高中數(shù)學(xué)(幕函數(shù))備課資料新人教A版必修1

高中數(shù)學(xué)(塞函數(shù))備課資料新人教A版必修1

歷史上數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明

你知道數(shù)學(xué)計算方面的三大發(fā)明嗎?這就是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對數(shù).

研究自然數(shù)遇到的第一個問題是計數(shù)法和進(jìn)位制的問題,我們采用的十進(jìn)制是中國人的

一大發(fā)明.在商代中期的甲骨文中己有十進(jìn)制,其中最大的數(shù)是3萬，印度最早到六世紀(jì)末

才有十進(jìn)制.但是，目前使用的計數(shù)法和阿拉伯?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早開

始使用,后來傳到阿拉伯，由阿拉伯人傳到歐洲,并被歐洲人所接受.

十進(jìn)制位置計數(shù)法的誕生，是自然數(shù)發(fā)展史上的一次飛躍，同一個數(shù)字由于它所在的位置

不同而有不同的值.無窮多個自然數(shù)可以用有限個符號來駕馭,所有的自然數(shù)都可以方便清

楚地表示出來.

16世紀(jì)前半葉，由于實際的需要,對計算技術(shù)的改進(jìn)提出了前所未有的要求.這一時期計

算技術(shù)最大的改進(jìn)是對數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用，它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計算的迫切需要.

為了簡化天文航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法.蘇

格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(Napier,J.15501617)在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中，首先發(fā)明了對數(shù)

方法.1614年他在題為《奇妙的對數(shù)定理說明書》一書中，闡述了他的對數(shù)方法，對數(shù)的使

用價值為納皮爾的朋友——英國數(shù)學(xué)家布里格斯(Birggs,H.15611630)所認(rèn)識，他與納皮

爾合作,并于1624年出版了《對數(shù)算術(shù)》一書，公布了以10為底的14位對數(shù)表,并稱以10

為底的對數(shù)為常用對數(shù).常用對數(shù)曾經(jīng)在簡化計算上為人們做過重大貢獻(xiàn)，而自然對數(shù)以及

以e為底的指數(shù)函數(shù)成了研究科學(xué)、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把對數(shù)的發(fā)明

與解析幾何的創(chuàng)始,微積分學(xué)的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.法國著名的數(shù)學(xué)家、

天文學(xué)家拉普拉斯曾說：“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命.”

一直到18世紀(jì),瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,L.1707~1783)才發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系,他指

出“對數(shù)源出于指數(shù)”，這個見解很快被人們所接受.

(設(shè)計者：鄧新國)

本章復(fù)習(xí)

整體設(shè)計

教學(xué)分析

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要的數(shù)學(xué)模型，面對紛繁復(fù)雜的變化現(xiàn)象,我們還可以

根據(jù)變化現(xiàn)象懂得不同特征進(jìn)行分類研究.而指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及暴函數(shù)是研究客觀

世界的變化規(guī)律的三類重要且常用的基本初等函數(shù)，本章學(xué)習(xí)了這三類基本初等函數(shù)的概

念和性質(zhì),因此我們對這一些基本知識和三類基本初等函數(shù)學(xué)完的前提下,綜合復(fù)習(xí)所學(xué)知

識,進(jìn)行知識梳理和整合，同時通過進(jìn)行知識梳理和整合，使學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò),強化數(shù)學(xué)思

想和方法的運用,通過復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)的復(fù)習(xí)，提高學(xué)生的綜合能力.

三維目標(biāo)

1.理解指數(shù)與對數(shù),指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的概念和聯(lián)系,通過提問,提高學(xué)生的

認(rèn)知水平,為學(xué)生塑造良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.讓學(xué)生熟悉，能更加熟練地解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)有關(guān)的問題，培養(yǎng)學(xué)生

數(shù)形結(jié)合的思想觀念及抽象思維能力.

3.對復(fù)合函數(shù),抽象函數(shù)有一個新的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題和交流以及分類討論

的能力.

重點難點

教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的圖象和性質(zhì).

1

教學(xué)難點：靈活運用函數(shù)性質(zhì)解決有關(guān)問題.

課時安排

1課時

教學(xué)過程

應(yīng)用示例

思路1

例1計算：

340.50.25(1)E(3)3(5)+(0.008)3-?(0.02)2X(0.32)2]4-0.0625;892211

lg5lg8000(lg2)2

(2).lllg6000.036IgO.122

活動：學(xué)生觀察、思考，學(xué)生觀察式子的特點，特別是指數(shù)和真數(shù)的特點，教師引導(dǎo)學(xué)生

考慮題目的思路,對有困難的學(xué)生及時提示,組織學(xué)生討論交流,并對學(xué)生作及時的評價.

()3372X0.512234解：(1)原式=[()X()?()+(0.2)X()+(0.2)2]

4-(0.5)X=234331

[4725656X+54-]+0.5=+105=.932727

lg5lg8000(Ig23)21g5lg(23103)(31g2)2

(2)=lllllg6000IgO.036IgO.llg(23102)lg(0.6)2IglO1

2222

31g5lg221g53(lg2)23[lg5lg2(lg5lg2)[6===.

1571g2lg32lg0.6lg6IgO.622

點評：在指數(shù)運算中,一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式,注意立方和立方差公式

在分?jǐn)?shù)指數(shù)幕當(dāng)中的應(yīng)用.

變式訓(xùn)練

b如果已知log5427=a,54=3,如何用a、b表示logl0881?

b解法一：由54=3得log543=b.

所以Iogl0881=log54811og5427log543abab===.

2a2Iog54271og541081og5421

ax解法二：由log5427=a，得54=27,設(shè)x=logl0881,則108=81,

2-lx2-axba所以(54X27)=3X27,即(54X54)=54X54.

2x-axa+b所以54=54,即2x-ax=a+b.

因此得x=ab.2a

點評：解法一是通過指數(shù)化成對數(shù),再由對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式計算結(jié)果;解法二是

通過2對數(shù)化成指數(shù),再由指數(shù)的運算性質(zhì)計算出結(jié)果，但解法二運算的技巧性較大.

Inn例2已知a>0,aWl,x=(aan),求(x+x2T)的值.211

活動：學(xué)生思考,觀察題目的特點,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,從整體上看,應(yīng)先化簡,

然后再求值,要有預(yù)見性,a與a

要時給予提示.

Inn21nlnlnn200nnxT=(a+a)T=(a+2?a+a)T=(a-2?a+a)=(a-a).

44442InIn具有對稱性,它們的積是常數(shù)1,為我們解題提供了思路，必11222211

Innln2n2這時應(yīng)看到xT=(aa)=|a-a\.241111

Innlnn21nn222解：將x=(a+a)代入xT,得xT=(a+a)T=(a-a).244

Innlnn2所以xT=(aa)=|a-a|,2411111111112x+x2-l=l(a+a21nln)+1a-

a21nln1an,a1,|=1an,0a1.

a,a1,

n所以(x+x2T)=1,0a1.a

點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵,要深刻理解這種做法.

例3若函數(shù)f(x)的定義域是(1,3]，求f(log3x)的定義域.2

活動：學(xué)生思考，小組討論,教師引導(dǎo),學(xué)生展示思維過程,教師評價.根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，

回顧求一個函數(shù)的定義域的方法.已知抽象函數(shù)f(x)的定義域，求抽象函數(shù)f[g(x)]的定

義域,要借助于f(x)的定義域來求，由于函數(shù)f(x)的定義域是(

范圍就是(1,3],所以f(log3x)中的log3x的21,3],從中解出x,即為f(log3x)的定義

域.2

11解:因為函數(shù)f(x)的定義域為(,3],所以f(log3x)中的log3x的范圍就是(,3],22

即0.5Vlog3xW3,即<xW9.

因此函數(shù)f(log3x)定義域為(3,9].

點評：求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍,對復(fù)合函數(shù)的

定義域要嚴(yán)格注意對應(yīng)法則.

3

變式訓(xùn)練

1.求函數(shù)y=l

5x

1x的定義域.1

2.求函數(shù)f(x)=()1的定義域.

答案：1.{x|xW0且xWl}.2.{x|xW0}.

思路219x

12x

例1求函數(shù)y=的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.4x

活動：學(xué)生觀察，思考交流,獨立解題,教師要求學(xué)生展示自己的思維過程.求函數(shù)的定義

域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍；函數(shù)的值域要根據(jù)定義域來求;求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間一般用定義法,有時也借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.由于自變量處在指數(shù)位置上,分

母是一個指數(shù)式,因此自變量取值無限制;值域轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),單調(diào)區(qū)間用復(fù)合函數(shù)的單

調(diào)性確定.

12x

解：函數(shù)丫=的定義域是全體實數(shù)，x4

1x1211211112x

0因為y==［()］》，所以函數(shù)的值域為［,+8).xxx22444224

1X),則它在(-8,+8)上單調(diào)遞減，2

11121而二次函數(shù)y=(u)在uW時是減函數(shù)，在u?時是增函數(shù)，2224

1x11x1令0W,則x》l,令()2,則xWl,2222設(shè)u=(

12x

所以函數(shù)丫=在［1,+8)上是增函數(shù)，在(-8,1］上是減函數(shù).4x

點評：這里求函數(shù)值域的方法是配方法,求單調(diào)區(qū)間是用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定的.例2

已知函數(shù)f(x)=x(ll+).2x12

(1)指出函數(shù)的奇偶性,并予以證明；

(2)求證：對任何x(xGR且x#0),都有f(x)>0.

解：(1)因為f(x)的定義域是不為0的實數(shù),關(guān)于原點對稱，

又f(-x)=-x(l

2xll1112x2x)=x(x+)=x(xT+)=x(x+)=f(x),所以21221221221

f(x)是偶函數(shù).

x(2)當(dāng)x>0時,2>1,所以f(x)>0.

當(dāng)xVO時,由f(x)為偶函數(shù)，有f(x)=f(-x)>0.

4

所以對一切xGR,xWO,恒有f(x)>0.

點評：利用函數(shù)的奇偶性?？墒菇夥ê喕?如本題，當(dāng)x<0時，證明f(x)>0較繁,若注

意到f(x)為偶函數(shù)，則只需證明當(dāng)x>0時,f(x)>0,而這是顯然的.

知能訓(xùn)練

課本P82復(fù)習(xí)參考題A組1、3,4、6、8、10.

拓展提升

問題：已知過原點0的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，過

A作x軸的垂線,垂足為E,過點B作y軸的垂線,交EA于C,若

C恰好在函數(shù)y=log2x的圖象上，試求A、B、C三點的坐標(biāo).

活動：學(xué)生先仔細(xì)審題，理解題目的含義,然后思考交流，教師適當(dāng)時候提示指導(dǎo).畫出

函數(shù)的圖象,設(shè)出點的坐標(biāo)，由圖形間的關(guān)系建立方程求解.

解：先畫出函數(shù)的圖象如圖

圖2-1

設(shè)A(xl,log8xl)、B(x2,Iog8x2),

則C(xl,Iog8x2).因為C在函數(shù)y=log2x的圖象匕

所以Iog8x2=log2xl,即

所以x2=xl.又3110g2x2=log2xl.3xl0E0Fx2=，即=,EAFBlog8xllog8x2

33所以xllog8xl=xllog8xl.

3所以3xllog8xl=xllog8xl.由xl>l,所以log8xl以1.

從而有3xl=xl.所以xl=,x2=3.3

所以A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A(,log83)、B(3,log83)、C(,log23).課后作業(yè)

課本P82復(fù)習(xí)參考題A組2、5、7、9.

設(shè)計感想

本堂課是對過去學(xué)過的一章知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，目的是構(gòu)建知識體系,形成知識網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)解

題的方法規(guī)律和思想，以便綜合運用這些知識，使學(xué)生能夠見題想法，見題有法,能夠做到一

題多解,觸類旁通，由于涉及的知識點和方法思想較多,所以設(shè)計的題目也較多,要注意解題

方法的總結(jié)和提煉,希望加快處理速度,提高課堂復(fù)習(xí)效果，做到以不變應(yīng)萬變，使全體同學(xué)

在知識和技能上都有較大的提高.

習(xí)題詳解

(課本第82頁復(fù)習(xí)參考題)

A組5

1.(1)11；(2)

1

2

791；(3)；(4).8251000

1

2

2

12

12

2

2.(1)原式二

(ab)(ab)(ab)(ab)

12

12

12

12

a2abba2abb2(ab)

=;abab

1

2121212

1

a2l(aa1)2(2)原式=二2.11

la1(aa)(aa)

a

a

a

10

lg5=llg2,3.(1)因為lg2=a,Ig3=b,logl25=

Igl21g22321g2lg3

lg

所以logl25二(

1a

2ab

2

3

)因為

1

3(b)1

log72731og7213(log32log37)1

log23=a,log37=b,logl456=====

11log32log3710g7271log72

1ba

ab3

,ab1

11

4.(1)(一8,)u(,+8)；(2)[0,+8).

22

2

5.(,1)U(l,+8)；(2)(-00,2);(3)(-8,1)u(l,+oo).

3

6.(1)因為Iog67>log66=l,所以log67>L

又因為Iog76<log77=l,所以log76<l.所以Iog67>log76.

(2)因為log3n>log33=l,所以log3.>1.又因為log20.8<0,所以log3n>log20.8.

xxyx+y

7.證明：(1)因為f(x)=3,所以f(x)?f(y)=3X3=3.

x+y

又因為f(x+y)=3,所以f(x)?f(y)=f(x+y).

xxyx-y

(2)因為f(x)=3,所以f(x)4-f(y)=34-3=3.

又因為f(x-y)=3,所以f(x)4-f(y)=f(x-y).8.證明：因為f(x)=lg

1x

,a>be(-1,1),1x

所以f(a)+f(b)=lg

1alb(1a)(1b)

lg=lg,1alb(la)(1b)

ab

ab)f()=lg(

ablab

1

1ab

16

=lglabab1abab

=lg(la)(1b).(1a)(1b)

ab).1ab

X所以f(a)+f(b)=f(9.(1)設(shè)保鮮時間y關(guān)于儲藏溫度X的函數(shù)解析式為y=k?a

(a>0,且a#l).

因為點(0,192)、(22,42)在函數(shù)圖象上，

k192,0192ka,所以解得7220.93.42ka,a32

所以y=192X0.93,

x即所求函數(shù)解析式為y=192X0.93.

(2)當(dāng)x=30C時,y^22(小時)；

當(dāng)x=16℃時,y*60(小時)，

即溫度在30℃和160c的保鮮時間約為22小時和60小時.

圖2-2

10.解析：設(shè)所求幕函數(shù)的解析式為f(x)=x，因為f(x)的圖象過點(2,

11a2),212aa2所以=2,即2=2.所以a=.所以f(x)=x2(x>0).22

圖略,f(x)為非奇非偶函數(shù)；同時它在(0,+8)上是減函數(shù).

B組

1.A

2.因為2=5=10,所以a=log210,b=log510,所以abllll+=+=lg2+lg5=lgl0=l.

ablog2101og510

3.(1)f(x)=a2在x￡(-°°,+°°)上是增函數(shù).2x1

22-a+2x12x21證明：任取xl,x2W(-oo,+oo)，且xl〈x2.f(xl)-f(x2)=a7

=22-2x212x11

2(2x12x2)=x.xl2(21)(21)

因為X1,X2W(-8,+8),

所以2x210.2x110.

又因為xl<x2,

所以2x12x2即2x12x2<0.所以f(xl)-f(x2)<0,即f(xl)<f(x2).

所以函數(shù)f(x)=a2在(-8,+8)上是增函數(shù).2x1

(2)假設(shè)存在實數(shù)a使f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)+f(x)=0,即a1

2x1

1二x為奇函數(shù).21+a21121=0a=+=+=l,即存在實數(shù)使f(x)

2x12x12x12x12x1

exexexex

4.證明：(1)因為f(x)=,g(x)=,22

所以Eg(x)]-[f(x)]=[g(x)+f(x)][g(x)-f(x)]22

exexexexexexexex

)=(2222

二e,e=e=e=l,

即原式得證.x-xx-xO

exexexex

(2)因為f(x)=,g(x)=,22

e2xe2x

所以f(2x)=,2f(x)?g(x)2

exexexex

二2??22

e2xe2x

=.2

所以f(2x)=2f(x)-g(x).

exexexex

(3)因為f(x)=,g(x)=,228

e2xe2x

所以g(2x)=，2

exex

2exex2Eg(x)]+[f(x)]=()+()2222

e2x2e2xe2x2e2x

=4

e2x