高中數(shù)學(xué)三角恒等式變形解題常用方法

一.知識分析

1.三角函數(shù)恒等變形公式

(1)兩角和與差公式

(2)二倍角公式

(3)三倍角公式

(4)半角公式

(5)萬能公式

l-tan^2-

22

sma=cosa----------------tana=-----------

.~2a

1+t3X)1+tan-,1-tan—

222

⑹積化和差

smaco$B=p)+sm(a-朗

cosasin=-[sm(a+?-sm(a-P)]

cosacosP=-[cos(a+p)+cos(a-朗

2

(7)和差化積

a+0a-0

sma+sm0=2$m-------cos

2~2~

a+p,a-6

sma-sm0=2co$--------5m--------

22

a+6a-0

co$a+cos|3=2cos--------cos--------

22

2.網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造

3.根基知識疑點(diǎn)辨析

(1)正弦、余弦的和差角公式能否統(tǒng)一成一個三角公式

實(shí)際上，正弦、余弦的和角公式包括它們的差角公式，因?yàn)樵诤徒枪街?，。是一個任意角,

可正可負(fù)。另外，公式0聲、見鄒雖然形式不同，構(gòu)造不同，但本質(zhì)一樣：

cos(a+p)>cos(a-囪---------->?n(a+的>ftn(a-勒。

(2)若何正確理解正切的和差角公式

正確理解正切的和差角公式需要把握以下三點(diǎn)：

tan(a+P)=------------

①推導(dǎo)正切和角公式的關(guān)鍵步驟是把公式cos(a+仇，右邊的“分子〃、“分母”

都除以co$aco$0,從而“化弦為切”，導(dǎo)出了幾邛。

②公式邑鄒都適用于a,0為任意角，但運(yùn)用公式7#時，必須限定Q0,a土R都不

等于2'\

③用代替°,可把1邛轉(zhuǎn)化為7-B,其限制條件同②。

(3)正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些應(yīng)用

①不用計算器或查表，只通過筆算求得某些特殊角(例如15°,75°,105°角等)的三角函

數(shù)值。

②能由兩個單角aP'的三角函數(shù)值，求得它們和差角的三角函數(shù)值；能由兩個單角③口的

三角函數(shù)值與這兩個角的范圍，求得兩角和的大小(注意這兩個條件缺一不可)。

③能運(yùn)用這些和(差)角公式以及其它有關(guān)公式證明三角恒等式或條件等式，化簡三角函

數(shù)式，要注意公式可以正用，逆用和變用。運(yùn)用這些公式可求得簡單三角函數(shù)式的最大值或最

小值。

(4)利用單角的三角函數(shù)表示半角的三角函數(shù)時應(yīng)注意什么

.21-cosa2a_l+co?a

先用二倍角公式導(dǎo)出5"-2-2=一~,再把兩式的左邊、右邊分別相除，得

a1-cosaaa/1+cosa

2tan—=----------sm—=±J----------cos—=x.J----------

到21+cosa,由此得到的三個公式：2n2,172,

a,h-cosaa

2Fl+cosa分別叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根號前的符號，由2所在

的象限來確定，如果沒有給出限制符號的條件，根號前面應(yīng)保持正、負(fù)兩個符號。另外，容易

asina1-cosa

tan—=-----------=------------

證明21+cosasma。

4.三角函數(shù)變換的方法總結(jié)

三角學(xué)中，有關(guān)求值、化簡、證明以及解三角方程與解幾何問題等，都經(jīng)常涉及到運(yùn)用三

角變換的解題方法與技巧，而三角變換主要為三角恒等變換。三角恒等變換在整個初等數(shù)學(xué)中

涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，假設(shè)能熟練掌握三角

恒等變換的技巧，不但能加深對三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解，而且對開展數(shù)學(xué)邏輯思維

能力，提高數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力都大有益處。下面通過例題的解題說明，對三角恒等變換

的解題技巧作初步的探討研究。

(1)變換函數(shù)名

對于含同角的三角函數(shù)式，通常利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，通過“切

割化弦”，"切割互化〃，“正余互化〃等途徑來減少或統(tǒng)一所需變換的式子中函數(shù)的種類，

這就是變換函數(shù)名法.它實(shí)質(zhì)上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發(fā)現(xiàn)

解題途徑。

【例1】。同時滿足asec2e-bcos9=2a和6cos2§_a$ec6=乃,且a、b均不為0,求a、b

的關(guān)系。

asec2G-6cos0=2a①

解析.bcos2Q-astcQ-2b②

顯然有：cos6^0

由①Xcos29+②Xcos0,得：2acos2。+2bcos。=0

即有：acos9+b=0

又aWO

所以，cos0=-b/a③

將③代入①得：a(―a/b)2—b(―b/a)=2a

即a4+b4=2a2b2

/.(a2—b2)2=0即IaI=IbI

點(diǎn)評：本例是“化弦〃方法在解有關(guān)問題時的具體運(yùn)用，主要利用切割弦之間的基本關(guān)

系式。

(2)變換角的形式

對于含不同角的三角函數(shù)式，通常利用各種角之間的數(shù)值關(guān)系，將它們互相表示，改變原

角的形式，從而運(yùn)用有關(guān)的公式進(jìn)展變形，這種方法主要是角的拆變.它應(yīng)用廣泛，方式靈活,

如a可變?yōu)?a+B)—B；2a可變?yōu)?a+B)+(a—B)；2a—B可變?yōu)?a—B)

+a；a/2可看作a/4的倍角；(45°+a)可看成(90°+2a)的半角等等。

【例2】求sin(9+75°)+cos(0+45°)—Acos(9+15°)的值。

解析：設(shè)0+15°=a,則

原式=sin(a+60°)+cos(a+30。)—7cosa

=(sinacos60°+cosasin60°)+(cosacos30°—sinasin30°)3cosa

工迫且工

=2sina+二cosa+2cosa—2sina—\-?cosa

=0

點(diǎn)評：本例選擇一個適當(dāng)?shù)慕菫椤盎玖俊?，將其余的角變成某特殊角與這個“基本

量〃的和差關(guān)系，這也是角的拆變技巧之一。

sinfl

【例3】sina=Asin(a+B)(其中cosBWA),試證明：tan(a+B)=cos產(chǎn)-A

證明：條件可變?yōu)椋簊in[(a+p)-0]=Asin(a+0)

所以有：sin(a+P)cosP—cos(a+B)sinB=Asin(a+B)

sin(a+B)(cosB—A)=cos(a+3)sinB

sinfl

tan(a+B)=cosJ3-A

點(diǎn)評：在變換中通常用到視"復(fù)角”為"單角”的整體思想方法，它往往是尋找解題突破

的關(guān)鍵。

(3)以式代值

利用特殊角的三角函數(shù)值以及含有1的三角公式，將原式中的1或其他特殊值用式子代換,

往往有助于問題得到簡便地解決。這其中以“1”的變換為最常見且最靈活。“1”可以看作是

sin2x+cos2x,sec2x—tan2x,csc2x—cot2x,tanxcotx,secxcosx,tan450等，根據(jù)解題的需要，適時

地將“1”作某種變形，常能獲得較理想的解題方法。

1-sm6x-cos*x

【例4】化簡：1-sm*x-cos*x

(smJx+cos2x),-sm6x-cos6x

解析：原式=(sin*x+cos。)-sm'x-co”x

3sin*xcos2x+3$m2xcos*x

=2sm2xcos2x

35tn2xcos2x(sm2x+cos2x)

=2sin2xcos3x

3

=2

點(diǎn)評：1="$m'x+cos"x”的正用、逆用在三角變換中應(yīng)用十分廣泛。

(4)和積互化

積與和差的互化往往可以使問題得到解決，升幕和降次實(shí)際上就是和積互化的特殊情形。

這往往用到倍、半角公式。

【例5】解三角方程：sin2x+sin22x=sin23x

解析：原方程變形為：

222

2(1—cos2x)+2(1—cos4x)=2(1—cos6x)

即：1+cos6x=cos2x+cos4x

2COS23X=2COS3XCOSX

得：cos3xsin2xsinx=0

￡n_

解得：x=3A-/T+7或x=2^(keZ)

，原方程的解集為{X|X=3A7T+石或X=5A7T#WZ}

點(diǎn)評：題中先降次后升累，這種交織使用的方法在解三角方程中時有出現(xiàn)，其目的是為了

提取公因式。

(5)添補(bǔ)法

與代數(shù)恒等變換一樣，在三角變換中有時應(yīng)用添補(bǔ)法對原式作一定的添項(xiàng)裂項(xiàng)會使某些問

題很便利地得以解決。將原式“配〃上一個因子，同時除以這個式子也是添補(bǔ)法的一種特殊情

形。

sin2x1+cosx

【例6】求證：(而x+8sx-l)(sinx-cosx+1)=而”

(sinx+cosx)J-1

證明：左邊=(沏x+co$x-co$x+l)

(sinx+cosx+1)sinx

=(stnx-cosx+1)stnx

(1-cos2x)+smx(l+cosx)

=(stnx-cosxI)sinx

(1+cosx)C-cosx+smx)

=(stnx-cosx+l)stnx

1+COSX

=smx=右邊

，原式成立。

點(diǎn)評：本例中采用“加一項(xiàng)再減去一項(xiàng)〃，“乘一項(xiàng)再除以一項(xiàng)”的方法，其技巧性較強(qiáng),

目的都是為了便于分解因式進(jìn)展約分化簡。

(6)代數(shù)方法

三角問題有時稍作置換，用各種代數(shù)方法對三角函數(shù)式作因式分解、等量置換等的變形，

從而將三角問題轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題來解，而且更加簡捷。這其中有設(shè)元轉(zhuǎn)化、利用不等式等方法。

$m4acos4a.

—5-+—5-=1

【例7】銳角a、B滿足條件8Sfi胸’力，則以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()

匹￡

A.a+BW2B.a+3<2

nn

C.a+0>2D,a+B=5

解析：令sina=a,co$￡=b,則有臺\.b

整理得：(a-b)即a=b

即：sin2a=cos2P(a,B同為銳角)

.".sina=cosB

7T

...a+B=5,故應(yīng)選D。

點(diǎn)評：本例用設(shè)元轉(zhuǎn)化法將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。換元法這種數(shù)學(xué)思想應(yīng)用十分廣泛,

往往能收到簡捷解題的效果.

(7)數(shù)形結(jié)合

有的三角變換問題蘊(yùn)含著豐富的幾何直觀，此時假設(shè)能以數(shù)思形，數(shù)形滲透，兩者交融，

則可開辟解題捷徑。利用單位圓，構(gòu)造三角形，利用直線、曲線的方程等方法都是數(shù)形結(jié)合的

思想。

sma+smpQ=-1cosa+cosp。=—1.,.

【例9】：4,3,求tan(a+向的值。

解析：???點(diǎn)A(3$a,s?na),B(cos即￡l均在單位圓上。

由條件知：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(1/6,1/8),即直線AB過

定點(diǎn)C

如以以以下列圖所示

tan(a+0=—

???據(jù)萬能公式得：7

點(diǎn)評：此題用和差化積公式也不難求得，但在三角問題中利用單位圓是常見的研究方法。

數(shù)形結(jié)合方法在三角變換中應(yīng)用類型頗多，篇幅所限，僅舉一例，本文不贅。從六、七兩種方

法可以看出，將代數(shù)、幾何與三角有機(jī)聯(lián)系起來，綜合運(yùn)用，在解三角變換題中，不僅構(gòu)思精

巧，過程簡易，趣味橫生，而且還溝通數(shù)學(xué)知識的縱橫關(guān)系，也有利于多向探求，廣泛滲透，

提高和開展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

以上探討了三角變換中的七種變換思想和解題方法，在實(shí)際解題中這些方法是交織在一起

的，混合于同一問題中靈活使用。掌握這些變換方法的前提是熟悉公式，善于公式的變形運(yùn)用，

同時注意縱橫聯(lián)系數(shù)學(xué)知識用發(fā)散性的思維考慮問題。三角變換的技巧除了以上七個方面外，

還有平方消元，萬能置換，利用正余弦定理進(jìn)展邊角轉(zhuǎn)換，利用輔助角，借用復(fù)數(shù)表示等方法

我們以后有時機(jī)再介紹。

5.非特殊角的化簡、求值問題的解題方法探究

非特殊角的化簡求值是給角求值中一類常見的三角求值類型，對于此類求值問題，由于涉及到

的三角公式及其變形靈活多樣，因而若何利用三角公式迅速準(zhǔn)確的求值應(yīng)是解決這類問題的重

點(diǎn)，現(xiàn)在我們通過一個題目的解法探尋，體會非特殊角三角函數(shù)的求法。

【題目】求)'=1即20°+4勺1)2「的值。

分析1：這是一道給角求值中非特殊角的化簡求值問題，仔細(xì)觀察可看出在所求式子中有

一項(xiàng)為哪一項(xiàng)正切函數(shù)、一項(xiàng)為哪一項(xiàng)正弦函數(shù)，因此通常運(yùn)用切割化弦，然后通過通分化簡,

使其化為特殊的三角函數(shù)值。

解法1:

點(diǎn)評：通分以后，要將和式轉(zhuǎn)化為積式，需將2sin400拆項(xiàng)為s1n400+sin400,這是將和式

轉(zhuǎn)化為積式中常用的變形手段，在將和差化積后要盡可能的出現(xiàn)特殊角特殊值，這樣才有可能

使化簡得以進(jìn)展下去。

分析2：運(yùn)用切割化弦，通過通分化簡后，假設(shè)不考慮將和式轉(zhuǎn)化為積式，而是對角進(jìn)展

變換,觀察到運(yùn)算的式子中出現(xiàn)的兩角為20°,40°,與特殊角比較則會有60°-40°=20°,

變角后再應(yīng)用兩角差的正弦公式展開進(jìn)展化簡。

解法2：

,sin6

tan9=----

分析3：我們在運(yùn)用“切割化弦”時，假設(shè)不利用商數(shù)關(guān)系COS0,而是將tan20°

01-co$0

利用半角公式,麗5=sine進(jìn)展化弦,也能進(jìn)展求值。

解法3：

分析4：從以上路徑可以看出而出是一個特殊的三角函數(shù)值，考

慮它等于什么呢t孤60°=君，因而考慮可否會有tanZ^+dsinZTranGO。，這樣問題就轉(zhuǎn)化

為等式的驗(yàn)證。

解法4：

/.有tan200+4sin200=tan60°=也

點(diǎn)評：本路徑采用了綜合法，只進(jìn)展等式tanZtr+dsinZrEanGO。的驗(yàn)證，問題就得以解

決。

分析5：利用倍角公式可得到sm400=2sin2kcos200,能否再對角進(jìn)展適當(dāng)?shù)淖儞Q，出現(xiàn)

特殊角，我們發(fā)現(xiàn)40°=60°-20°,這樣變角后利用兩角差的正弦公式展開化簡，也能求

值。

解法5：

將等式可寫成$in(60°-20°)=2s>n20°cos200

兩邊同除以cos20：得

點(diǎn)評：此題利用綜合法求得了tan200+4sin200的值，在這里首先進(jìn)展角的變換，然后利用

兩角差的正弦公式展開，合并同類項(xiàng)后，再進(jìn)展弦化切割，從而得到所要求的值。

以上我們探尋了不查表求非特珠角的三角函數(shù)的值的問題，對于這類問題，要從多方面考

慮解決的方法，在這里我們是從三角函數(shù)的“變名〃”變角〃”變式〃“切割化弦〃弦化切割〃

等方面而進(jìn)展了三角恒等變形，這在以后的學(xué)習(xí)訓(xùn)練中要逐步體會掌握。

【典型例題】

■+1強(qiáng)-1

例1.化簡cos(3刀+a)+cos(3幾一。)，其中kGZ。

解析：解法一：

XXX

原式=cos[%"+(3+a)]+cos[k幾一(3+a)]=cosk"cos(3+a)—sin%

XXKX

"sin(3+a)+cosk〃cos(3+a)+sin攵"sin(3+a)=2cos左力cos(3+。)，[k

ez)

z

當(dāng)k為偶數(shù)時，原式=2cos(3+。)=cosa—J3sina

x

當(dāng)上為奇數(shù)時，原式=-2cos(3+。)=sin-coso

總之，原式=(-1)〃(cos。一J^sin。)，kGZ

XX

解法二：由(左力+3+。)+(k九一3—a)=2k兀,知

XXX

cos口"―3—Q)=cos\_2k乃一(3+〃+左/)]=cos]一口乃+3+。)]=cos

X

口"+7+。)

XX

二?原式=2cos(左開+3+。)=2X(—1)Qos(3+。)=(―1)k(cos。一bsinQ),

其中kRZ

XXH

點(diǎn)評：原式=(2。$(kn+3+a)+cos(kn-3-a)=cos\_kn+[3+a)]+cos\_kn

z

—(3]這就啟發(fā)我們用余弦的和(差)角公式。

21tana

例2.sin(a+￡)=3,cos(a—￡)=5,求13np的值。

解析：解法一：由條件及正弦的和(差)角公式,

tana

解法二：（設(shè)未知數(shù)）令x=戶

tana13

，，=n=___

解之得tan,

,.sinJ4+COS^=.AC=-2.AB=3.

例3.在AA皮7中，2求tanH的值和AA5C的面積。

,72$m-4=-----------

,smJ4+COSJ4=—<4

2*^/2-5/6

解析：解法一：解方程組lsm,/+cM4=l得cosA=-----------

4,故

tan=-2--\/3o

==3無;"=\低+病)

向44=之

解法二：由",鼠及($m/+cos/)’=1+25m/co”得

[3

2smAcosA=—(Sm4-cosAf=—

2,可得''2

因?yàn)閟mH+cos4<1,所以90°<4<180°,故sm4-co$4>0,即

夜

一V2+yfc

2$m,4=-----------

百4

AV2-A/6

2得cosA=-----------

解方程組4故tan/=-2-招。

（以下同解法一）

smA+cosAs5/2cosM-450)=

解法三：因?yàn)?,

1

86(4-450)=

所以2o

又0°<<<180°,

故4一45°=60°,/=105°,血力=-2-后

（以下同解法一）

例4,sm3200+cos3500+sin200cos500

解析：解法一：此題可利用降累、積化和差、和差化積等公式進(jìn)展恒等變形化簡。

原式=(stn20°+co$50°y-sm200cos50°

解法二：利用“整體配對”思想，構(gòu)造對偶式來解題

設(shè)乂=sm3200+cos500+sin200cos500

則H+5=2+sin700

兩式相加得4

3

$m320°+cos350°+sm200cos500=-

即4

n,3^r1

cos一—cos—+cos—=一

例5.(第5屆IMO試題)證明7772

A=cos-cos—+cos—

解析：設(shè)777

△a萬,"升上a3/r_開萬斬c2開切

則777777777

玩

竺

玩

”

開

22開

疝

2血2

十?

B2=$mn----

SW7Is277sin7stn7

c7

4C”5

(

一

爐7一OS7

.?.2/=3-5/

，2或4=-3［舍去）

【模擬試題】

一、選擇題：

sin2a=-,?r<a<—.KOsina+cosa^,

1.42的值為0

_1士立

A.2B.2C.2D.2

2.cos24,cos36*-cos66"cos54*的值為()

J也_1

A.OB.2C.2D.2

3.tan20'+tan40'+由tan20'tan40"的值為（）

也

D,上

A.1B.3C.—也,

4.AASC的兩內(nèi)角A,B滿足sinRsm8〈cosRcosB,則此三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

5tan(or+=3,tan(a->5)=5

則tan2a的值為（）

41

A.7B.7C.8D.8

2=吏心.」」—.3開627r

n（a+

6.222＜則制向的值為（）

一直1

A.2B.-1C.2D.2

7.假設(shè)彳＜5,則"l-sm26的值為U

A.cos8-sin8B.s】n8-cos8

C.72sinD.72cos

8.函數(shù)尸=sm'x+co/x的值域是（）

13D.即

c

A.MUB」-U]七節(jié)

4

9.等腰三角形頂角的余弦值等于弓，則這個三角形底角的正弦值為（）

Tic損3而3聞

A,而B.10C.10D.

I。tan7爐cosl()[>/5tan20'-1)等于()

A.-IB.1C.2D.12

二、填空題

11.在A45c中,tanA,tanB是方程3x?-7x+2=0的兩個實(shí)根，則tanC=

3sin2x+2co$2x

12.tanx=2,貝ijcot2x-3$in2x的值為

sin320#+cos350'+sin20'cos50*=-

13.觀察以下各等式

23

s>na15，+co?45*+sinl5,cos45*=-s>n3120*+cosa150*+sin120*cos150+=-

4,4,根據(jù)其共同特

點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式。

14.直線,14,A是之間的一定點(diǎn)，并且A點(diǎn)到44的距離分別為仁濟(jì)，B是直線4上

一動點(diǎn)，作ACLAB,且使AC與直線4交于點(diǎn)C,則面積的最小值為

三、解答題：

1+刖26-cos20

15.化簡l+$in26+cos%

16一m+小卜代⑼1，求呢㈤0的值

2-2sinfa+-lcos(a+—1

I4J(l+tana

17.證明：cos4a-sin4a1-tana

18.知函數(shù)，=sin」x+$s2x+38$'x,求

(1)函數(shù)的最小值及此時的x的集合

(2)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間

(3)此函數(shù)的圖像可以由函數(shù)y=點(diǎn)現(xiàn)n2x的圖像經(jīng)過若何變換而得到

一.[-[

w=(a-sm&--)n-(―,cos0)

19.向量2,2。

(1)當(dāng)a=0,且情〃行時，求sm%的值

(2)當(dāng)〃=孚

且州_L力時，求cos20的值

【試題答案】

一、選擇題:

1.C2.B3.D4.C5.A

6.C7.B8.D9.C10.A

二、填空題:

2$m3a+cosJ(a+300)+smacos(a+30°)=-

11.-712.513.4

14.g

三、解答題:

"磯口加/生/同2sinGeos6+2

1+sin28+(2cos38-】)25in0cos6+2coJ6

15.解:原式

co$(a+⑶=co$aco$尸7masin尸=1

.3C1)

cos(a-￡)=cosacos尸+sinasm尸=二(<>)

16.M：

nA4

OLp=—/

⑵+⑴得/COSCOS5⑶

c?a2q1

2sinasmp-—(tanatanp--

⑵-(1)得5⑹A\⑷+⑶得2

17.略

18.解:由

y-sm2x+sin2x+3cosax-1+sm2x+Zcos^x-l+sin2x*(1+co$2x)-J7sm(2x+g)+

2

⑴

sinj2x+—j=-1_'一/2x+—=2k^r--.x=kfr-—

當(dāng)I4；時，為+-2V2,此時，由42得8

>汽.5”

2fer+—<2x+—<2ATT+—,、xek7r+—,kn+一

(2)由242得減區(qū)間為88

(3)其圖像可由了=.s1n2x的圖像向左平移￡個單位，再向上平移2個單位而得到。

?cC111

>wu-$mycos9-----—

19.(1)由。=上用"t/為，得224,

ry/2q(應(yīng)11qc

——-sin0一一卜—,cosaj\=——-sin1a---cos6=0

⑵由［22八2J(2)22

S3n8+cos8=￡,即8+2)=?

得214/2

關(guān)于簡單三角變換的問題

1、同角的三角函數(shù)有三種關(guān)系：

平方關(guān)系：sin;a+cos2a=1；

商式關(guān)系：“n。▲tana；

cosa

倒數(shù)關(guān)系：tanacota=1.

它們的主要應(yīng)用有：

(1)某任意角的正弦、余弦、正切中的一個，求其他兩個；

12)化簡三角函數(shù)式；

[3)證明簡單三角恒等式等.

同角三角函數(shù)變換，要突出弦、切互化，同時要注意各種變換技巧，如“1”可以用"sin，

a+cos:a"代換等.

2、誘導(dǎo)公式有兩組，可概括為對k?90?！繿(a@Z)的各三角函數(shù)值滿足規(guī)律“奇變偶不變,

符號看象限"，即當(dāng)k為偶數(shù)時，得a的同名函數(shù)；當(dāng)k為奇數(shù)時，得a的余名函數(shù)；然后

在前面加一個把a(bǔ)看成銳角時原函數(shù)的符號.在利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值時，不

必拘泥于課本上列出的幾個步驟，可以結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，靈活使用.

3、三角函數(shù)的恒等變換中最基本、最常見的變換有：

(1)公式變換：要注意正確理解公式中和、差、倍的相對性，抓住公式中角、函數(shù)、構(gòu)

造的特點(diǎn)，靈活地對公式進(jìn)展正向、逆向及變形使用；

(2)角度變換：要善于分析角之間的和、差、倍、半的關(guān)系，要特別注意能否產(chǎn)生特殊

角，正確使用誘導(dǎo)公式及輔助角公式；

[3)函數(shù)變換：弦切互化;

,、上，—,1-sin--cosO-tan—

(4)1的變換：1=sin,a+COS-a,1=tanacota,24等；

2l+co￡2a=.21-cos2a

,cos'-----------和血，a------------

(5)基的變換：用公式22來升、降事.

4、三角恒等變換的基此題型有三種.

(1)求值：

①給角求值，其關(guān)鍵是正確分析角間的關(guān)系，準(zhǔn)確地選用公式，將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或?qū)?/p>

非特殊角的三角函數(shù)值相約或相消；

②給值求值，其關(guān)鍵是分析和待求式之間的角、函數(shù)、構(gòu)造的差異，有目的地消化；

③給值求角，其關(guān)鍵是先求出該角某一三角函數(shù)值，在對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解.

⑵化簡：

①未指明答案的恒等變形，應(yīng)把結(jié)果化為最簡形式；

②根據(jù)解題需要將三角函數(shù)式化為某種特定的形式，如一角一函數(shù)形式，以便研究函數(shù)的各種

性質(zhì).

⑶證明:

主要有兩種：無條件恒等式證明和條件恒等式證明.

5、在求值、化簡、證明中應(yīng)注意的問題有：

(1)三角式化簡的目標(biāo).

①項(xiàng)數(shù)盡可能少；

②三角函數(shù)種類盡可能少；

③角盡可能少、小;

④次數(shù)盡可能低;

⑤分母盡可能不含三角式；

⑥盡可能不帶根號；

⑦能求出值的要求出值.

[2)三角運(yùn)算的基本原則.

③異角化同角；(角分析法)

⑦常數(shù)的處理〔特別注意“1"的代換).

(3)幾個重要的三角變換思想

①sina?cosa—湊倍角公式；

②1±cosa升累公式；

③1土sina—配方或化為l±cos(n/2—a)再升幕；

④asina+bcosa-*輔助角公式；

⑤tga±lgBf兩角和與差的正切公式逆用.

三、例題講解：

例1、求證：tan3A—tan2A—tanA=tan3A,tan2A?tanA.

證明：欲證等式即為tan3A(1—tan2A,tanA)=tan2A+tanA,

tan24tanX

tan3Aa

即

根據(jù)正切的和角公式,

tan2A+tanA

tan34-tan(24+A)

1-tan2A?tanA結(jié)論成立.

小結(jié)：1、分析法“執(zhí)果索因”，便于尋找解題途徑，也是三角恒等式證明中的一種常用

方法；

2、此題可以推廣如下：假設(shè)a=B+丫，則tana-tanB—tan丫=tana?tanB?tany.#

殊地，假設(shè)aABC是非直角三角形，則

(1)tanA+tanB+tanC=tanA,tanB,tanC,

⑵tan/?A+tan??B+tan/7C=tan/7A,tan〃B?tan/^C.

例2、/(力=2。的21-2/0加18$"。+》G￡0)的定義域?yàn)閇o,T],值域?yàn)閇-5,1],求常

數(shù)a、b的值.

分析：觀察函數(shù)的特征，需將它化歸為形如y=Asin(3x+小)+B型三角函數(shù)求值域，特

*

別注意此時x￡[0,2],故首先要求出3x+6的范圍并進(jìn)而求出sin(o)x+6)的取值范圍，

同時注意系數(shù)A的符號.

/(x)-―

解：2、

⑴當(dāng)a>0時，B^sin(2x+I)--lw,

求得a=2,b=—5.

當(dāng)。<Olf.sin(2x+—)-IW,

⑵6

求得a=—2,b=l.

例3、sina是sin。和cos8的等差中項(xiàng)，sinB是sin。和cos。的等比中項(xiàng)，求證：cos4B

—4cos4a=3.

證明：由條件得:

2sina=sin0+cos0,①

sin2B=sin0?cos9.②

①式平方得：4sin2a=l+2sin9cos0,③

②式代入③得：4sin2a=l+2sin2P,

艮|J2cos2a=cos2B.④

④式平方得：4COS22a=COS22B,

￡

再降幕：2(l+cos4a)=2(l+cos4B),

/.cos4B—4cos4a=3.

小結(jié)：在三角變換中，為了到達(dá)化繁為簡的目的，降哥應(yīng)該是最主要的手段，但在某些情

況下，升塞也是必要的.

二+乙

例4、169,求：

(1)x：+2xy+y，的最大值與最小值；

(2)求3x+4y的最大值與最小值.

分析：由條件的構(gòu)造特征：兩數(shù)的平方和為1,聯(lián)想到sir?。+cos20=l,由此可作三角

代換，將上述問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最值問題.因而此題考察三角函數(shù)作為工具被應(yīng)用的能力.

,—+—=I,設(shè)x=4cos6,y=3sin&

解：169,

⑵3x+4y-12sin6+12cos^?12&sm（5+；）.

例5、如以以下列圖，一條河寬1千米，兩岸各有一座城市A和B,A和B的直線距離是4千

米，今需鋪設(shè)一條電纜線連結(jié)A與B.地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/千米，水下電纜的修建費(fèi)

是4萬元/千米.假定河兩岸是平行直線，問應(yīng)若何鋪設(shè)電纜方可使總施工費(fèi)用最少.

分析：解決實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建設(shè)數(shù)學(xué)模型.此處有兩種選擇：一是建設(shè)函數(shù)模型，

可以考慮以AD或DB為自變量，函數(shù)式易立，但最值難求；二是建設(shè)三角模型，轉(zhuǎn)化為求三角

函數(shù)最值，處理稍容易些.

解:設(shè)NCAD=O,由AC=LAB=4,則

GO-tanftAD?——.CB=用,&￡>■?5-land

co$&

依題意，設(shè)由A到B鋪設(shè)電纜的總費(fèi)用為y,則

答：水下電纜應(yīng)從距B城（?T）千米處向A城鋪設(shè).

8.基本初等函數(shù)（II）及三角恒等變換

同角三角函數(shù)關(guān)系式：

（1）平方關(guān)系：sin2a