杭師大附中2021學(xué)年高二第一學(xué)期周末練習(xí)（1）

班級(jí)姓名

一、單項(xiàng)選擇題.

1.已知集合人={-1,1},下列選項(xiàng)正確的是（）

A.l&AB.{-1}GAC.0GAD.0e4

2.關(guān)于函數(shù)y=sinx+cosx,以下說法正確的是（〉

TTTT

A.在區(qū)間（0,一）上是增函數(shù)B.在區(qū)間（0,一）上存在最小值

22

TT7T

C.在區(qū)間（-2,0）上是增函數(shù)D.在區(qū)間（-2,0）上存在最大值

22

3.現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

10435

4.四名同學(xué)各擲骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并分別對(duì)每位同學(xué)擲得的點(diǎn)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)處理，在四名同學(xué)以下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，可以判斷出該同學(xué)所擲骰子一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1

的是（）

A.平均數(shù)為4,中位數(shù)為5B.平均數(shù)為5,方差為2.4

C.中位數(shù)為4,眾數(shù)為5D.中位數(shù)為4,方差為2.8

5.通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述

所用的時(shí)間.若用/（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（/（%）越大，表示學(xué)生的接受

能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：niin）,長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)和分析表明，/

-0.lx2+2.6%+43,0<x<10

（x）與x有以下關(guān)系:八x）=（59,10<xW16，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

-3x+107,16<x<30

A.講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后

學(xué)生的注意力開始分散

B.講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強(qiáng)一點(diǎn)

C.講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)

D.要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師可以在學(xué)生的注意力至少達(dá)到55以上的情況下完成

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末

廣八尺，無深，袤七尺.問積幾何？”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全

等的三角形圍成的五面體.在圖1所示羨除中，AB//CD//EF,48=10,8=8,EF=6,

等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分別為7和3,且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互

相垂直.按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為()

7.在aABC中,過中線的中點(diǎn)E任作一直線分別交于兩點(diǎn)，設(shè)麗7=加而，

AN-nAC>0,">0)，則()

9

A.s+〃為定值B.m?〃為定值C4〃+”的最小值為一D“+4〃的最小值為6

4

8.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,如果對(duì)任意X￡/,都存在X20,使得/(羽)“'(初)=0,

稱函數(shù)f(x)為“。函數(shù)”，則下列函數(shù)為“。函數(shù)”的是()

A/(x)=3*B.f(x)—e'+lnxC.f(x)—x2-2xD./(x)=sinx-cosx+sirtt,cosx

二、多項(xiàng)選擇題：

9.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是“，b,c,點(diǎn)P是其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，()

A.若尸印+2020A月+2021戶3=6，則點(diǎn)尸在△A8C的中位線上

B.若3%戶=，則P為△ABC的重心

C.若〃2+按>/,則△ABC為銳角三角形D.若ccosB=bcosC,則AABC是等腰三角形

10.甲、乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，記事件A為“兩

個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件8為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事

件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則()

A.事件A、B是相互獨(dú)立事件B.事件以C是互斥事件

C.P(A)=P(B)=P(C)D.P(ABC)=-

8

11.下列四個(gè)函數(shù)中，滿足對(duì)任意正數(shù)a,b,c都有/&/+6+C)^/(a)+fCb)+于(c)的

是()

A.f(JC)=l+2sin2xB.f(x)—2XC.f(x)=&D.f(x)—In(x+1)

12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體A8C￡>-4BIGQI,E,F分別是棱A。，CQ上的動(dòng)點(diǎn)，滿足AE

=DF,則()

A.四棱錐Bi-BE。尸的體積為定值B.四面體。。E尸表面積為定值

C.異面直線BiE和A尸所成角為90°D.二面角。1-EF-Bi始終小于60°

三、填空題：

2.

13.如果復(fù)7數(shù)77-上4-1二是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)”等于.

\+im

14.己知某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣

的方法從中抽取〃名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動(dòng)，其中高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為12,

貝！1“=.

15.已知|吊=2|加=2,73=1,則￡與￡_坂的夾角為.

16.在四棱臺(tái)ABCD-EFGH中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，力E_L平面ABFE,AE

=DE,P為側(cè)棱AE上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角H-BC-A

與二面角P-CD-B的大小相等.則PA的長(zhǎng)為

四、解答題：

17.已知函數(shù)/(%)=2sin2(x+—)+V3sin(2x+—)-1.

63

(I)求函數(shù)/(%)的周期及圖象的對(duì)稱中心；

JT

(II)求函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,彳］上的值域.

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面POC,AD//BC,PD_LPB,4D=1,BC=3,

8=4,PD=2.

(I)求證：PCA.PD；

(II)求直線AB與平面PBC所成角的余弦值.

B

19.用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末成績(jī)(滿分為100分，成績(jī)都是整數(shù))

中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績(jī)數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績(jī)數(shù)據(jù)60個(gè)，再將

40個(gè)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,100],繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(I)估計(jì)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù);

(II)在區(qū)間[40,50)和[90,100]內(nèi)的兩組男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)行調(diào)

查，求調(diào)查對(duì)象來自不同分組的概率;

(III)已知男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75,女生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的

平均數(shù)和方差分別為73.5和119,求總樣本的平均數(shù)和方差.

20.函數(shù)/(x)=|2'+a-9|,g(x)=-/+(5-a)x+2a,其中aGR.

(I)若函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，求函數(shù)/(g(x)-7)的值域:

(II)若不存在尤6R,使得>6和g(X)>6同時(shí)成立，求“的取值范圍.

參考答案

一、選擇題.

1.已知集合4={-1,1},下列選項(xiàng)正確的是（）

A.1GAB.{-1?C.0€AD.OeA

【分析】直接利用元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，判斷選項(xiàng)即可.

解：leA,所以A正確；{-1}UA,所以8不正確；0UA,所以C不正確；0刖，所以。

不正確.

故選：A.

2.關(guān)于函數(shù)＞=$1111+88%,以下說法正確的是（）

TT

A.在區(qū)間（0,上是增函數(shù)

TT

B.在區(qū)間（0,上存在最小值

TT

C.在區(qū)間（號(hào)，o）上是增函數(shù)

TT

D.在區(qū)間（號(hào)，0）上存在最大值

【分析】將原式化簡(jiǎn)為y=J5sin（x4TT），再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

7T

解：；y=sinx+cosx=亞sin（x^^~?。?，

TTTTTT

二函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為號(hào)-+2k兀（x嚀＜夕+2卜兀，k€Z,

二號(hào)二+2k冗＜x4--+2k兀，k6Z,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確，

當(dāng)2k兀，k€Z時(shí)，y取得最小值，故在區(qū)間（0,5）上不存在最小值，

故選項(xiàng)3錯(cuò)誤，

當(dāng)X嚀=^-+2k兀，k€z時(shí)，》取得最大值，故在區(qū)間（號(hào)，0）上不存在最大值，

故選項(xiàng)力錯(cuò)誤.

故選：C.

3.現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（）

A.——B.-C.—D.—

10435

【分析】基本事件總數(shù)〃=（^=15,取出的鞋都是左腳包含的基本事件個(gè)數(shù)，*=C§=3,

由此能求出取出的鞋都是左腳的概率.

解：現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只,

基本事件總數(shù)”=（^=15,

取出的鞋都是左腳包含的基本事件個(gè)數(shù)〃?=C§=3,

則取出的鞋都是左腳的概率是P=-=^-=^.

n155

故選：D.

4.四名同學(xué)各擲骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并分別對(duì)每位同學(xué)擲得的點(diǎn)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)處理，在四名同學(xué)以下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，可以判斷出該同學(xué)所擲骰子一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1

的是（）

A.平均數(shù)為4,中位數(shù)為5B,平均數(shù)為5,方差為2.4

C.中位數(shù)為4,眾數(shù)為5D.中位數(shù)為4,方差為2.8

【分析】依據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對(duì)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.

解：對(duì)于選項(xiàng)41,2,5,6,6符合條件，故A錯(cuò)，

對(duì)于選項(xiàng)B,若平均數(shù)為5且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,則只能為1,6,6,6,6,此時(shí)方差為

（l-5）2+4X（6-5）2=4,故B對(duì)，

5

對(duì)于選項(xiàng)C,1,2,4,5,5符合條件，故C錯(cuò)，

對(duì)于選項(xiàng)￡>,1,4,4,5,6符合條件，故。錯(cuò)，

故選：B.

5.通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述

所用的時(shí)間.若用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（/（%）越大，表示學(xué)生的接受

能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：加加），長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)和分析表明，f

-0.1x2+2.6x+43,0<x<10,

（X）與X有以下關(guān)系：f（x）=<59,10<x<16,則下列說法錯(cuò)誤的

-3x+107,16<x<30,

是（）

A.講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后

學(xué)生的注意力開始分散

B.講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強(qiáng)一點(diǎn)

C.講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)

D.需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師可以在學(xué)生的注意力至少達(dá)到55以上的情況下完

成

【分析】分段研究函數(shù)f(X)的單調(diào)性，由此可判斷選項(xiàng)4,求出/(5)和/(20),比

較大小即可判斷選項(xiàng)B,由函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可判斷選項(xiàng)C,計(jì)算學(xué)生注意力

至少達(dá)到55以上的持續(xù)時(shí)間，與13分鐘比較即可判斷選項(xiàng)D.

-0.1X2+2.6X+43,0<X<10,

解：由題意，f(x)=<59,10<x<16,

-3x+107,16<x<30,

當(dāng)0<xW10時(shí)，f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,

故函數(shù)f(x)在(0,10］上單調(diào)遞增，最大值為『(10)=59.9；

當(dāng)10<xW16時(shí)，/(A)=59,故/(x)為常數(shù)函數(shù)，

當(dāng)16<xW30時(shí)，f(x)=-3x+107,故/(x)單調(diào)遞減，所以/(x)</(16)=59,

則講授開始時(shí)，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后

學(xué)生的注意力開始分散，

故選項(xiàng)4正確；

因?yàn)?(5)=-0.1X(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5,

f(20)=-3X20+107=47<53.5,

所以講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強(qiáng)一點(diǎn)，

故選項(xiàng)B正確；

由選項(xiàng)A的分析可知，講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，

故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)OVxWlO時(shí),令=55,

則-O.1X(X-13)2=-4.9,所以(X-13”=49,

解得x=20或x=6,

又0<xW10,故x=6,

當(dāng)16cxW3O時(shí)，令/(x)=55,則-3x+107=55,

解得x=17-^，

因此學(xué)生達(dá)到(或超過)55的接受能力的時(shí)間為17-1-6=114<13?

所以需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師不可以在學(xué)生的注意力至少達(dá)到55以上的情況

下完成，

故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：D.

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末

廣八尺，無深，袤七尺.問積幾何？”這里的“羨除”，是指由三個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全

等的三角形圍成的五面體.在圖1所示羨除中，AB//CD//EF,AB=1Q,C￡>=8,EF=6,

等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分別為7和3,且這兩個(gè)等腰梯形所在的平面互

相垂直.按如圖2的分割方式進(jìn)行體積計(jì)算，得該“羨除”的體積為（）

【分析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側(cè)為兩個(gè)全等的四棱錐，再由棱柱與棱錐體積

公式求解得答案.

解：按圖2中的分割方式，中間為直三棱柱，

直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為7和3,直三棱柱的高為6,

則直三棱柱的體積％7X3X6=63；

兩側(cè)為全等的兩個(gè)四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，

直角梯形的面積S=/x（1+2）X7號(hào)，四棱錐的高為力=3,

則兩個(gè)四棱錐的體積v=2X4X±FX3=21.

...該“羨除”的體積為V=VI+V2=63+21=84.

故選：A.

7.在△A8C中，過中線的中點(diǎn)E任作一直線分別交AB,4c于N兩點(diǎn)，設(shè)高二m亞，

AN=nAC（%>°，〃>0）,則（）

A.m+〃為定值B.m?"為定值

C.4加+〃的最小值為9D."7+4〃的最小值為6

【分析】用瓦，AC表示出質(zhì)和誣，由于而、誣共線，可得而=入而，且入<0，解

出片斗,廣會(huì),依次驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可?

解：由題意可得嬴=標(biāo)+而+記）+而=〃，菽，,而=）

AB--j-AC)

同理可得而=（〃-［）正-^AB-

由于而、而共線，，而=入而且入＜0.

加_1）AB-AC=A［菽-、靛］，

11

??"2----A,-=A(n-—)

4444

故士〃m——1---入，n=-入z--1，

44人

.'.m+n=1",人-12"入2TL_(入-1)_,,〃?〃=一均與入取值有

44人4入4入16X

關(guān)，故48錯(cuò)誤;

1-1R

4m+n=1-入+——r—=2+(一入2,當(dāng)且僅當(dāng)人=-《時(shí)成立，故c

4入442

正確;

（》*2舊=*當(dāng)且僅當(dāng)人=-2時(shí)成立,

m+4n—1-入~1_5,

丁44

故。錯(cuò)誤.

故選：C.

8.設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,如果對(duì)任意用口，都存在初白，使得/（箝）4/（M）=0,

稱函數(shù)/（X）為“。函數(shù)”,則下列函數(shù)為“。函數(shù)”的是（）

A.f（x）=3X

B.f（x）=^+樞

C.f（x）=N-2x

D.f（x）=sim-cosx+sirL￥*cosx

【分析】由條件知。函數(shù)f（x）的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而求選項(xiàng)中函數(shù)的值域并觀察

即可.

解：???對(duì)任意X￡/,都存在X2a,使得了(XI)4/(X2)=0,.?.函數(shù)/(X)的值域關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，

/(%)=3、的值域?yàn)?0,+8),故A錯(cuò)誤，

f(x)=e<+/nx的值域?yàn)?-8,+oo),故B正確，

f(x)=/-2%的值域?yàn)椋?1,+8),故C錯(cuò)誤，

八X)="-8-底-23^^=--(sinx-cosx)2+(sin.

-COSX、)工+—1，

2

?；-&Wsinx-cosx〈M，"A/2~"2"^，故力錯(cuò)誤，

故選：B.

二、選擇題：.

9.在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,點(diǎn)尸是其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，()

A.若隹+2020而+2021元?jiǎng)t點(diǎn)尸在的中位線上

B.若3薪=瓦+菽，則P為△ABC的重心

C.若“2+按>3,則△ABC為銳角三角形

D.若ccosB=/x;osC,則△ABC是等腰三角形

【分析】設(shè)AC的中點(diǎn)為E,8c的中點(diǎn)為凡由已知可得麗=_鈉40而判定人設(shè)BC

中點(diǎn)為G,由3萬=屈+菽，得3而=2前判定B；舉例說明C錯(cuò)誤；利用正弦定理及兩

角差的正弦判定。.

解：對(duì)于A,由直+2020而+2021&=6

WPA+元=-2020(PB+PC)-即日(PA+PC)=-4040-y(PB+PC)>

設(shè)AC的中點(diǎn)為E,8C的中點(diǎn)為凡可得說=-4040而，

則P、E、F三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在aABC的中位線上，故A正確；

對(duì)于8,設(shè)BC中點(diǎn)為G,由3點(diǎn)=屈+而得3薪=2記

---?O■?.

AAP即P為△A8C的重心，故B正確；

對(duì)于C,取4=3,Z?=5,c=4,滿足。2+按>理，但。2+。2=62,△A5C為直角三角形，

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡),由ccos8=/?cosC,得sinCcos8=sin8cosc.,.sin(C-B)=0,

VO<C<71,0<B<n,A-71<C-B<n,可得C-B=O,即3=C,△ABC為等腰三角

形，故。正確.

故選：ABD.

10.甲、乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，記事件A為“兩

個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件3為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事

件。為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”,則（)

A.事件A、6是相互獨(dú)立事件

B.事件&C是互斥事件

C.P(4)=PQB)=P(C)

D.P(ABC)=—

8

【分析】利用列舉法分別求出事件4,B，C,AB,A8C的概率，結(jié)合互斥事件、相互獨(dú)

立事件的定義直接求解.

解：甲、乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次,

基本事件總數(shù)77=6X6=36,

記事件A為“兩個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，

則事件A包含的基本事件有18個(gè)，分別為:

(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),

(3,6),

(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),

(6,5),

181

：.P(A)36-T

事件8為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，

則事件5包含的基本事件有18個(gè)，分別為:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),

(3,3),

(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),

(5,6),

：.P(B)迢=工

而一5,

事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，

則事件C包含的基本事件有18個(gè)，分別為:

(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(2,4),

(3,4),

(4,4),(5,4)，(6,4)，(1,6)，(2,6)(3,6),(4,6),(5,6),

(6,6),

：.P(C)

一希一5

事件A8包含的基本事件有9個(gè)，分別為:

(1,2),(1,4)，(1,6),(3,2)，(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),

(5,6),

(AB)=P(4)P(3),???事件4、3是相互獨(dú)立事件，故4正確；

事件8與C能同時(shí)發(fā)生，故事件8與。不是互斥事件，故8錯(cuò)誤；

P(A)=P(B)=P(C),故C正確；

2

ABC包包含的基本事件有9個(gè)，分別為：

(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),

(5,6),

Q1

：.P(ABC)=焉=；?故。錯(cuò)誤.

364

故選：AC.

11.下列四個(gè)函數(shù)中，滿足對(duì)任意正數(shù)〃，b,c都有/(〃+h+c)守(〃)+f(b)+f(c)的

是()

A./(x)=l+2sin2xB.f(x)=2X

C.f(x)=y[xD.f(x)=ln(x+1)

【分析】將〃+b+c,a,4c依次代入四個(gè)函數(shù)中，依次驗(yàn)證是否滿足條件即可.

解：若f(x)=l+2sin2x,則/(a+b+c)=l+2sin2(a+b+c),

f(a)+/,(/?)+f(c)=1+2sin2tz+1+2sin2/?+1+2sin2c=3+2sin26r+2sin2/?+2sin2c,

故l+2sin2(a+b+c)33+2sin2a+2sin2/?+2sin2c,

故對(duì)任意正數(shù)mb,c都有/(〃+/?+c)Wf(a)kb)+fCc),故A正確，

若f(x)=2X,令a=b=c=1,f(a+Z?+c)=f(3)=8,f(〃)+f(Z?)+f(c)=2+2+2

=6,故B錯(cuò)誤，

若f(x)=Q,則f(a+6+c)=Va+b+c-f(a)+f(Z>)+f(c)=Va+\/b+Vc-

且Wa+b+c)2_(4+?+?)2—^a+b+c')-(a+b+c+2j^+2j^+2j^)<0,

故4a+b+c<V^+4+V^，

故對(duì)任意正數(shù)a,b,c都有f(a+6+c)Wf(a)+f(b)+f(c),故C正確，

若f(x)—In(x+1),則/'(a+b+c)—In(a+b+c+1),

f(a)+f(b)+f(c)—In(a+1)+ln(〃+l)+ln(c+1)—ln[(a+1),(/M-1)?(c+1)j

—In(a+b+c+1+abc+ab+ac+bc),

故加(a+b+c+1)<ln(a+b+c+1+abc+ab+ac+bc),

故對(duì)任意正數(shù)a,b,c都有f(a+b+c)Wf(a)+f(b)+f(c),故。正確，

故選：ACO.

12.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCn-A由iGU,E,F分別是棱A。，CQ上的動(dòng)點(diǎn)，滿足AE

=DF,則()

A.四棱錐S-8瓦加的體積為定值

B.四面體DiDE尸表面積為定值

C.異面直線BE和AF所成角為90°

D.二面角D\-EF-B\始終小于60°

【分析】A,利用S=SABCD-SAXEE-SABCF=1-5AE-《FC=1-2(4E+BF),即可判

222

斷；

B,過。作DH1EF,連接D\H,則D\HLEF,設(shè)AE=DF^x,四面體OQE產(chǎn)表面積

為S=￡xXl+/(l-x)Xl+-^-[l-x(l-x)l+^x(l~x)—?即可判斷；

C,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A￡=x,利用率.京=x-x+0=0,即可判斷；

D,可得二面角D-EF-D就是求得cos/。，)的范圍即可判定.

解：對(duì)于A,因?yàn)樗倪呅?EZJF的面積為S=SABC。-S"8E-SA8CF=1-3AE尸C=1

22

--(AE+BF)=1-工=工(定值).

222

四棱錐3-BED尸的體積為定值，故正確；

x(1-x)

對(duì)于B,過。作DHLEF,連接D\H,則LhHLEF,設(shè)AE=￡>F=x,則

VX+(l-x)

...DiH=7DH2+1，SAD]EF=yEF-D^=-1Vx2+(l-x)2+x2(l-x)2=

■^Vtl-xd-x)]2=yt1-x(1-x)]，

四面體DiOEF表面積為S=-^-xXl+-^-(l-x)Xl+-^-[l-x(l-x)]+-^-x(l-x)=l>

四面體。。EF表面積為定值，故正確.

對(duì)于C,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x,則E(1-x,0,0),尸(0,尤，0),

Bi(1,1,I),4(1,0,0),

則B]E=(-x,-1,-1),AF=(-1?x,0)>

.?.率=x-x+0=0，.,.異面直線BE和AF所成角為90°,故正確;

對(duì)于。，由B可得二面角Qi-EF-O就是/￡WQi,

]

eDHSADEF_x(l-x)

則cosZDHD\=

SADEFlr(l-x)x(l-x)1

.?x.(/11-X、)/<(z-x+-l--x、)2N1

：.cosZDHDi^—,故錯(cuò).

3

2?

13.如果復(fù)數(shù)竺士是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)，"等于

1+mi

0或-1

故答案為：5.

14.已知某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣

的方法從中抽取n名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動(dòng)，其中高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為12,

則n=28.

【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.

解：某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.

采用分層抽樣的方法從中抽取〃名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動(dòng)，

其中高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為12,

則nX----------------=12,

240+160+160

解得幾=28.

故答案為：28.

TT

15.已知0=2后|=2,w4=1，則之與二-4的夾角為

0

【分析】利用向量的數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)化求解向量的夾角即可.

解：la〔=2lbl=2,a'b=L?a一芯戶也如？］.1+12=.4-2+1=?

設(shè)之與的夾角為3則cos0=M”=就=冬

IaIIa-bI732

0610,nJ,

所以。=?.

6

jr

故答案為：——?

6

16.在四棱臺(tái)ABC。-EFG”中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，￡>￡，平面A8FE,AE

=DE,P為側(cè)棱AE上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角4-BC-A與二面角P-CD-B的大小相等.則

PA的長(zhǎng)為返.

-3一

【分析】如圖，作輔助線，可得NPDM為二面角P-CO-8的平面角，NHKN為二面

角"-8C-A的平面角，再根據(jù)題意可得HN喘，設(shè)PA=x，由此建立關(guān)于x的方程，

解出即可.

解：；QE_L平面ABFE,

：.DE±AB,

又ABU。，

平面A￡WE,

過點(diǎn)P作PMLAD,過點(diǎn)H作HNLAD,則尸M_L平面ABC。，HNJ_平面ABCD,

過點(diǎn)N作NKLBC,則/POM為二面角P-CO-B的平面角，NHKN為二面角H-BC

-A的平面角，

Y,AE=DE,

LDJ

XPAD=45l>,tan/HKNi^■二HN，tan/PDM：-PM

NKMD，

由題意，HN喘，

設(shè)PA=x,則PM*X,MD=1-雪X,HN=AE-sir

145°

2

V2

二=2j,解得乂巫.

2V23

1-^-x

故答案為：返.

3

穴——《

/；y'/-,?i'<*\

h./

A/A

U-I~I

HA(

四、解答題：.

-

17.已知函數(shù)f(x)=2sin?(x^^iO+V^sinQxT)-1-

(I)求函數(shù)/(x)的周期及圖象的對(duì)稱中心；

TT

(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,夕］上的值域.

［分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)解析式，再通過y=sinx的性質(zhì)求/(不)的周

期、對(duì)稱中心、值域；

解：(/)f(x)=J§sin(2xd-)-cos(2xC-)=/兀、

2sin(2x"^7-)，

所以最小正周期為馬二=兀，所有的周期為Mr,依Z且k#0；

2

,k€z,得x=W?片L,所以對(duì)稱中心為(令片［，o),k€z；

令2x"t^^二k兀

，乙乙，乙乙

(/〃)小因?yàn)?4兀x4^p所rCK以l2x*+兀^-€L!?兀-7晨兀?r］，sin(/2x+^兀~)、€尸［「一萬1，"-1

所以/(X)的值域?yàn)椋?1,2］.

18.如圖，在四棱錐P-A8CO中，ADl^jflPDC,AD//BC,PDLPB,AO=1,BC=3,

CQ=4,PD=2.

(I)求證：PC1PD；

(ID求直線AB與平面PBC所成角的余弦值.

【分析】(I)由A￡>_L平面POC,得A￡>_LPQ,由BC〃AD,WPDLBC,再由「。JL

PB,得至I」P￡>"L平面PBC即可證明PCLPD.

(II)過點(diǎn)。作AB的平行線交BC于點(diǎn)凡連結(jié)PF,則。尸與平面P8C所成的角等于

AB與平面P8C所成的角，由平面PBC,得至叱DFP為直線。下和平面PBC所成

的角，由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

解：(I)證明：因?yàn)锳。，平面PDC,直線PDu平面PDC,

所以4O_LPD.

又因?yàn)锽C//AD,所以PD_LBC,

又PD1PB,所以PCJ_平面PBC.

解：(II)過點(diǎn)D作AB的平行線交8c于點(diǎn)F,連結(jié)PF,

則。F與平面PBC所成的角等于A8與平面P8C所成的角.

因?yàn)槠矫鍼8C,故P尸為。尸在平面PBC上的射影，

所以NDFP為直線OF和平面PBC所成的角.

由于A￡>〃BC,DF//AB,故BF=AD=1,

由已知，得CF=BC-BF=2.又AO_LOC,故BCLDC,

在Rt^OPF中，可得sinN￡>FP=&=返

DF5

所以，直線48與平面P8C所成角的正弦值為型5.

19.用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末成績(jī)(滿分為100分，成績(jī)都是整數(shù))

中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績(jī)數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績(jī)數(shù)據(jù)60個(gè)，再將

40個(gè)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：［40,50),［50,60),［60,70),［70,80),［80,

90),［90,100|,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(I)估計(jì)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；

(II)在區(qū)間［40,50)和［90,100］內(nèi)的兩組男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個(gè)進(jìn)行調(diào)

查，求調(diào)查對(duì)象來自不同分組的概率；

(III)已知男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75,女生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的

平均數(shù)和方差分別為73.5和119,求總樣本的平均數(shù)和方差.

%率/組施

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0405060708090100成績(jī)/分

解：(I)由頻率分布直方圖可知，在［40,80)內(nèi)的成績(jī)占比為