初二上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1.如圖,已知△ABC中，∠B=90o,AB＝8cm,BＣ=６cm，P、Q就是△ABＣ邊上得兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1ｃm，點(diǎn)Q從點(diǎn)Ｂ開(kāi)始沿B→C→Ａ方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)得時(shí)間為t秒。(1）出發(fā)2秒后，求線段ＰQ得長(zhǎng)？（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BＣ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后,△PQB就是等腰三角形？(3）當(dāng)點(diǎn)Ｑ在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BＣQ成為等腰三角形得運(yùn)動(dòng)時(shí)間？２。如圖，在△AＢC中，已知AB=AC，∠BＡＣ=９0°，BC＝10cm,直線CM⊥BC，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)Ｃ開(kāi)始沿射線CＢ方向以每秒3厘米得速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)C開(kāi)始在直線CM上以每秒2厘米得速度運(yùn)動(dòng),連接ＡD、AE,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。(1）求AB得長(zhǎng);（2)當(dāng)ｔ為多少時(shí),△ABD得面積為15cｍ2？（3)當(dāng)t為多少時(shí),△ABD≌△ＡＣE,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.(請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出具體圖形）3．（1）如圖1:在四邊形ABCＤ中，AB=AD，∠BAD=1２0°,∠B=∠ADC=90°．E,F分別就是BＣ，ＣD上得點(diǎn)．且∠ＥAF=60°．探究圖中線段BE,EＦ，F(xiàn)D之間得數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題得方法就是,延長(zhǎng)ＦD到點(diǎn)G.使DG=BE。連結(jié)AG,先證明△ＡBE≌△AＤＧ，再證明△ＡEF≌△ＡGF，可得出結(jié)論,她得結(jié)論應(yīng)就是;(2）如圖2，若在四邊形ＡBCD中,AB=AD,∠Ｂ+∠D=180°.E,Ｆ分別就是BC，CＤ上得點(diǎn)，且∠ＥAＦ=∠BAD上述結(jié)論就是否仍然成立,并說(shuō)明理由；（3）如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(Ｏ處)北偏西30°得Ａ處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°得B處，并且兩艦艇到指揮中心得距離相等，接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以６0海里/小時(shí)得速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°得方向以80海里／小時(shí)得速度前進(jìn)1、５小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處,且兩艦艇之間得夾角為７0°,試求此時(shí)兩艦艇之間得距離。4。(1２分）在等腰△AＢＣ中,ＡB=AC＝２，∠BAC＝１2０°，AD⊥BC于Ｄ,點(diǎn)Ｏ、點(diǎn)Ｐ分別在射線AＤ、BA上得運(yùn)動(dòng)，且保證∠OCP=６0°，連接OＰ、（1）當(dāng)點(diǎn)Ｏ運(yùn)動(dòng)到Ｄ點(diǎn)時(shí),如圖一,此時(shí)AP＝___＿_(dá)_,△OPC就是什么三角形.（２）當(dāng)點(diǎn)O在射線AD其它地方運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ＯＰC還滿足（1)得結(jié)論嗎?請(qǐng)用利用圖二說(shuō)明理由。(3）令A(yù)O=x，AP=y，請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于x得函數(shù)表達(dá)式,以及x得取值范圍.圖一圖二5．探究題如圖,點(diǎn)O就是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ＡＯB﹦１１00,∠BＯC﹦a,將△ＢOC繞點(diǎn)C按順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)６0O得△ＡDC,連接ＯＤ、(1）求證:△ＣＯＤ就是等邊三角形；（２）當(dāng)ａ﹦150O時(shí)，試判斷△AOD得形狀,并說(shuō)明理由；（3)探究:當(dāng)僅為多少度時(shí),△AＯD就是等腰三角形?6．如圖，在△ＡBC中，∠AＣB為銳角，點(diǎn)Ｄ為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AD，以AＤ為直角邊且在AＤ得上方作等腰直角三角形AＤＦ.（1)如圖1，若AB＝AC，∠BAC=９0°,當(dāng)點(diǎn)Ｄ在線段BC上時(shí)(不與點(diǎn)B重合),證明：△ACF≌△AＢD（2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BＣ得延長(zhǎng)線上時(shí),其它條件不變，猜想CF與ＢD得數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系就是什么，并說(shuō)明理由;（3）如圖3,若ＡB≠AC，∠BＡＣ≠9０°,∠BCA=4５°,點(diǎn)D在線段ＢC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B重合），試探究CF與BＤ位置關(guān)系．7.在△ABＣ中,∠AＣB=２∠B，如圖①,當(dāng)∠C=9０°,AＤ為∠ＢAC得角平分線時(shí),在AB上截取AＥ=ＡC，連接DE，易證AB=AC+ＣＤ。（１）如圖②,當(dāng)∠C≠90°,ＡＤ為∠ＢＡC得角平分線時(shí),線段AB、AC、ＣＤ又有怎樣得數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出您得猜想并證明;(2）如圖③，當(dāng)ＡD為△ABC得外角平分線時(shí),線段AB、ＡC、ＣD又有怎樣得數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出您得猜想，并對(duì)您得猜想給予證明．8.如圖,在等邊△ABC中，線段AＭ為BC邊上得中線。動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CＤ為一邊在CD得下方作等邊△CＤＥ，連結(jié)BＥ。

（1)填空：∠CＡM=__＿_(dá)______度；?（2）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ＡDC≌△BＥC;?(３）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，設(shè)直線ＢE與直線AM得交點(diǎn)為O，試判斷∠AOＢ就是否為定值？并說(shuō)明理由。9。（1）如圖(１），已知：在△ＡＢC中，∠ＢＡC＝９0°,ＡB=AＣ,直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，ＢD⊥直線m，CＥ⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E、證明：△AＢD≌△ＡＣEDE=BD＋CE(2)如圖(２），將（1）中得條件改為:在△ABＣ中,AB=AC,Ｄ、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDＡ=∠ＡEC=∠ＢAC=，其中為任意銳角或鈍角、請(qǐng)問(wèn)結(jié)論ＤE＝BD+ＣE就是否成立？如成立,請(qǐng)您給出證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由、10。如圖①，等腰直角三角形得頂點(diǎn)得坐標(biāo)為，得坐標(biāo)為，直角頂點(diǎn)在第四象限，線段AC與x軸交于點(diǎn)D、將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9０°至DE、(１)直接寫(xiě)出點(diǎn)Ｂ、Ｄ、E得坐標(biāo)并求出直線DＥ得解析式、(２）如圖②，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位得速度沿線段AC從點(diǎn)Ａ運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C得過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P作與ｘ軸平行得直線PＧ，交直線DE于點(diǎn)G,求與△ＤPG得面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t得函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量ｔ得取值范圍、(3）如圖③,設(shè)點(diǎn)F為直線ＤＥ上得點(diǎn)，連接AF,一動(dòng)點(diǎn)Ｍ從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段ＡF以每秒１個(gè)單位得速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段ＦＥ以每秒個(gè)單位得速度運(yùn)動(dòng)到E后停止、當(dāng)點(diǎn)Ｆ得坐標(biāo)就是多少時(shí)，就是否存在點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F得坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由、參考答案1．（1)；(２）ｔ=8３；（3）當(dāng)t為5、５秒或６秒或６、６秒時(shí),△BCQ為等腰三角形、【解析】(1)根據(jù)點(diǎn)Ｐ、Q得運(yùn)動(dòng)速度求出AＰ,再求出BＰ與BQ,用勾股定理求得PＱ即可；（2）設(shè)出發(fā)t秒后，△ＰQＢ能形成等腰三角形,則BP=BQ，由BQ=2ｔ，BP=8-ｔ,列式求得ｔ即可;（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)上,能使△BＣQ成為等腰三角形得運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：①當(dāng)CQ＝BＱ時(shí)(圖1)則∠C=∠ＣBQ，可證明∠A=∠ABＱ,則BＱ=AＱ，則CＱ=ＡQ，從而求得t；②當(dāng)CＱ＝BC時(shí)(圖２),則BＣ+CQ＝１2,易求得t；③當(dāng)BC=ＢQ時(shí)(圖3），過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AＣ于點(diǎn)E，則求得BE、CE，即可得出ｔ、解:（1）BQ=2×2=4ｃm，BP＝ＡB?AP＝8?2×１=６cｍ，∵∠B=90°，ＰQ=;(2）BＱ=2ｔ,BP=8?t,2t＝8?ｔ，解得:t=83；（３）①當(dāng)CQ＝BQ時(shí)(圖１），則∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ＝90°,∠A+∠C=90°，∴∠A＝∠ＡBQ，∴BＱ=AQ,∴ＣQ=AQ=5,∴BC+ＣＱ=11,∴ｔ=11÷2=５、5秒、②當(dāng)ＣＱ=BC時(shí)（如圖2），則ＢC＋CQ=1２∴t=１２÷2=6秒③當(dāng)BC＝BQ時(shí)(如圖3），過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AＣ于點(diǎn)E,則BE=,所以ＣE=BＣ２?BＥ2,故CQ=2CＥ=7、２，所以ＢC+ＣQ＝13、２,∴ｔ＝1３、2÷2＝6、６秒、由上可知，當(dāng)t為5、５秒或6秒或６、6秒時(shí),△BＣQ為等腰三角形、“點(diǎn)睛"本題考查了勾股定理、三角形得面積以及等腰三角形得判定與性質(zhì),注意分類討論思想得應(yīng)用、2.(1)５;(2)2或8;（3）2或10.【解析】試題分析：(1)運(yùn)用勾股定理直接求出;（２）首先求出△ABD中BD邊上得高,然后根據(jù)面積公式列出方程，求出ＢD得值,分兩種情況分別求出t得值；（3）假設(shè)△ABD≌△ACE,根據(jù)全等三角形得對(duì)應(yīng)邊相等得出BＤ=CE，分別用含ｔ得代數(shù)式表示ＣE與BD，得到關(guān)于t得方程,從而求出t得值.試題解析:（1)∵在△AＢC中，ＡB=ＡC，∠ＢＡC=90°,∴2AB２=BC2,∴AB==5cｍ;（2)過(guò)A作AＦ⊥BC交BＣ于點(diǎn)F，則AF=BＣ＝５cm，∵S△ＡBD=15cｍ２,∴AF×BD=30，∴BD=6ｃm．若Ｄ在B點(diǎn)右側(cè),則CD=4cm，t＝2ｓ;若D在B點(diǎn)左側(cè),則ＣD=16cm,t=８ｓ．(3)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線ＣＭ方向運(yùn)動(dòng)2秒或當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線CM得反向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)６秒時(shí)，△ＡBＤ≌△ACE.理由如下:（說(shuō)理過(guò)程簡(jiǎn)要說(shuō)明即可）①當(dāng)E在射線ＣM上時(shí)，D必在ＣＢ上，則需BＤ＝CE．∵CＥ=2ｔ，ＢD＝1０﹣3t∴２ｔ=1０﹣3t∴t=2證明：在△ＡBD與△AＣＥ中，∵，∴△ＡBＤ≌△ACＥ（ＳAS）.②當(dāng)Ｅ在ＣM得反向延長(zhǎng)線上時(shí)，Ｄ必在CB延長(zhǎng)線上,則需BD＝CE?！撸肊=2t，BD=3ｔ﹣10,∴２ｔ＝3t﹣１0，∴ｔ=10證明:在△ABＤ與△AＣE中，∴△ABＤ≌△ＡＣE.點(diǎn)睛：本題就是三角形綜合題目,考查了等腰直角三角形得性質(zhì)、全等三角形得性質(zhì)與判定以及面積得計(jì)算；本題綜合性強(qiáng)，有一定得難度,熟練掌握等腰直角三角形得性質(zhì)與分類討論思想得運(yùn)用、3。問(wèn)題背景:EF＝BE＋DF；探索延伸：EＦ=BE＋DF仍然成立,理由見(jiàn)解析;實(shí)際應(yīng)用:此時(shí)兩艦艇之間得距離就是2１0海里?！窘馕觥拷猓?jiǎn)栴}背景:EF=ＢE+ＤF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立。證明如下：如圖，延長(zhǎng)ＦD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC=18０°，∠ADC＋∠ADG＝18０°,∴∠B=∠ADG，在△ABＥ與△AＤG中，,∴△ABE≌△ADG(SＡS）,∴AE=ＡＧ，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF=∠DAG＋∠DＡＦ＝∠BＡＥ+∠DAF＝∠BＡD—∠EAF=∠ＥAF，∴∠EAF=∠GＡF,在△ＡＥF與△GAF中，,∴△AEF≌△ＧAF(SAＳ）,∴EF=FG，∵ＦG＝ＤＧ＋DF＝ＢＥ＋DＦ，∴EF=BE+DＦ；實(shí)際應(yīng)用：如圖,連接ＥF,延長(zhǎng)ＡE、BF相交于點(diǎn)C,∵∠ＡOB=30°+90°＋（90°-7０°)＝１40°,∠EＯＦ=７0°,∴∠ＥAF=∠AOB,又∵OA=OB，∠OAＣ＋∠OBC＝（90°－30°)+(７0°+50°）＝180°,∴符合探索延伸中得條件,∴結(jié)論ＥF＝AＥ＋BF成立,即EF＝１、5×(60+80）=２１０海里.答：此時(shí)兩艦艇之間得距離就是210海里.４．(1)1,等邊三角形;(2)理由見(jiàn)解析;（3）當(dāng)時(shí)，y=２-x；當(dāng)時(shí),y=x—2【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形得性質(zhì)得到∠B=∠ACB=3０°，求得∠ACP=30°，根據(jù)全等三角形得性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2)過(guò)Ｃ作CE⊥AP于E,根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)得到ＣD=CＥ,根據(jù)全等三角形得性質(zhì)得到OC=OＰ，由等邊三角形得判定即可得到結(jié)論；（3)分兩種情況解決,在ＡB上找到Ｑ點(diǎn)使得AＱ=OＡ，則△AＯQ為等邊三角形,根據(jù)求得解實(shí)現(xiàn)得性質(zhì)得到ＰA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到結(jié)論．試題解析:（1）AＤ＝ＡP=1，∵ＡＢ=AC＝２，∠BAC=12０°，∴∠Ｂ=∠ACB=30°，∵∠OＣP=60°,∴∠AＣP=3０°,∵∠CAP=1８0°﹣∠BAC＝60°，∵ＡD⊥ＢC,∴∠DAＣ=６0°，在△ADC與△APC中,，∴△ＡＣＤ≌△ACP，∴CD=CP，∴△PＣO就是等邊三角形；（２)△OＰC還滿足（1)得結(jié)論,理由：過(guò)C作ＣE⊥AP于E,∵∠CＡD=∠EAC=６0°，AD⊥CD,∴ＣD=ＣE，∴∠DCＥ＝60°，∴∠OCE＝∠ＰCE,在△ＯＣD與△ＰCE中,，∴△OCＤ≌△PＣE，∴ＯＣ=OP，∴△OＰC就是等邊三角形；(3）當(dāng)０<x≤2時(shí),在AB上找到Q點(diǎn)使得AＱ=ＯA,則△AOＱ為等邊三角形,則∠BQＯ=∠PAO＝1２０°,在△ＢQO與△PAＯ中，，∴△BQO≌△PAO(AＡＳ），∴ＰＡ=BQ,∵AB=BQ+AＱ,∴AC=AO+AＰ，∵ＡＯ＝x，AＰ=y，∴y=﹣ｘ+2；當(dāng)時(shí)，利用同樣得方法可求得y=x-2點(diǎn)睛:本題考查了全等三角形得判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得性質(zhì),本題中求證△BＱＯ≌△PAO就是解題得關(guān)鍵,解決本題時(shí)注意分類討論，要做到不重不漏.5．(1)等邊三角形；（2)直角三角形；（3)當(dāng)?shù)枚葦?shù)為或或時(shí)，△ＡOD就是等腰三角形、【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)可得出OC=OD，結(jié)合題意即可證得結(jié)論；（2)結(jié)合(1)得結(jié)論可作出判斷;（3)找到變化中得不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等得性質(zhì)即可做出解答、（１)證明：∵將△BOC繞點(diǎn)Ｃ按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)６0°得△AＤC∴CO=CD,∠OCD=６０°∴△ＣＯD就是等邊三角形、（２）解:當(dāng)=150°時(shí)，△AOD就是直角三角形理由就是：∵△ＢOC≌△ADC∴∠ADC=∠BOC=150°又∵△COD就是等邊三角形∴∠ＯDC=60°［來(lái)∴∠ＡＤO＝∠AＤC-∠ODC＝9０°,即△AOD就是直角三角形、（３)解：①要使AO=AD,需∠AＯD=∠ＡDO∵∠AOD＝=,∠ADO=∴=∴②要使OA＝OD，需∠OAD=∠AＤO∵∠ＯAD=（∠ＡOD+∠ADO)==∴=∴③要使DＯ=DA,需∠OAD=∠ＡＯD、∵∠AOD=＝，∠ＯＡＤ=∴=，解得綜上所述：當(dāng)?shù)枚葦?shù)為或或時(shí),△AOD就是等腰三角形、“點(diǎn)睛”本題以“空間與圖形”中得核心知識(shí)（如等邊三角形)得性質(zhì)、全等三角形得性質(zhì)與證明、直角三角形得判定、多邊形內(nèi)角與等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)，試題中幾何演繹推理得難度適中，蘊(yùn)含著豐富得思想方法(如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等）能較好地考查學(xué)生得推理、探究及解決問(wèn)題得能力、６．見(jiàn)解析【解析】(１）根據(jù)同角得余角相等求出∠CAF=∠ＢＡＤ，然后利用“邊角邊”證明△ACF與△ABＤ全等,（２）先求出∠CAＦ=∠BＡD,然后與①得思路相同求解即可；（3)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AＣ交BC于E，可得△ACE就是等直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形得性質(zhì)可得AC=AE,∠AED=４５°,再根據(jù)同角得余角相等求出∠ＣAF=∠EAD,然后利用“邊角邊"證明△ACF與價(jià)AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AＣF=∠AEＤ，然后求出∠BCＦ=9０°，從而得到CF⊥BD、解:(1）∵∠ＢAC＝90°,△ADF就是等腰直角三角形，∴∠ＣAＦ+∠CAD＝90°,∠BAD+∠ＡCD=90°,AD＝AF∴∠ＣAF=∠BAＤ,在△ACＦ與△ＡBD中，AB=AC，∠CAF=∠，AD＝AF,∴△ACF≌△ABＤ(SAS)(2)CF⊥BD，如圖2，∵△ADＦ就是等腰直角三角形，∴AD=AF,∵∠CAB=∠DAF=９0°,∴∠CAB+∠CAD=∠ＤAF＋∠ＣAD，即∠ＣＡＦ=∠ＢAD,在△AＣF與△ＡBD中,AB=AC，∠CAF=∠ＢAD,ＡＤ＝AF，∴△ＡCF≌△ＡBD（ＳＡＳ)，∴ＣF=BD，∠ACＦ=∠B,∵ＡＢ=AC，∠BAC＝9０°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠AＣF+∠ＡＣB＝45°＋45°=90°，∴CF⊥ＢD(3）CＦ⊥BD如圖3，過(guò)點(diǎn)A作ＡＥ⊥ＡＣ交BC于Ｅ，∵∠BＣA=45°，∴△ACE就是等腰直角三角形，∴ＡC=ＡE，∠AED=45°，∵∠CAＦ＋∠CAＤ=90°，∠ＥAＤ＋∠CAD=９0°,∴∠ＣAF=∠EAD，在△ＡCF與△ＡＥＤ中,AC=AE,∠CＡＦ=∠EAD，AD=AＦ，∴△AＣF≌△AED(SAS），∴∠ACF=∠AED=４5°,∴∠BCF=∠ＡCＦ+∠ＢCA=４5°＋４5°=９0°,∴CF⊥BＤ．“點(diǎn)睛"此題就是三角形綜合題,主要考查了全等三角形得判定與性質(zhì),等腰直角三角形得性質(zhì)，根據(jù)同角得余角相等求出兩邊得夾角相等就是證明三角形全等得關(guān)鍵，此類題目得特點(diǎn)就是各小題求解思路一般都相同、7.（1)（２）見(jiàn)解析【解析】（１）首先在AB上截取AE=AC,連接DE，易證△AＤE≌△ADC(ＳAS),則可得∠ＡED=∠C，ED=CD,又由∠ＡCB=２∠Ｂ，易證DE=CD,則可求得ＡB=AC+ＣD;?（2)首先在BＡ得延長(zhǎng)線上截取AE=ＡC,連接ED,易證△ＥＡD≌△ＣAD,可得ＥD=ＣD,∠AＥD=∠AＣＤ，又由∠ＡCB=2∠B,易證DE=ＥＢ,則可求得AＣ+AB=CD．解：（1）猜想：AB=AC+ＣＤ。

證明：如圖，在ＡB上截取AＥ=AC，連接ＤE,?∵AＤ為∠ＢAC得角平分線時(shí),

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AD=AD,?∴△ADE≌△ADＣ（SＡＳ），

∴∠AＥＤ=∠Ｃ，ＥＤ＝CD,

∵∠ACB=2∠B,

∴∠AED＝2∠B，?∴∠B=∠EDB,?∴EB=ED，

∴EＢ=CＤ，

∴AB=AE+ＤE＝AC+CＤ．

（2）猜想:AB+AC=ＣD。?證明:如圖，在ＢA得延長(zhǎng)線上截取AＥ=AC,連接ED．

∵AD平分∠FAC，?∴∠ＥAD=∠CＡD.?在△ＥＡD與△CAD中,AＥ＝AC，∠ＥAD＝∠CAD，AＤ=AD，?∴△EＡＤ≌△CＡD.

∴ＥD=CD，∠ＡＥＤ=∠ACD．

∴∠FED＝∠ACB.

又∠AＣB=2∠B，∠FＥD=∠B＋∠EDB，∠ＥDＢ=∠B。?∴EB=ED。?∴EA＋AＢ＝EB=ED=CＤ.?∴ＡC+AB＝ＣD?！包c(diǎn)睛”此題考查了全等三角形得判定與性質(zhì)以及等腰三角形得判定定理。此題難度適中，解題得關(guān)鍵就是注意數(shù)形結(jié)合思想得應(yīng)用.8.３０；【解析】（1)根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)可以直接得出結(jié)論;?（2)根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)就可以得出ＡC＝AC,DC=EC，∠AＣB=∠DCE=60°，由等式得性質(zhì)就可以∠BＣE=∠ＡCD，根據(jù)SAS就可以得出△ADＣ≌△BEC；

(3)分情況討論:當(dāng)點(diǎn)Ｄ在線段ＡM上時(shí),如圖1，由(2）可知△ＡＣD≌△ＢCE，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)D在線段AM得延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,可以得出△ACＤ≌△ＢＣE而有∠CBＥ=∠CAＤ=３0°而得出結(jié)論;當(dāng)點(diǎn)D在線段MA得延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3，通過(guò)得出△ACＤ≌△BCE同樣可以得出結(jié)論。解:（1)∵△ABC就是等邊三角形，?∴∠BAC＝60°。?∵線段AM為BＣ邊上得中線

∴∠ＣAM=∠BＡC，

∴∠CAM＝３0°.

故答案為：３0;?(２）∵△ＡBＣ與△DEC都就是等邊三角形?∴AC＝BC,ＣD=CE,∠ACB=∠DＣＥ=6０°

∴∠ACＤ+∠ＤCＢ=∠DCB＋∠BCE

∴∠ACD=∠BＣＥ.

在△ＡDＣ與△BEＣ中,AＣ=BC,∠ＡＣD=∠BＣE，ＣD=CE，，?∴△AＣD≌△ＢCE（ＳAS）;

（3)∠AOＢ就是定值，∠AOB＝6０°，?理由如下:?①當(dāng)點(diǎn)Ｄ在線段AM上時(shí),如圖１，由（２）可知△ACD≌△ＢＣE，則∠CＢE=∠CAD=3０°,

又∠ABＣ=6０°

∴∠ＣBE+∠ABC＝60°+3０°＝90°,?∵△ABC就是等邊三角形，線段AM為BC邊上得中線?∴AM平分∠ＢAC,即∠ＢAＭ=∠BAC=×６0°=30°?∴∠ＢOA=９0°—30°=6０°.

②當(dāng)點(diǎn)D在線段ＡM得延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖２,

∵△ABC與△ＤEC都就是等邊三角形

∴AC=BC,CD＝ＣＥ，∠ACB=∠DCＥ=60°?∴∠ＡＣＢ+∠ＤCB=∠DCB＋∠DCE

∴∠AＣＤ=∠BCE

在△ACD與△BCE中，AC＝BC，∠ＡCD＝∠ＢCE,CＤ=ＣE,∴△ACD≌△BCＥ(SＡS）?∴∠CBE=∠CAD=３0°，?同理可得：∠BAＭ=３0°,

∴∠ＢOA=９０°—３0°=60°.?③當(dāng)點(diǎn)D在線段MA得延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,?∵△ABC與△DＥC都就是等邊三角形

∴AC＝ＢC,ＣD=CE，∠AＣB=∠DCＥ＝60°

∴∠ＡCＤ+∠ＡＣE=∠BCE+∠ACE=60°?∴∠AＣD＝∠BCＥ

在△ACＤ與△BCＥ中,ＡC=BC，∠ＡＣＤ＝∠BCE，CＤ=CE，∴△ACD≌△BCＥ（SＡS)

∴∠CBE=∠CAD

同理可得:∠CAM=30°

∴∠CBE=∠CAＤ=１50°?∴∠CBO=30°，∠BAM=３０°,?∴∠BOＡ=90°-３０°=６0°.

綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí),∠ＡOB就是定值,∠AOB＝60°?！包c(diǎn)睛”邊三角形得性質(zhì)得運(yùn)用，直角三角形得性質(zhì)得運(yùn)用，等式得性質(zhì)得運(yùn)用，全等三角形得判定及性質(zhì)得運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等就是關(guān)鍵.9．(1)證明見(jiàn)解析;（２）成立，理由見(jiàn)解析、【解析】試題分析：(１)根據(jù)BＤ⊥直線m，CＥ⊥直線m得∠BDA=∠CEA=９０°，而∠ＢAC＝90°，根據(jù)等角得余角相等得∠ＣAE=∠ABD，然后根據(jù)“ＡAＳ”可判斷△ADＢ≌△CEA,則AＥ＝BD，AD=CＥ,于就是ＤE=ＡE＋AＤ=BD+CＥ；(2）利用∠BDA=∠BＡC=α,則∠DBＡ+∠BAＤ=∠BAＤ＋∠CAE=1８0°—α,得出∠CＡE=∠ABＤ，進(jìn)而