充分條件與必要條件1．命題及相關(guān)概念2．充分條件與必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．充要條件假如“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．假如p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即假如p?q，那么p與q互為充要條件．溫馨提示：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．【題型1充分條件、必要條件及充要條件的判定】【方法點(diǎn)撥】(1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后推斷p?q、q?p和p?q是否成立，最終得出結(jié)論．(2)命題推斷法：①若p?q，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．②若p?q，則p是q的充要條件．③若p?q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的充分不必要條件．④若peq\o(?,/)q，且q?p，則稱p是q的必要不充分條件．⑤若peq\o(?,/)q，且qeq\o(?,/)p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．【例1】（2024?呼和浩特一模）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x﹣2＞0}，則x∈A是x∈B的（）A．充分不要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分他不要條件【變式1-1】（2024春?溫州期中）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，則“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【變式1-2】（2024?西寧一模）設(shè)m∈R，則“m＜0”是“m＜1”的（）A．充分必要條件 B．即不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【變式1-3】（2024?柯橋區(qū)模擬）設(shè)x∈R，則“x＞2”是“2x＜A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【題型2充分條件、必要條件及充要條件的探究】【方法點(diǎn)撥】(1)先找尋必要條件，即將探求充要條件的對(duì)象視為結(jié)論，找尋使之成立的條件；再證明此條件是該對(duì)象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說(shuō)明．(2)將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過(guò)程同時(shí)也是證明的過(guò)程，因此探求過(guò)程每一步都是等價(jià)的，所以不須要將充分性和必要性分開(kāi)來(lái)證．【例2】（2024春?射洪市校級(jí)期中）已知p：0＜x＜2，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3【變式2-1】（2024秋?南寧期末）已知p：0＜x＜1，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A．1＜x＜3 B．﹣1＜x＜1 C．13＜x【變式2-2】（2024?全國(guó)一模）已知a，b∈R，則“ab≠0”的一個(gè)必要條件是（）A．a(chǎn)+b≠0 B．a(chǎn)2+b2≠0 C．a(chǎn)3+b3≠0 D．1【變式2-3】（2024秋?湖南期中）“x﹣1＞0”成立的一個(gè)必要不充分條件的是（）A．x＞1 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞0【題型3由充分條件、必要條件求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍時(shí)，先將p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，再依據(jù)充分、必要條件與集合間的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．【例3】（2024秋?赫章縣期末）若“1≤x≤4”是“a≤x≤a+4”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤0 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．a(chǎn)≤0或a≥1【變式3-1】（2024秋?羅莊區(qū)校級(jí)月考）已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤5 B．﹣1＜a≤5 C．﹣2≤a≤3 D．﹣2≤a＜3【變式3-2】（2024?晉中模擬）已知條件p：﹣1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]【變式3-3】（2024?渭濱區(qū)校級(jí)模擬）假如不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要條件是12＜xA．12＜a＜32 B．12≤a≤【題型4充要條件的證明】【方法點(diǎn)撥】證明充要條件時(shí)要從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明，首先分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性須要證明“條件”?“結(jié)論”，必要性須要證明“結(jié)論”?“條件”．【例4】（2024秋?禪城區(qū)校級(jí)月考）已知ab≠0，求證：a3﹣2a2b+2ab2﹣b3＝0成立的充要條件是a﹣b＝0．【變式4-1】（2024秋?金山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)n∈Z，求證：“n是偶數(shù)”是“