第3講等比數(shù)列1.[2024南昌市模擬]已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2a1－2qn，則a1＝（B）A.12 B.1 C.2 解析S1＝2a1－2q?a1＝2q①，S2＝2a1－2q2?a1＋a2＝2a1－2q2?a2＝a1－2q2②，又{an}是等比數(shù)列，∴a2＝a1q（q≠0）③，由①②③得，4q2＝2q，解得q＝12，∴a1＝1.故選2.[2024湖北黃岡模擬]已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿意bn＝log2an.若a2a5a8＝212，則b1＋b2＋b3＋…＋b9＝（C）A.24 B.32 C.36 D.40解析因為{an}是正項等比數(shù)列，a2a5a8＝212，所以a53＝212＝（24）3，則b1＋b2＋b3＋…＋b9＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝log2（a1a2a3·…·a9）＝log2a59＝log2（24）9＝log2236＝36.3.[2024山東濟南聯(lián)考]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝5S2，S6＝21，則S8＝（C）A.－120 B.－85 C.85 D.120解析依據(jù)題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，由S4＝5S2，知q≠1，則有a1（1－q4）1－q＝5a1（1－q2）1－q，變形可得q2＝4，則q6＝（q2）3＝64，又由S6＝a1（1－4.[2024濟南市模擬]在數(shù)列{an}中，若an＝2n＋2n－1×3＋2n－2×32＋2n－3×33＋…＋22×3n－2＋2×3n－1＋3n，則a2023＝（C）A.32023－22023 B.3×22023－32024C.32024－22024 D.2×32023－22024解析因為an＝2n＋2n－1×3＋2n－2×32＋2n－3×33＋…＋22×3n－2＋2×3n－1＋3n＝2n[1＋32＋（32）2＋…＋（32）n]＝2n×1×[1－（32）n+1]1－32＝3n＋5.公元前1650年左右的埃及《萊因德紙草書》上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從其次人起先，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗.”在上述問題中，第一人分得玉米（C）A.70×89810－1C.10×89810－7解析設第i個人分到的玉米斗數(shù)為ai（i＝1，2，…，9，10），則{ai}是公比為78的等比數(shù)列.由題意知a1[1－（78）10]1－6.[2024廣東七校聯(lián)考]在等比數(shù)列{an}中，公比為q.已知a1＝1，則0＜q＜1是數(shù)列{an}是遞減數(shù)列的（C）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由已知得an＝qn－1，當0＜q＜1時，an＞0，0＜an+1an＝q＜1，即an＋1＜an，所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，故充分性成立；若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，則0＜an+1an＜1，即0＜q＜1，故必要性成立.所以0＜q＜1是數(shù)列7.[2024河南省模擬]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且公比q≠－1，若S12＝S4＋16S8，則公比q＝（B）A.3 B.±2 C.2 D.±3解析由題意可知，公比q≠1.由{an}是等比數(shù)列，得S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，且公比為q4，已知S12＝S4＋16S8，則S12－S8＝S4＋15S8＝S4＋15（S8－S4＋S4）＝16S4＋15（S8－S4），即S4q8＝16S4＋15S4q4，當S4≠0時，兩邊同除以S4得，q8－15q4－16＝0，解得q4＝－1（舍）或q4＝16，則q＝±2.當S4＝0時，此時S4＝a1（1－q4）1－q＝0，由a1≠8.[2024廣東珠海市聯(lián)考]在正項等比數(shù)列{an}中，a52＋2a6a8＋a8a10＝100，則a5＋a9＝10解析a52＋2a6a8＋a8a10＝100?a52＋2a5a9＋a92＝100?（a5＋a9）2＝100，因為{an}為正項等比數(shù)列，所以a9.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2a10＝2a42，且S4－S12＝λS8，則λ＝－2解析設等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），由a2a10＝a62＝2a42，得（a4q2）2＝2a42，得q4＝2，又S4－S12＝－（a5＋a6＋…＋a12）＝－q4（a1＋a2＋…＋a8）＝λS8，所以－2.10.[2024福州市一檢]已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＋1＝Sn＋2.（1）求{an}的通項公式；（2）若bn＝log2a2n－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解析解法一（1）由an＋1＝Sn＋2得a設等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），所以a1（所以an＝2n.（2）bn＝log2a2n－1＝log222n－1＝2n－1，故b1＝1，bn－bn－1＝2n－1－[2（n－1）－1]＝2（n≥2），所以{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以Tn＝n（b1＋bn解法二（1）因為an＋1＝Sn＋2①，所以當n≥2時，an＝Sn－1＋2②，①－②得an＋1＝2an（n≥2），所以等比數(shù)列{an}的公比q＝an+1由①式得a2＝a1＋2，得a1＝2，所以an＝2n.（2）Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1·a3·…·a2n－1）＝log221＋3＋…＋（2n－1）＝log22＝n2.11.正項等比數(shù)列{an}滿意a1a3＝116，2a4＋a3＝a2，則1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋（－1）A.23[1＋（－2）n] B.23（1－2C.23（1＋2n） D.23[1－（－2）解析由題意得，a1a3＝a22＝116，因為數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，所以a2＝14.設數(shù)列{an}的公比為q，則q＞0，由2a4＋a3＝a2，得2q2＋q－1＝0，所以q＝12，所以a1＝12，所以an＝12n.令bn＝（－1）n＋11an，則bn＝－（－2）n，即{bn}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列，所以1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋（－1）n＋11an＝b1＋b2＋b3＋b4＋12.[2024遼寧大連二十四中模擬]設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝3，?m，n∈N*，Sm＋n＝SmSn，則（B）A.{an}是等比數(shù)列 B.a4＝54C.a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝38 D.Sn＝3n解析令m＝1，可得Sn＋1＝SnS1＝Sna1＝3Sn，又因為S1≠0，所以{Sn}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以Sn＝3n，所以a4＝S4－S3＝34－33＝54，所以B選項正確，D選項錯誤；由a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，可得a22≠a1a3，所以數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，所以A選項錯誤；因為a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S4＝39－34＞38，所以C選項錯誤.13.已知公比q＞1的等比數(shù)列{an}滿意a52＝a10，2（an＋an＋2）＝5an＋1.若bn＝（n－λ）an（n∈N*），且數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是（－∞，3解析由2（an＋an＋2）＝5an＋1得，2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12（舍去），由a52＝a10得，（a1q4）2＝a1q9，解得a1＝q＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n，所以bn＝（n－λ）2n（n∈N*），所以bn＋1＝（n＋1－λ）·2n＋1.因為數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，所以bn＋1＞bn，所以（n＋1－λ）2n＋1＞（n－λ）2n，化簡得λ＜n＋2.因為n∈N*，所以14.[2024河南聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的首項為2，等比數(shù)列{bn}滿意bn＝an+1an，且b1012＝1，則a2024＝解析設等比數(shù)列{bn}的公比為q，則bn＝b1·qn－1＝an+1an，所以可得anan－1＝b1·qn－2，an－1an－2＝b1·qn－3，…，a2a1＝b1·q0，由累乘可得anan－1·an－1an－2·…·a2a1＝b1n－1·q0＋1＋2＋…＋（n－2）＝b15.[2024貴陽市模擬]設Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知4an－3Sn＝n.（1）證明：數(shù)列{an＋13}是等比數(shù)列（2）設bn＝log2（3an＋1），求數(shù)列{1bnbn+1}的前解析（1）∵4an－3Sn＝n①，∴當n≥2時，4an－1－3Sn－1＝n－1②，①－②，得4an－4an－1－3an＝1，即an＝4an－1＋1，∴an＋13＝4an－1＋43＝4（an－1＋∴數(shù)列{an＋13}是公比為4的等比數(shù)列（2）當n＝1時，4a1－3a1＝a1＝1，∴an＋13＝（a1＋13）×4n－1＝∴an＝4n3－∴bn＝log2（3an＋1）＝2n，∴1bnbn+1＝12n（2n+2∴Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn+1＝14（1－12＋12－1316.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，數(shù)列{bn}，{cn}滿意bn＝an+2an，cn＝（1）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求證：數(shù)列{cn}為等比數(shù)列.（2）若數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，且bn＋1≥bn，求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列.解析（1）設數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），因為cn＝anan所以cn+1cn＝an+1·an所以數(shù)列{cn}為等比數(shù)列.（2）設數(shù)列{cn}的公比為q1，則cn+1cn＝an+1·an+22an·a則an+22an·a又bn＝an+2an，所以bn+22＝b因為bn＋1≥bn＞0，所以bn＋2≥bn＋1，所以可得bn+22≥bn+12≥bn所以bn＋1bn≥bn+12≥bn＋1bn，所以bn＋1＝所以an+3an+1＝an+2an，即an＋因為數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，由cn+1cn＝cn把an＋3＝an＋1·an+2an代入上式并化簡，得an+12＝a所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列.17.[2024山東省北鎮(zhèn)中學模擬]已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿意anSn＝22n－1－2n－1，設bn＝log2（Sn+1），將數(shù)列{bn}中的整數(shù)項組成新的數(shù)列{cn}，則cA.4048 B.2023C.2022