下去，這種分堆方法會重復(fù)3次，即次.問題2：怎么樣才能去掉重復(fù)的分堆呢？答：6次只算1次，可以除以得到，所以六本不同的書，平均分成三堆，最后的分堆方法數(shù)是種.問題1：這樣分堆會有重復(fù)嗎？題型二：不同元素完全均勻分組/分配問題①分組：一般地，把n個元素平均分成m組，每組k個元素（其中n=mk），則不同的分組方法有②分配：一般地，把n個元素平均分配給m個目標(biāo)，每個目標(biāo)k個元素（其中n=mk），則不同的分配方法有歸納總結(jié)練習(xí)：（列出式子即可）1、(1)要把8個人分成4組，每組2人，共有幾種分法？(2)若分成3組，一組1人，一組3人，一組4人呢？2、某工廠招了9名新工人，現(xiàn)要把他們分到3個車間，每個車間3人，共有幾種分法？課堂練習(xí)例3、要把5本不同的書分成3組，其中一組1本，另兩組各2本，有多少種不同的分法？變式：要把5本不同的書分給甲，乙，丙3個人，

一人1本，

兩人2本，有多少種不同的分法？解：第一步：先選1本出來作為一組，第二步：剩下的4本再均勻分為兩組即可故總共有種分法不同元素部分平均分組問題（無序）不同元素部分平均分配問題（有序）1.不同元素的分組及分配問題——③部分均勻分組部分均勻分組：各組依次選取,有k組均勻,

則除以k的全排列.練習(xí)1：7本不同的書，分成3份，兩份各2本，另一份3本，有___種不同的分法.13254672513467部分均勻分組：各組依次選取,有k組均勻,則除以k的全排列.練習(xí)2：將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6個小球放入3個不同的盒子中，若每個盒子放2個，其中標(biāo)號為1,2的小球放入同一個盒子中，有___種不同的放法.先分組，后分配：1.不同元素的分組及分配問題——③部分均勻分組課堂練習(xí)探究新知不同元素的分組與分配問題(1)完全平均分組：在分組時，每組元素的個數(shù)都相等.①只分組無分配時，需要除以這幾組的“全排列”，以確保消去重復(fù)；②分組且分配時，一種方法是先分組再分配；另一種方法是可以用分步乘法計數(shù)原理解題.(2)部分平均分組：在分組時，每組的個數(shù)是不均等的，而是有一部分個數(shù)相同．需要除以相同的組的“全排列”，保證沒有重復(fù)．(3)非平均分組：每組所要分的元素個數(shù)是不相同的．這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.解題思想：先分組、后分配1.不同元素的分組及分配問題——④多樣化分組例4：某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的3所中學(xué)進行支教，每所中學(xué)至少派到一名教師，有____種不同的分配方法.①“3、1、1型”：②“2、2、1型”：150先分組，后分配：探究新知練習(xí)：6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，每人至少一本，有___種不同的分法。①“1、1、4型”：②“1、2、3型”：③“2、2、2型”：共有90+360+90=540種方法.先分組，后分配：課堂練習(xí)例5:將6個相同的球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一球，有____種不同的放法.分組方法：①1、1、4型②1、2、3型③2、2、2型(分組分配法)共3+6+1=10種分法.分配方法：甲乙丙甲乙丙相同元素分3份，需2個不相鄰的隔板2.相同元素的分配問題——探究新知隔板法變式1：將14個相同的球放入4個不同盒子，每個盒子至少一球，有____種方法.相同元素分4份，需3個不相鄰的隔板14個球間有13個間隔2.相同元素的分配問題——探究新知隔板法變式2：方程x+y+z=18的正整數(shù)解有_______組.析：把18看成18個1相加，相當(dāng)于在17個間隔中插入2塊隔板111111111111111111[例6]將20個相同的球放入編號為1,2,3,4的4個盒子，每個盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號數(shù)，有____種放法.先將編號為1,2,3,4的4個盒子分別放入0,1,2,3個球，再將剩下的14個球放入4個盒子，每個盒子至少再放一球，即在14個球形成的13個空隙中插入3塊隔板12342.相同元素的分配問題——探究新知隔板法2.相同元素的分配問題——探究新知隔板法2.相同元素的分配問題——探究新知隔板法變式：12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，允許部分盒子不放球，則不同的放法有多少種？分析：允許部分盒子不放球，就意味著在用隔板分球時，隔板與隔板之間可以沒有球，即隔板可相鄰1234不妨先把3塊隔板和這12個球看成相同的元素來排成一列則此題可看成在總共15個位置中選3個來放隔板故隔板的位置有種不同的放法使用“隔板法”應(yīng)注意問題：（1）適用范圍：相同元素分配問題；（2）隔板的數(shù)量等于分組數(shù)減1；（3）“隔板不可相鄰”與“隔板可相鄰”的做法不同。問