2021年廣東廣州市荔灣區(qū)西關(guān)外國(guó)語學(xué)校中考數(shù)學(xué)三模試卷一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列各運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）A．m6÷m3＝m2 B．（2m2）3＝6m6 C．（m+n）2＝m2+n2 D．（﹣m）3﹣m3＝﹣2m32．（3分）在主題為“我為武侯代言”夢(mèng)想大舞臺(tái)之青春講解員的選拔賽中，其中6名選手的成績(jī)（單位：分）分別為：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．8.2，9.5 B．9.5，8.7 C．8.5，8.7 D．8.5，9.53．（3分）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．60°4．（3分）樣本數(shù)據(jù)﹣2、﹣1、0、1、2的方差是（）A．2 B．1 C．0 D．5．（3分）如圖所示，是一個(gè)由5個(gè)相同的正方體組成的立體圖形的俯視圖，方框內(nèi)數(shù)字為對(duì)應(yīng)位置上的小正方體的個(gè)數(shù)，它的左視圖是（）A． B． C． D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．7．（3分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣2，﹣2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，其位似比為，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（）A．（﹣8，4） B．（﹣8，4）或（8，﹣4） C．（﹣2，1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）8．（3分）若點(diǎn)A（x1，﹣4），B（x2，﹣2），C（x3，3）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x3＜x2 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x39．（3分）若關(guān)于x的方程+＝2的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠810．（3分）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分別以A1，A2，A3，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．則y1+y2+…+y2021的值為（）A．2 B．900 C．2 D．4二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（﹣）2＝．12．（3分）因式分解：2x2+xy＝．13．（3分）若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則a+b＝．14．（3分）若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都為45°，則該多邊形為邊形．15．（3分）已知圓錐的底面圓半徑是3，母線長(zhǎng)是5，則它的側(cè)面展開圖的面積是．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為．三、解答題（本大題共9小題，共72分）17．（8分）解不等式4（x﹣1）+3≤2x+5，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．18．（8分）如圖，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD、BC邊上的點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣2．20．（8分）某校數(shù)學(xué)實(shí)踐小組就近期人們比較關(guān)注的五個(gè)話題：“A．5G通訊：B．民法典；C．北斗導(dǎo)航；D．?dāng)?shù)字經(jīng)濟(jì)；E．小康社會(huì)”，對(duì)某小區(qū)居民進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，每人只能從中選擇一個(gè)本人最關(guān)注的話題，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解決下列問題：（1）在這次活動(dòng)中，調(diào)查的居民共有人；（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中的a＝，D所在扇形的圓心角是度；（4）該小組討論中，甲、乙兩個(gè)小組從三個(gè)話題：“A．5G通訊；B．民法典；C．北斗導(dǎo)航”中抽簽（不放回）選一項(xiàng)進(jìn)行發(fā)言，利用樹狀圖或表格，求出兩個(gè)小組選擇A、B話題發(fā)言的概率．21．（8分）如圖，已知反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），過A作AC⊥y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)B為反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AD．直線BC與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E．（1）求k的值；（2）若BD＝3OC，求四邊形ACED的面積．22．（8分）隨著某市養(yǎng)老機(jī)構(gòu)建設(shè)的穩(wěn)步推進(jìn)，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加．（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2018年底的2萬個(gè)增長(zhǎng)到2020年底的2.88萬個(gè)，求該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；（2）若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個(gè)養(yǎng)老床位），雙人間（2個(gè)養(yǎng)老床位），三人間（3個(gè)養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍．設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個(gè)？23．（8分）如圖，已知∠MAN，B為邊AM上一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖（要求保留作圖痕跡，不寫作法）：①過點(diǎn)B作BC⊥AM交AN邊于點(diǎn)C；②以AC為邊作∠ACD＝∠A，且交AB于點(diǎn)D．（2）若AD＝3，BD＝2，請(qǐng)利用（1）中所作的圖形求sin∠A的值．24．（8分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）直接寫出拋物線的解析式：；（2）點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸交于點(diǎn)G、H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．①求DF+HF的最大值；②連接EG，若∠GEH＝45°時(shí)，求m的值．25．（8分）如圖，半徑為7的⊙O上有一動(dòng)點(diǎn)B，點(diǎn)A為半徑OE上一點(diǎn)，且AB最大為10，以AB為邊向外作正方形ABCD，連接DE．（1）請(qǐng)直接寫出OA的長(zhǎng)．（2）過點(diǎn)A作AF⊥OE，且AF＝OA，連接FD，在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)D的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化嗎？變化請(qǐng)說明理由，不變化請(qǐng)求出FD的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫DE的長(zhǎng)．（4）請(qǐng)直接寫出DE的最大值和最小值．參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列各運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）A．m6÷m3＝m2 B．（2m2）3＝6m6 C．（m+n）2＝m2+n2 D．（﹣m）3﹣m3＝﹣2m3【解答】解：A、原式＝m6﹣3＝m3，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B、原式＝8m6，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；C、原式＝m2+2mn+n2，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；D、原式＝﹣2m3，故此選項(xiàng)計(jì)算正確；故選：D．2．（3分）在主題為“我為武侯代言”夢(mèng)想大舞臺(tái)之青春講解員的選拔賽中，其中6名選手的成績(jī)（單位：分）分別為：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．8.2，9.5 B．9.5，8.7 C．8.5，8.7 D．8.5，9.5【解答】解：6名選手的成績(jī)（單位：分）分別為：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，則這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列是：8.2，8.5，8.5，8.9，9.2，9.5，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8.5，中位數(shù)是（8.5+8.9）÷2＝8.7，故選：C．3．（3分）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．60°【解答】解：如圖所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故選：B．4．（3分）樣本數(shù)據(jù)﹣2、﹣1、0、1、2的方差是（）A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：（﹣2﹣1+0+1+2）＝0，則數(shù)據(jù)﹣2、﹣1、0、1、2的方差是[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]＝2．故選：A．5．（3分）如圖所示，是一個(gè)由5個(gè)相同的正方體組成的立體圖形的俯視圖，方框內(nèi)數(shù)字為對(duì)應(yīng)位置上的小正方體的個(gè)數(shù)，它的左視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：該幾何體的左視圖為：．故選：A．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．【解答】解：如圖：設(shè)BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故選：D．7．（3分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣2，﹣2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，其位似比為，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（）A．（﹣8，4） B．（﹣8，4）或（8，﹣4） C．（﹣2，1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【解答】解：∵以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，其位似比為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，2），∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故選：D．8．（3分）若點(diǎn)A（x1，﹣4），B（x2，﹣2），C（x3，3）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x3＜x2 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3【解答】解：當(dāng)y＝﹣4時(shí)，＝﹣4，解得：x1＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時(shí)，＝﹣2，解得：x2＝﹣2；當(dāng)y＝3時(shí)，＝3，解得：x3＝．∴x2＜x1＜x3．故選：D．9．（3分）若關(guān)于x的方程+＝2的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【解答】解：原方程化為整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因?yàn)殛P(guān)于x的方程+＝2的解為正數(shù)，可得：，解得：m＜6，因?yàn)閤＝2時(shí)原方程無解，所以可得，解得：m≠0．故選：C．10．（3分）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分別以A1，A2，A3，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．則y1+y2+…+y2021的值為（）A．2 B．900 C．2 D．4【解答】解：過點(diǎn)C1，C2，C3…分別作x軸的垂線，垂足分別為D1，D2，D3…，由題意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，……設(shè)OD1＝a，則C1（a，a），由點(diǎn)C1（a，a）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴a?a＝4，解得a＝2（取正值），∴y1＝2，設(shè)A1D2＝b，則C2（4+b，b），由點(diǎn)C2（4+b，b），在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴（4+b）?b＝4，解得b＝2﹣2（取正值），∴y2＝2﹣2，設(shè)A2D3＝c，則C3（4+c，c），由點(diǎn)C3（4+c，c），在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴（4+c）?c＝4，解得c＝2﹣2（取正值），∴y3＝2﹣2，同理可求y4＝2﹣2，y5＝2﹣2，y6＝2﹣2，……y2021＝2﹣2，∴y1+y2+…+y2021＝2+2﹣2+2﹣2+…+2﹣2＝2，故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（﹣）2＝2．【解答】解：（﹣）2＝2，故答案為：2．12．（3分）因式分解：2x2+xy＝x（2x+y）．【解答】解：2x2+xy＝x（2x+y）．故答案為：x（2x+y）．13．（3分）若最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則a+b＝13．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，∴a﹣11＝2﹣b，∴a+b＝13．故答案為13．14．（3分）若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都為45°，則該多邊形為八邊形．【解答】解：∵一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷45°＝8．則這個(gè)多邊形是八邊形．故答案為：八．15．（3分）已知圓錐的底面圓半徑是3，母線長(zhǎng)是5，則它的側(cè)面展開圖的面積是15π．【解答】解：圓半徑是3，則底面周長(zhǎng)＝6π，側(cè)面展開圖的面積＝×6π×5＝15π．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為2．【解答】解：如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝1，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．∵直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE＝＝＝5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴＝，∴＝，∴MN＝，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值＝×5×（﹣1）＝2，故答案為2．三、解答題（本大題共9小題，共72分）17．（8分）解不等式4（x﹣1）+3≤2x+5，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【解答】解：4（x﹣1）+3≤2x+5，去括號(hào)，得4x﹣4+3≤2x+5，移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得2x≤6，系數(shù)化為1，得x≤3，其解集在數(shù)軸上表示如下，．18．（8分）如圖，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD、BC邊上的點(diǎn)，且AE＝CF，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．【解答】證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴ED∥BF，又∵AE＝CF，且ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，∴ED＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣2．【解答】解：原式＝×＝，當(dāng)a＝﹣2時(shí)，原式＝＝﹣．20．（8分）某校數(shù)學(xué)實(shí)踐小組就近期人們比較關(guān)注的五個(gè)話題：“A．5G通訊：B．民法典；C．北斗導(dǎo)航；D．?dāng)?shù)字經(jīng)濟(jì)；E．小康社會(huì)”，對(duì)某小區(qū)居民進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，每人只能從中選擇一個(gè)本人最關(guān)注的話題，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解決下列問題：（1）在這次活動(dòng)中，調(diào)查的居民共有200人；（2）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中的a＝25，D所在扇形的圓心角是36度；（4）該小組討論中，甲、乙兩個(gè)小組從三個(gè)話題：“A．5G通訊；B．民法典；C．北斗導(dǎo)航”中抽簽（不放回）選一項(xiàng)進(jìn)行發(fā)言，利用樹狀圖或表格，求出兩個(gè)小組選擇A、B話題發(fā)言的概率．【解答】解：（1）調(diào)查的居民共有：60÷30%＝200（人），故答案為：200；（2）選擇C的居民有：200×15%＝30（人），選擇A的居民有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）a%＝50÷200×100%＝25%，∴a＝25，話題D所在扇形的圓心角是：360°×＝36°，故答案為：25，36；（4）畫樹狀圖如圖：共有6個(gè)等可能的結(jié)果，兩個(gè)小組選擇A、B話題發(fā)言的結(jié)果有2個(gè)，∴兩個(gè)小組選擇A、B話題發(fā)言的概率為＝．21．（8分）如圖，已知反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），過A作AC⊥y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)B為反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AD．直線BC與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E．（1）求k的值；（2）若BD＝3OC，求四邊形ACED的面積．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，2），∴2＝，解得：k＝8，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝（x＞0）．（2）∵AC⊥y軸，A（4，2），∴OC＝2，∵BD＝3OC，∴BD＝3×2＝6，∵BD⊥x軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為6，代入y＝中，得：6＝，解得：x＝，∴B（，6），∵C（0，2），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，則有，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝3x+2，令y＝0，得：3x+2＝0，解得：x＝，∴E（，0），∴DE＝﹣（）＝2，∵AC∥DE，∴S四邊形ACED＝（AC+DE）?OC＝×（4+2）×2＝6．22．（8分）隨著某市養(yǎng)老機(jī)構(gòu)建設(shè)的穩(wěn)步推進(jìn)，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加．（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2018年底的2萬個(gè)增長(zhǎng)到2020年底的2.88萬個(gè)，求該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；（2）若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間（1個(gè)養(yǎng)老床位），雙人間（2個(gè)養(yǎng)老床位），三人間（3個(gè)養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t（10≤t≤30），且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍．設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個(gè)？【解答】解：（1）設(shè)該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為x，依題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該市這兩年（從2018年底到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為20%．（2）設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè)，則y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．∵k＝﹣4＜0，∴y隨t的增大而減小，∴當(dāng)t＝10時(shí)，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（個(gè)）．答：該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位260個(gè)．23．（8分）如圖，已知∠MAN，B為邊AM上一點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖（要求保留作圖痕跡，不寫作法）：①過點(diǎn)B作BC⊥AM交AN邊于點(diǎn)C；②以AC為邊作∠ACD＝∠A，且交AB于點(diǎn)D．（2）若AD＝3，BD＝2，請(qǐng)利用（1）中所作的圖形求sin∠A的值．【解答】解：（1）①如圖，直線BC即為所求作．②如圖，射線CD即為所求作．（2）由作圖可知，EF垂直平分線段AC，∴DA＝DC＝3，在Rt△DCB中，BC＝＝，在Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴sinA＝＝＝．24．（8分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）直接寫出拋物線的解析式：y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸交于點(diǎn)G、H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．①求DF+HF的最大值；②連接EG，若∠GEH＝45°時(shí)，求m的值．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入上式得：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案為：y＝﹣x2+2x+3；（2）①當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴點(diǎn)C（0，3）．設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，把B（3，0），C（0，3）代入，得，解得，∴BC的解析式為：y＝﹣x+3．∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．作FK⊥y軸于點(diǎn)K，又∵FH⊥BC，∴∠KFH＝∠KHF＝45°，∴．設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），F(xiàn)（m，﹣m+3），∴＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）+2m，整理得：．由題意有0＜m＜3，且，﹣1＜0，當(dāng)時(shí)，取最大值，的最大值