第1講直線的方程1.[2024江蘇南京聯(lián)考]過兩點A（3，y），B（2，0）的直線的傾斜角為120°，則y＝（D）A.33 B.3 C.－33 D.解析設(shè)直線斜率為k，則k＝tan120°＝y(tǒng)－03－2＝y(tǒng)2.已知點A（－2，3）和B（4，2），若直線l：x＋my＋m－1＝0與線段AB有交點，則實數(shù)m的取值范圍是（C）A.（－∞，－1）∪（34，＋∞B.（－1，34C.[－1，34D.（－∞，－1）∪[34，＋∞解析如圖，直線l：x＋my＋m－1＝0恒過定點P（1，－1），kAP＝－43，kBP＝1.當m＝0時，直線l的方程為x＝1，與線段AB有交點，符合題意；當m≠0時，直線l的斜率為－1m，則－1m≥1或-1m≤－43，解得－1≤m＜0或0＜m≤34.綜上，m∈[－3.[2024四川成都七中段考]若直線l的方程為6x－6ycosβ＋13＝0，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（D）A.[0，π] B.[π4，πC.[π4，π2）∪（π2，3π4） D.解析當cosβ＝0時，l的方程為6x＋13＝0，直線l的傾斜角α＝π2；當cosβ≠0時，由直線方程可得斜率k＝1cosβ＝tanα，∵cosβ∈[－1，1]，且cosβ≠0，∴tanα∈(-∞，－1]∪[1,+∞)，又α∈[0，π），∴α∈[π4，π2）∪（4.[2024貴州聯(lián)考]若直線l：（a－2）x＋ay＋2a－3＝0經(jīng)過第四象限，則實數(shù)a的取值范圍為（C）A.（－∞，0）∪（2，＋∞） B.（－∞，0）∪[2，＋∞）C.（－∞，0）∪（32，＋∞） D.（－∞，0）∪[32，解析若a＝0，則l的方程為x＝－32，不經(jīng)過第四象限.若a＝2，則l的方程為y＝－12，經(jīng)過第四象限.若a≠0且a≠2，將l的方程轉(zhuǎn)化為y＝－a－2ax－2a－3a，因為l經(jīng)過第四象限，所以－a－2a＜0或－a－2a>0，－25.[2024山西模擬]將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標系中，O（0，0），A（2，0），C（0，1），將矩形紙片折疊，使點O落在線段BC上，設(shè)折痕所在直線的斜率為k，則k的取值范圍是（D）A.[0，1] B.[0，2] C.[－1，0） D.[－2，0]解析要想折疊后使點O落在線段BC上，可取BC上隨意一點D，作線段OD的垂直平分線l，以l為折痕可使點O與點D重合，如圖.因為kOD≥kOB＝12，且k=-1kOD，所以－2又當折疊后點O與點C重合時，k＝0，所以－2≤k≤0，所以實數(shù)k的取值范圍是[－2，0].6.[2024廣東佛山容山中學?？糫已知直線l的斜率小于0，且l經(jīng)過點P（6，8），并與坐標軸分別交于A，B兩點，C（4，0），當△ABC的面積取得最小值時，直線l的斜率為（C）A.－33 B.－354 C.－433解析由題意可設(shè)直線l：y＝kx＋b（k＜0），將點P的坐標代入，得8＝6k＋b，則b＝8－6k，則y＝kx＋8－6k（k＜0）.不妨設(shè)A在x軸上，則A（6－8k，0），B（0，8－6k）記O為坐標原點，因為線段OA與OB的長度分別為6－8k，8－6k，所以△ABC的面積S＝12（6－8k－4）（8－6k）＝12（64－64k－12k）≥12×（64＋2×64×12）＝32＋163，當且僅當－64k＝－12k（k＜07.[多選/2024黑龍江牡丹江段考]已知直線l過點P（4，5），且直線l在兩坐標軸上的截距的確定值相等，則直線l的方程可能為（ABC）A.5x－4y＝0 B.x－y＋1＝0C.x＋y－9＝0 D.x＋y＋1＝0解析當直線l過原點時，設(shè)直線方程為y＝kx，又直線過點P（4，5），則直線l的方程為y＝54x，即5x－4y＝0，故A當直線l不過原點，且在兩坐標軸上的截距相等時，設(shè)直線方程為xa＋ya＝1，又直線過點P(4，5)，則9a＝1，得a＝9，則直線l的方程為x＋當直線l不過原點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)時，設(shè)直線方程為xb－yb＝1，又直線過點P（4，5），則－1b＝1，得b＝－1，則直線l的方程為x－y＋1＝0，故B正確8.[多選]已知直線l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，則下列結(jié)論正確的是（ACD）A.直線l的斜率可以等于0B.直線l的斜率確定存在C.當t＝－12時，直線l的傾斜角為D.點P（1，3）到直線l的最大距離為22解析對于A，當t＝－2時，直線l的斜率為0，故A正確；對于B，當t＝1時，直線l的斜率不存在，故B錯誤；對于C，當t＝－12時，直線l：32x－32y＋3＝0，即y＝x＋2，斜率為1，傾斜角為π4，故C正確；對于D，直線l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，即2x-y+3+tx+y=0，恒過2x－y＋3＝0和x＋y＝0的交點M（－1，1），易知點P（1，39.已知直線l的斜率為16，且與兩坐標軸圍成面積為3的三角形，則l的斜截式方程為y=1解析設(shè)直線l的方程為y＝16x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－6b，所以12｜b｜·｜－6b｜＝3，即b2＝1，所以b＝±1.故所求直線方程為y＝16x＋1或y＝110.已知點M（x，y）是函數(shù)y＝－2x＋8圖象上的一點，則當x∈[2，5]時，y+1x+1的取值范圍為解析y+1x+1＝y(tǒng)－（－1）x－（－1）的幾何意義是過M（x，y），N（－1，－1）兩點的直線的斜率.設(shè)A（2，4），B（5，－2），因為點M在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，且x∈[2，5]，所以點M在線段AB上.因為kNA＝53，kNB11.若直線l與曲線y＝x和圓x2＋y2＝15都相切，則l的方程為（DA.y＝2x＋1 B.y＝2x＋1C.y＝12x＋1 D.y＝12x解析易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，則｜b｜k2+1＝55①，設(shè)直線l與曲線y＝x的切點坐標為（x0，x0）（x0＞0），則y'｜x＝x0＝12x0－12＝k②，x0=kx0+b③，由②③可得b＝12x0，將b＝12x0，k＝12.[多選/2024江西宜春豐城中學月考]已知點A（－2，－1），B（2，2），直線l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在點P滿意｜PA｜＋｜PB｜＝5，則直線l的傾斜角可能為（BD）A.0 B.π4 C.π2 解析將點A（－2，－1）代入直線l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝－1，再將點B（2，2）代入直線l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝1，∴點A，B不行能同時在直線l上，又｜AB｜＝（－2－2）2＋（－1－2）2＝5，且PA+PB=5，∴點P的軌跡為線段AB，即直線l與線段AB恒有交點.又直線l：2ax－2y＋3a－3＝a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，∴直線l恒過定點C(-32，-32)，作出示意圖如圖所示，此時kAC＝－1+32－2+32＝－1，kBC＝2+322+32＝13.[情境創(chuàng)新]1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)覺，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于探討，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB