【高效整合篇】

專(zhuān)題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

-.考場(chǎng)傳真

1.12015高考福建，理2】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A.y=\[xB.3?=|sinjc|C.y=cosxD.y-ex-e~x

【答案】D

【解析】函數(shù)y=4是非奇非偶函數(shù)；y=卜111可和y=cosx是偶函數(shù)；,二爐―"”是奇

函數(shù)，故選D.

2.12015高考廣東，理3】下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()

A.B.C.D.

【答案]

【解析】記，則，，那么，，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，依題可知、、依次是奇函數(shù)、

偶函數(shù)、偶函數(shù)，故選.

3.12015高考安徽，理2】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()

(A)y=cosx(B)y=sinx(C)y=lnx(D)y=x2+1

【答.案】A

412015高考福建，理10】若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(0)=—1,其導(dǎo)函數(shù)/'(x)

滿足/'(%)＞上＞1,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()

A.出)＜：B.Ud-卜告

\kjk)k—1yk—1)k—1\k-1)k—1

【答案】c

【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-依，貝Ijg'(x)=f(x)—Z＞o,故函數(shù)g(x)

iI1k

在R上單調(diào)遞增，且——>0,故8(——)>g(0)，所以八——)———>-1,

k—lk-lk-]k-1

/(」一)>—匚，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C,選項(xiàng)D無(wú)法判斷:構(gòu)造函數(shù)〃(x)=f{x}-x,

k-lk-l

則”(x)=f(x)—l>0,所以函數(shù)〃(x)在R匕單調(diào)遞增，且q>0,所以/?(：)>力(0)，

即/(')—，>一1，選項(xiàng)A,B無(wú)法判斷，故選C.

kkkk

5.12015高考陜西，理12】對(duì)二次函數(shù)/(x)=?x2+bx+c(。為非零常數(shù))，四位同學(xué)分

別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是()

A.一1是/(幻的零點(diǎn)B.1是/(幻的極值點(diǎn)

C.3是/(幻的極值D.點(diǎn)(2,8)在曲線y=/(x)上

【答案】A

【解析】若選項(xiàng)A錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)B、C、D正確，f\x)=2ax+b,因?yàn)?是的極值點(diǎn),

,=0f2tz+/?=0[/?=—2a,

3是“x)的極值，所以〈，即1，解得：1，因?yàn)辄c(diǎn)(2,8)在

v7[/(1)=3[a+b+c^3”3+。v7

曲線y=/(x)上，所以4a+2Z?+c=8,即4a+2x(—2a)+a+3=8,解得：a=5,所

以〃=-10,c=8,所以/(x)=5f—10x+8,因?yàn)?/p>

/(—1)=5X(—1)2—10x(—1)+8=23。0,所以一1不是/(x)的零點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

選項(xiàng)B、C、D正確，故選A.

6.12015高考新課標(biāo)2,理12]設(shè)函數(shù)f(x).是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,

當(dāng)x>0時(shí)，W(x)—/*)<0,則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-w,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+^>)

C.(-?),-l)U(-l,0)D.(0,l)U(L”)

二.高考研究

【考綱要求】

1.函數(shù)

(1)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

(2)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示

函數(shù).

(3)了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段).

(4)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；了解函數(shù)奇偶性的含義.

(5)會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì).

2.指數(shù)函數(shù)

(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.

(2)理解有理指數(shù)基的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)基的意義，掌握幕的運(yùn)算.

(3)理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,3,

10,1/2,1/3的指數(shù)函數(shù)的圖像.

(4)體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.

3.對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；

了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.

(2)理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,10,

1/2的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像.

(3)體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型；

(4)了解指數(shù)函數(shù)y=a"與對(duì)數(shù)函數(shù)J=log?x(a>0,a=l)互為反函數(shù).

4.黑函數(shù)

(1)了解塞函數(shù)的概念.

(2)結(jié)合函數(shù)y=x,1y=x?j=/,1y=4j=/的圖像，了解它們的變化情況.

x

5.函數(shù)與方程

結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根

的個(gè)

數(shù).

6.函數(shù)模型及其應(yīng)用

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、察函數(shù)的噌長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)噌長(zhǎng)、

對(duì)數(shù)嚕長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型噌長(zhǎng)的含義.

(2)了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、黑函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的

函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.

7.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.

(2)通過(guò)函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)1y=cj=x,1y=r,1y=/，y==石(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

x

(4)能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).

常見(jiàn)基本初等函激的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：

C'=0(C為常數(shù))；(x")'=Mx*-i,neN+；(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(1)'=/;

(a*)'=a"Ina(a>0,且arl);(Inx)'=—;(10gdix)'=Loge(a>0,且a，l).

xx

常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

法則1\u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x).

法則2[t/(x)v(x)y=?V)v(x)+u(x)vV).

法則3[翳上出爺產(chǎn)為可X)W。).

(5)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).

(6)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值

(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函

數(shù)一般不超過(guò)三次).

(7)會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題..

(8)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.

(9)了解微積分基本定理的含義.

【命題規(guī)律】

函效是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)主干，是高考考察數(shù)學(xué)思想、方法、能力和素質(zhì)的主陣地,

而且函數(shù)的觀點(diǎn)及其思想方法貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程，導(dǎo)致是研究函數(shù)的有力工具,

高考對(duì)函數(shù)的考察更多的是與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性作用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性

質(zhì)、證明不等式等，體現(xiàn)出高考的綜合熱點(diǎn).

函數(shù)與導(dǎo)致在高考試卷中形式新穎且呈現(xiàn)出多樣性，既有選擇、埴空又有解答題，而且不同

難易程度的題目都有，低檔難度題一般只涉及函數(shù)本身內(nèi)容，中、高檔難度的題多為綜合程

度較高的題，或者與其他知識(shí)的結(jié)合，或者是多種思想方法的滲透，近年來(lái)高考強(qiáng)化了函數(shù)

與其他知識(shí)(函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等)的滲透，加大了以函數(shù)為載體的多方法、多能

力的綜合程度，解決該類(lèi)問(wèn)題要注意函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.

王千禹*明獷超

-.基礎(chǔ)知識(shí)整合

1.函數(shù)的奇偶性：

(1)定義：一般地，如果對(duì)于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(—x)=/(x),那么

函數(shù)/(X)叫做偶函數(shù)；如果都有/(-x)=-/(x),那么函數(shù)/(X)叫做奇函數(shù)，函數(shù)具有奇

偶性，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)圖象特征：函數(shù)/(x)是偶函數(shù)U圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)/(x)是奇函數(shù)U圖

像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(3)奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同，且如果

在x=0處有定義，有/(0)=0,即其圖像過(guò)原點(diǎn)(0,0)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反，且/(—%)=/(%)=/(國(guó))

,這樣就可以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡(jiǎn)化

問(wèn)題的途徑，切記！

2.函數(shù)的單調(diào)性判斷方法：

(1)定義法：對(duì)于定義域內(nèi)某一個(gè)區(qū)間D內(nèi)任意的且為<工2,若/(芭)</(>2)

Uf(x)在D上單調(diào)遞增：若/(凡)>/(x2)Uf(x)在D上單調(diào)遞減.

(2)導(dǎo)數(shù)法：若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D可導(dǎo)，如果f'(x)>0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞

增；如果f'(x)<0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減.

(3)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像的上升或下降，從而確定單調(diào)區(qū)間.

(4)尸(x)=/(x)+g(x),若/(x),g(x)都是增函數(shù)，則尸(幻在其公共定義域內(nèi)是增函數(shù);

若f(x),g(x)都是減函數(shù)，則尸(幻在其公共定義域內(nèi)是減函數(shù).

F(x)=f(x)-g(x),若f(x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)，則尸(x)在其公共定義域內(nèi)是增

函數(shù)；若/(X)是減函數(shù)，g(x)是增函數(shù)，則/(X)在其公共定義域內(nèi)是減函數(shù).

同時(shí)要充分利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)圖象的直觀性分析轉(zhuǎn)化，函數(shù)的單調(diào)性

往往與不等式的解、方程的解等問(wèn)題交匯，要注意這些知識(shí)的綜合運(yùn)用.

3.函數(shù)的圖像：

(1)描點(diǎn)法作函數(shù)圖象，應(yīng)注意在定義域內(nèi)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，選取關(guān)鍵的一部分點(diǎn)連接而

成.

(2)圖象變換法，包括有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱翻折變換.

辦0晌左平移心單位)

/(-V)&<0(向右平移,件單位)

斤>0晌上平移k個(gè)單位)

/(.V)超0(向下平移代療單位)*fG)+k

0>i(圖像上所有點(diǎn)的姒坐標(biāo)不會(huì)，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的工)

_____________________________________________________________G】

/(A)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不會(huì)，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的工)>0,ir^l)

/(X)上通處所有點(diǎn)的段登林不會(huì).紈坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原案的M_(x)(^4>0,2工1)

圖像上所有點(diǎn)的摘公標(biāo)不叁.然坐標(biāo)縮細(xì)為原案的Af

/(|x|)的圖像的畫(huà)法：先畫(huà)XNO時(shí)y=/(x),再將其關(guān)于y對(duì)稱，得y軸左側(cè)的圖像.

|/(x)|的圖像畫(huà)法：先畫(huà)y=/(x)的圖象，然后位于x軸上方的圖象不變，位于x軸下方

的圖象關(guān)于X軸翻折上去

f(a+x)=f(a-x)Dy=/(x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱

f(a+x)=-f(a-x)Dy=f(x)的圖象關(guān)于(a,0)點(diǎn)對(duì)稱.

y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)圖象解析式為y=-f(x)；關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)解析

式為y=f(-x),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)解析式為y=

(3)熟記基本初等函數(shù)的圖象，以及形如＞=》+，的圖象

X

4.周期性:

(1)定義：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一

個(gè)值時(shí)，/(x+T)=/(x)都成立，那么就把函數(shù)y=/(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫

做這個(gè)函數(shù)的周

期.

(2)若f(x+a)=-f(x)(aw0),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且T=2a；gf(x+a)=—?jiǎng)t

fix)

函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且T=2a；若f(x+a)=-1y

則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且T=2a.

(3)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，知二斷一.

例：f(x)是奇函數(shù):，且最小正周期是2,貝Uf(x+2)=f(x)=-f(-x),所以f(x)關(guān)于(1,0)

對(duì)稱.

f(x)是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，則f(2+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)周期是2.

5.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的性質(zhì)：

對(duì)數(shù)函數(shù)y=1ogW?>0,

指數(shù)函數(shù)1y=。盧1)

函數(shù)々盧1)

0<a<la>l0<?<1a>\

上

圖象

定義域R(0,+8)

過(guò)定點(diǎn)(0.1)(1,0)

在R上單調(diào)在R上單調(diào)在(0,+8)在(0,+8)

單調(diào)性

遞減遞增上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增

幕函數(shù)y=xa圖象永遠(yuǎn)過(guò)(1,1),且當(dāng)。>0時(shí)，在XG(0,+8)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)。<0時(shí)，

在xe(0,+8)時(shí)，單調(diào)遞減.

6.函數(shù)與方程

(1)方程/(x)=0有實(shí)根U函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)U函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

(2)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/(注/(。)<0那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(”,份內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c€(a,b),使得f(c)

=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根

(3)若函數(shù)1y=/(x)在區(qū)間(a,力上有1/(a)-/9)>0,若能找到一個(gè)自變量ce(a,b)>

且■/(a)J(c)<0或<0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,5)上有零點(diǎn).

(4)函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是/(x)=0的根，所以可通過(guò)解方程得零點(diǎn)，或者通過(guò)變形轉(zhuǎn)

化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

(5)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以往往利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合

極值和單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)大致圖像，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.

7.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=/(%)在點(diǎn)P(x0,/(x0))

處的切線的斜率，則左=/'(/)

(2)函數(shù)y=/(X)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為y-/(x°)=/(x0)(x-x0).

(3)在關(guān)于函數(shù)圖象的切線問(wèn)題中，如果涉及確定參數(shù)值的問(wèn)題，首先設(shè)切點(diǎn)，然后注意三個(gè)

條件的使用，其一切點(diǎn)在切線上，其二切點(diǎn)在曲線上，其三切線斜率女=f(Xo).

8.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系

(1)若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D可導(dǎo)，f'(x)>0Pf(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增；f'(x)<ODf(x)

在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減.

(2)若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D可導(dǎo)，f(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞噌D/(x)>0；f(x)在區(qū)間D內(nèi)

單調(diào)遞D/(x)<0.

⑶若求單調(diào)區(qū)間，只需在函數(shù)y=/(x)的定義域內(nèi)解不等式/(x)>?；?(x)<0：或者

可以畫(huà)導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖像，通過(guò)判斷/(x)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間(尤其對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)

單調(diào)性問(wèn)題可以藺化解題過(guò)程).

(4)若已知單調(diào)性確定參數(shù)的范圍，一種方法是結(jié)合基本函數(shù)圖像或熟悉的函數(shù)的圖象求

解；另一種方法是轉(zhuǎn)化為f(x)NO或f(x)<0恒成立.

9.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值、最值的關(guān)系

(1)求極值的步驟：

①先求f(x)=O的根%(定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去)；

②分析x0兩側(cè)導(dǎo)數(shù)/(X)的符號(hào)：若左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，則不為極小值點(diǎn)；若

左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，則不為極大值點(diǎn).

(2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為0是點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要而不充分條件.

(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)在旬上連續(xù),在(a,加內(nèi)可導(dǎo)，則y=/(x)在［a,句上必有最大

值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)取得，所以只需比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)函數(shù)值即得到函數(shù)的最

值.

(4)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分

點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎(chǔ)上，通過(guò)判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值，大

前提是要考慮函數(shù)的定義域.

10.利用定積分求曲邊梯形的面積

(1)由直線x=a,x=b(a<6),x軸及一條曲線y=/(x)(/(x)NO)圍成的曲邊梯形的

面積

S=J：/(x)公，若F(X)=/(x),則5=/3)-/?(a).

(2)推廣：由直線x=a,x=b(a<6),y=/(x)和y=g(x)(/(x)>g(x))圍成的平

pb

面圖形的面積為S=￡[/(%)-g(x)]dx

二.高頻考點(diǎn)突破

考點(diǎn)1函數(shù)及其表示

【例1】【安徽省示范高中2014屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)C理)】已知函數(shù)

/(x)={f+L"1,若/(/(l))=4a,則實(shí)數(shù)。等于()

、2*+ax,x>1

14

A.—B.-C.2D.4

23

【例2】【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)理】函數(shù)y=41n(l-x)的定義

域?yàn)?)

A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]

-x,x<0,

【例3】【江蘇省蘇州市2014屆高三九月測(cè)試試卷】已知函數(shù)/(x)=《，

x-2x,x>0

則滿足./■(>)<1的x的取值范圍是一

【規(guī)律方法】1、若已知解析式求函數(shù)定義域，只需列出使解析式有意義的不等式(組)即

可.

2、對(duì)于復(fù)合函數(shù)求定義域問(wèn)題，若已知/(X)的定義域3,句，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義

域由不等式a〈g(x)W6得到.

3、對(duì)于分段函數(shù)知道自變量求函數(shù)值或者知道函數(shù)值求自變量的問(wèn)題，應(yīng)依據(jù)已知條件準(zhǔn)

確找出利用哪一段求解.

【舉一反三】【湖北省荊門(mén)市龍泉中學(xué)2014屆高三8月月考數(shù)學(xué)(理)】設(shè)

-log,(x+l)(x>6)8

/(%)=…滿足/(〃)=—?,則/(〃+4)=()

3"6一1(x?6)9

A.2B.-2C.1D.-1

考點(diǎn)2函數(shù)的圖象

【例1】【湖北省荊門(mén)市龍泉中學(xué)2014屆高三8月月考數(shù)學(xué)(理)】已知函數(shù)

/(x)=(x-a)(x-6)(。>匕)的圖象如下面左圖所示，則函數(shù)8(刈=優(yōu)+匕的圖象是()

【例2】【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)】函數(shù)y=xcosx+sinx的

圖象大致為

[例3][2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)理】函數(shù)Xx)的圖象向右平移

一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與產(chǎn)e，關(guān)于y軸對(duì)稱，則7(x)=()

A.et+,B.et-1C.e-jr+lD.e-v-1

【規(guī)律方法】1.正確的作圖必須做到：①熟練掌握常見(jiàn)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)及形如y=ox+2b(a>0,b>0)的函數(shù)圖象；②掌握?qǐng)D象變換

x

的方法來(lái)簡(jiǎn)化作圖過(guò)程.

2.正確的識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，在觀察和分析圖象時(shí)，要注意圖象的分布和變化趨勢(shì)，要結(jié)

合函數(shù)的性質(zhì)，或者特殊點(diǎn)，以及函數(shù)值的正負(fù)來(lái)判斷.

【舉一反三】

【河北省邯鄲市2014屆高三9月摸底考試數(shù)學(xué)理科】.函數(shù)

</(#=1。82區(qū)，8(工)=-/+2,則/(刀).目(刀)的圖索只可能是()

考點(diǎn)3函數(shù)的性質(zhì)

【例1】【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)理】設(shè)。為實(shí)常數(shù)，y=/(x)

2

是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=9x+—+7,若/(x)2a+l對(duì)一切x?0成

x

立，則。的取值范圍為.

[例2)【廣東省廣州市海珠區(qū)2014屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)理試題】已知函數(shù)/(x)是定

義在(-OO,-KO)上的奇函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x>0,邰有/(x+2)=/(x),且當(dāng)xe[0,21

時(shí)，/(x)=log2(z+l),則1y(-2011)+/(2012)的值為()

A.-1B.-2C.2D,1

[例3]【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)】函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?/p>

{XWRIXHI},對(duì)定義域中任意的x,都有/(2—x)=/(x),且當(dāng)x<l時(shí)，

/(x)=2/—%,那么當(dāng)%>1時(shí)，/(x)的遞增區(qū)間是()

5577

A.[—,+℃)B.(1,—]C.[—,+00)D.(1,—)

4444

【規(guī)律方法】重視對(duì)函數(shù)概念和基本性質(zhì)的理解，包括定義域、值域(最值)、對(duì)應(yīng)法則、

對(duì)稱性(包括奇偶性)、單調(diào)性、周期性、圖像變換、基本初等函數(shù)(載體)，研究函數(shù)的性

質(zhì)要注意分析函數(shù)解析式的特征，同時(shí)要注意圖象(形)的作用，善于從形的角度研究函數(shù)

的性質(zhì).

【舉一反三】

【廣東省佛山市一中2014屆高三10月段考(理)】已知函數(shù)/&)是定義在(-8,0)U(。,”)

上的奇函數(shù)，在(0,+o。)上單調(diào)遞減，且/§)>/(-6)>0,則方程/(幻=()的根的個(gè)

數(shù)為.

考點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)'對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)

【例1】【廣東省汕頭四中2014屆高三第一次月考數(shù)學(xué)(理)】已知函數(shù)

尤^X<0

/(%)='-'若—?jiǎng)t實(shí)數(shù)x的取值，范圍是()

ln(x+l),x>0.

CA)(f1)口(2,小)(B)(r,—2)5L”)(0(-1,2).(D)(-2,1)

【例2】【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)】已知映射8,其中

4=[0,l],B=R,對(duì)應(yīng)法則是7:xflog1(2—x)—(1尸，對(duì)于實(shí)數(shù)AeB,在集合A中

23

不存在元素與之對(duì)應(yīng)，則％的取值范圍是.

|log3x|,0<x<3

.【例3X江蘇省南京市2014屆高三9月學(xué)情調(diào)研】已知函數(shù)=h,10，

—x----x+8,x3

[33

若存在實(shí)數(shù)。、b、c、d,滿足/(。)=/(〃)=/(c)=/(△),其中d>c>Z>>a>0,

則abed的取值范圍是.

【規(guī)律方法】1.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x>0｝,指數(shù)函數(shù)的值域｛y|y>0｝.

2.熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指對(duì)互化；熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和

性質(zhì)，當(dāng)?shù)讛?shù)的范圍不確定時(shí)要分類(lèi)討論.

3.注意利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的圖像靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題.

【舉一反三】

【安徽省示范高中2014屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué).崔浦在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)

P、。滿足條件：

①尸、。都在函數(shù)1y=/(x)的圖像上；

②R。兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)｛R。｝是函數(shù)1y=/(x)的一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)

(注：點(diǎn)對(duì)仍,。)于｛Q,丹看作同一對(duì)“和諧點(diǎn)對(duì)”)

X+3x+2(x<0)

已知函數(shù)/(x)=1'一'，則此函數(shù)的“和諧點(diǎn)對(duì)”有()

log,x(x>0)

A.0對(duì)B.1對(duì)C.2對(duì)D.3對(duì)

考點(diǎn)5函數(shù)的零點(diǎn)

【例1】【廣東省廣州市越秀區(qū)2014屆高三上學(xué)期摸底考試(理)】函?數(shù)/(x)="+2x-3

的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

【例2】【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)】已知函數(shù)y=/(x)是周期為2

的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，/(幻=2同一1,則函數(shù)b(x)=/(x)—|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

是()

A.9B.10C.11D.12

[例3]【山西省忻州一中康杰中學(xué)臨汾一中長(zhǎng)治二中2014屆高三第一次四校聯(lián)考旌】

-X,xe[-l,0)

已知函數(shù)/(X)=<1xe[01)'若方程■/(“)一左工+上=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則上

的取值范圍是()

1

C.[-1,+COID.--,+8

2,

【規(guī)律方法】1、確定函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間：第一種方法是解方程/(x)=O的根;

第二種方法是如果方程容易解出，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)問(wèn)題，通過(guò)檢驗(yàn)交點(diǎn)左側(cè)和

右側(cè)函數(shù)值的大小關(guān)系，進(jìn)而得出兩點(diǎn)所在的區(qū)間；第三種方法是利用零點(diǎn)存在定理.

2.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合

導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.

3、方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題

處理.

【舉一反三】

【河北省邯鄲市2014屆高三9月摸底考試數(shù)學(xué)理科】直線y=x與函數(shù)

2X>7??

f(x)=\:一的圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍()

x+4x+2,x<m

A.[-1,2)B.[-1,2JC.(-1,2]D.[2,+oo)

【分析】畫(huà)出直線y=矛與y=/(x)的圖冢，觀察m的位置使得其有三個(gè)公共點(diǎn)即可.

y-xx=-2x=-1

【解析】法一：解方程組C，得仁或＜

y=/+4x+2y=-2y=-1

2,x>m

由直線1y=x與函數(shù)/(x)={2的圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)，

x2+4x+2,x<m

作出圖冢，結(jié)合圖冢，知-l<m￡2

法二：令x=x?+4x+2,得x=-2或x=T；令x=2,要使得圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則

方程有三個(gè)不同的解，故此三根全取，故-l<m￡2.

考點(diǎn)6函數(shù)模型及其應(yīng)用

【例1】【2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(陜西卷)】在如圖所示的銳角三角形空地

中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x(單位m)的取值范圍

是()

(A)[15,20](B)[12,25]

(C)[10,30](D)[20,30]

[例2][2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海卷)理】

甲廠以X千克/小時(shí)的速度運(yùn)輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求IWxWlO),每小時(shí)可獲得利

3

潤(rùn)是100(5%+1--)元.

x

(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；

(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大

利潤(rùn).

【規(guī)律方法】解與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題一般程序?yàn)椋簩忣}D建模D求解D反

饋，審題就是理解題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問(wèn)題歸納

為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題：關(guān)鍵一步是設(shè)定變量，尋找其內(nèi)在的等量關(guān)系或者不等關(guān)系，然后準(zhǔn)確

建立相關(guān)的函數(shù)解析式(標(biāo)明定義域)，再應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以

綜合解決.

【舉一反三】

【湖北孝感高中2014屆高三年級(jí)九月調(diào)研考試】(本小題滿分13分)預(yù)計(jì)某地區(qū)明年從年

初開(kāi)始的前x個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求總量/(x)(萬(wàn)件)近似滿足：

/(x)=x(x+1)(35-2x)(xeN*,且x<12)

(1)寫(xiě)出明年第矛個(gè)月的需求量XI(萬(wàn)件)與月份x的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪個(gè)

月份的需求量超過(guò)192萬(wàn)件；

(2)如果將該商品每月都投放到該地區(qū)p萬(wàn)件(不包含積壓商品)，要保證每月都滿足

供應(yīng)，p應(yīng)至少為多少萬(wàn)件？(積壓商品轉(zhuǎn)入下月繼續(xù)銷(xiāo)售)

考點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其意義

【例1】【廣東省惠州市2014屆高三第一次調(diào)研考試】已知函數(shù)/(x)=/-3x,若過(guò)點(diǎn)

4(0,16)且與曲線y=/(x)相切的切線方程為y=ox+16,則實(shí)數(shù)。的值是()

A.-3B.3C.6D.9

1,

［例2］【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)】已知函數(shù)/(x)=-x2+41nx,

若存在滿足14%0<3的實(shí)數(shù)與，使得曲線y=/(%)在點(diǎn)(x0,/(x0))處的切線與直線

x+my—10=0垂直，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

13

A.[5,+oo)B.[4,5]C.[4,y]D.(-oo,4)

［例31【江蘇省泰州中學(xué)2013-2014學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)考試】已知點(diǎn)工(1,1)和點(diǎn)

3(-1,-3)在曲線，子=。/+如?2+日(a,友d為常數(shù)上，若曲線在點(diǎn)上和點(diǎn)3處的切線

互相平行，則a3+b2+d=.

【規(guī)律方法】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是左=/(x).

2.從近幾年的高考試題來(lái)看，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程以及與切線有

關(guān)的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，解決該類(lèi)問(wèn)題必須熟記導(dǎo)數(shù)公式，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)

既在曲線上，又在切線上.

【舉一反三】

4

已知點(diǎn)P在曲線y=——上，a為曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角，則a的取值范圍是()

e*+l

A.［0,今B.弓與C.弓㈤D.(J,當(dāng)

442424

考點(diǎn)8導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(單調(diào)性'極值、最值)

【例1】【湖北省荊州中學(xué)2014屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為

/(%),對(duì)任意xeR都有f(x)>/(x)成立，貝U()

A.3/(ln2)>2/(ln3)B.3/(ln2)=2/(ln3)

C.3/(ln2)<2/(ln3)D.3/(ln2)與2/(ln3)的大小不確定

［例2］【成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2014級(jí)高三開(kāi)學(xué)檢測(cè)試卷】已知函數(shù)/。)=江+ln(x+l).

(I)當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

4

(II)當(dāng)X￡［0,+oO)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【例3】【安武省望江四中2014屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(理)】已知函數(shù)

,1o，人、

/(x)=—x2-(2In>0).

⑴若a=2,求/(x)在(1J。))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(l,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【規(guī)律方法】1、利用對(duì)于確定函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，先求定義域，然后解不等式f(x)>0

和定義域求交集得單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f（x）＜0和定義域求交集得單調(diào)遞減區(qū)間.

2、對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，可結(jié)合函數(shù)圖象判斷.

3、求函數(shù)的極值，先求/