分式不等式和絕對(duì)值不等式的解法

一、單選題

1.不等式工21的解集為()

X—1

A.(-00,1)U[2,+oo)B.(-00,O]U(1,+oo)C.(1,2]D.[2,+oo)

2r+3

2.不等式上”NO的解集為()

x-2

33

A.<xx<——或％〉21B.sx--1<x<2C.〈xx<—或

212

x>2}D.x—-Wx<2

Y

3.已知集合4={%|。—1)(%+2)<。},集合3={x|——>0},則()

x-1

A.{x|-2<x<0}B.{x|l<x<2}

C.{x|0<x<l}D.R

f3

4.設(shè)全集/是實(shí)數(shù)集R,M={x|x>2}與N=XpWO都是/的子集（如圖所

A-L

示），則陰影部分所表示的集合為（）

A.1x|l<x<2}B.{x|-2<x<1}

C.?<2}D.{x|-2<%<2j

(11)

5.設(shè)尤>0,y>0,且不等式(ox+y)-+-29恒成立，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍

I尤y)

是（）

A.a>4B.0<a<2C.0<tz<4D.a>2

4

6.已知x<3,則y?+x的最大值是()

x-3

A.-4B.-1C.1D.3

e1+-1—的最小值為

7.已知0〈尤vl,則丁.()

4%1-X

95

A.9B.C.5D.-

44

二、填空題

8.函數(shù)>=依2+樂(lè)+4。/0)的圖象如圖所示，則不等式?|<0的解集是

2元一1

10.不等式----K1的解集為.

x

11.已知x>0,y>0,且滿(mǎn)足(x+2y-l)(2x+y-2)=9,則x+y的最小值為

12.已知0v九vl,則%(3-3%)取得最大值時(shí)元的值為

x+V

13.已知%>。,丁>。，且x+3y=l,則--的最小值是

孫

三、解答題

14.求下列不等式的解集

（1）9x2—6x+1>0;

（2）3X2+5X-2>0;

⑶-X2+2X-3<0;

(5)|2x-3|<1.

15.(1)解不等式士工22；

X—1

(2)若?！?,解關(guān)于x的不等式：ax2-(2a+l)x+2<0.

16.求下列不等式的解集

1_V

⑴|2x-l|〉2(2)2+3X-2?0⑶---->0

X2+x

14,

17.已知％>0,y>0,且一H"—=1.

xy

(1)求％+y的最小值；

(2)若孫+6加恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

18.已知2x+5y=8.

(1)當(dāng)尤>0,y>。時(shí)，求孫的最大值；

1012“一

(2)當(dāng)%>-1,丁>一2時(shí)，若不等式----+---^2,獷+4加恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值

x+1y+2

范圍.

19.(1)已知〃>b>O,cvdvO,/vO.求證：—^―>-^—

a-cb-d

4,l

(2)已知x>0.求證：2—3x的最大值為2—

x

答案

1.c

【分析】

先移項(xiàng)，將不等號(hào)右邊變?yōu)?,再轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即可，注意分母不能為。.

【詳解】

解：不等式」等價(jià)于(x—l)(x—2),,0且x—1W0,

解得1<茗,2,

二不等式的解集為(1，2].

故選：C.

本題考查分式不等式的解法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【分析】

將分式不等式等價(jià)于一元二次不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

分式不等式0等價(jià)于2x+3=0或(2x+3)(x-2)>0,

33

即x——或尤<—或%>2,

22

3

故解集為<龍尤<一5或%>2}.

故選：c.

3.A

【分析】

求出集合A，B,由此能求出ACB.

【詳解】

因?yàn)榧先?{%1(%_1)(%+2)<0}={工|_2<%<1},

集合3={x|上>0}=(—s,O)U(l,+s)

所以Ac5={x|-2Vx<0},

故選：A.

本題主要考查了交集的運(yùn)算法則，考查運(yùn)算求解能力，屬于較易題.

4.A

【分析】

化簡(jiǎn)集合N,由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為Nc(q〃)，利用交集和補(bǔ)集的定義求

解即可.

【詳解】

f、

由題意〃={x|x>2},N=W40[={x[l<x<3},由圖知陰影部分表示的集合為

X-1

Nc(G/)，，NC(GM)={H1<X<2}.

故選：A

本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【分析】

利用題設(shè)條件和基本不等式求得（依+y）（J+1）的最小值,即可得到（、7+11..9,解出。的

取值范圍即可.

【詳解】

,/x>0,y>0,a>0,

二.（辦+y）（一■I—）=a+l+—H----..a+1+2—x—=（8+1）2（當(dāng)且僅當(dāng)二=—時(shí)取等號(hào)），

xyxy\xyxy

又（ax+y）（-+-）..9恒成立,

xy

（A4?+1）2..9,解得：a.4,

故選:A.

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)

足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等"“一正''就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和

的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式

的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若

不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

6.B

【分析】

利用基本不等式求最值.

【詳解】

44

x<3,3-x>0,y=----t-x=----i-x-3+3,

%—3x~3

4l~44

——+(3-x)>2.——x(3—x)=4,當(dāng)且僅當(dāng)——=3—x,即x=l時(shí)等號(hào)成立,

3-xV3—x3—x

4

y=——+%-3+3<-4+3=-1,即V的最大值為—1.

x—3

故選：B.

易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等''是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這

個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

7.B

【分析】

11上+%),展開(kāi)利用基本不等式即可求解.

根據(jù)題意可知元+工

【詳解】

11x1-x5

一+---(x+1-x)----+-----+—

4xi-x1-x4x4

Y1—X

因?yàn)?cx<1,所以——>0,——>0,

1-x4x

1x1-x5?/x1-x59

所以一■+-----=-----+-----+->2.-------------+-=—

4x1-x1-x4x4Vl-x4x44

Y1—X1

當(dāng)且僅當(dāng)一匚=」，其中0<x<l,即％=—取等號(hào),

1-x4x3

119

所以1------的最小值為一.

4%1-x4

故選：B

本題考查了基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.

8.L|-1<X<3

【分析】

先根據(jù)圖像判斷對(duì)應(yīng)的二次方程的根，得到系數(shù)的關(guān)系，再代入求解分式不等式即可.

【詳解】

hC

以圖象可知〃>0,方程改2+bx+c=0的根為1和2,故—=1+2=3,—=1x2=2,

aa

即Z?=—3a,c=2a,所以不等式竺改<0即合應(yīng)<0,即產(chǎn)=<0,等價(jià)于

cx+a2ax+a2x+l

(x-3)(2x+l)<0,故解集為卜g<x<3、

故答案為.1x|—g<x<3

本題考查了二次函數(shù)圖像與對(duì)應(yīng)二次方程的根之間的關(guān)系，考查了分式不等式的解法，屬于

基礎(chǔ)題.

9.(2,5]

【分析】

-x+5f(-x+5)(x-2)>0

將分式不等式變形為——20,進(jìn)而得I八)，再根據(jù)二次不等式解法解

x-2[x-2^0

不等式即可.

【詳解】

因?yàn)槎?1,所以二——1>0,即二三20,

%—2x—2x—2

(-x+5)(x-2)>0

所以有八八7,解得：2vx45,

九一2

故不等式的解集為：(2,5]

故(2,5]

本題考查分式不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

10.1x|0<x<l}

【分析】

移項(xiàng)將分式不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再化為一元二次不等式可解得結(jié)果.

【詳解】

生。W1等價(jià)于生±二wo等價(jià)于340,

XXX

等價(jià)于x(x—1)(。且工。0,即0<兄<1,

故不等式上^<1的解集為｛x|0<X<1].

故答案為.｛目0<%<1｝

本題考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于

基礎(chǔ)題.

11.3

【分析】

利用基本不等式可得(x+2y—l)(2x+y—2)W+；—],從而可求x+y的最小值.

【詳解】

因?yàn)?x+2y—l)(2x+y—2)<]，故94廣?+；-31,

整理得至I](%+y-I)?24,故x+y—122或x+y—l<-2,

故x+y23或x+yWT(舍)，當(dāng)且僅當(dāng)％=2,y=1時(shí)等號(hào)成立,

故％+y的最小值為3.

故3.

本題考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，注意“和式”和“積式”兩種代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的合理

轉(zhuǎn)換.本題屬于基礎(chǔ)題.

12.—

2

【分析】

整理目標(biāo)式，再利用基本不等式求積的最大值，得到取等號(hào)條件即可.

【詳解】

因?yàn)閯t%（3—3%）=3%（1—九）＜3x出土"=?當(dāng)且僅當(dāng)x=l—x時(shí)即％=!

442

時(shí)等號(hào)成立，取得最大值.

故答案為.—

2

本題考查了利用基本不等式求最值時(shí)取等號(hào)的條件，屬于基礎(chǔ)題.

13.4+273

【分析】

利用1的代換的方法，結(jié)合基本不等式求得x一+^y的最小值.

孫

【詳解】

+L3](x+3y)

孫yxxj

=4+4+包24+2耳藥=4+2石，

yxyyx

當(dāng)且僅當(dāng)土=至，即x=Yi二1?=土衛(wèi)時(shí)等號(hào)成立.

yX26

x+yr-

所以一的最小值為4+273

x）

故4+26

本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

14.(1)<xx/g"；(2)?<—2或x〉g｝；(3)R；(4)<x3

x<5或x?4｝；(5)

卜[1<%<2｝.

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解法，直接計(jì)算（1）（2）（3）,根據(jù)分式不等式的解法，計(jì)算（4）,

根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，計(jì)算（5）.

【詳解】

,1f1'

（1）由9/一6》+1>0得（3x—1）>0,則即不等式的解集為卜xHg卜

（2）由3/+5x—2>0得（3尤-1）（尤+2）>0,解得％<—2或X〉；，即原不等式的解集為

1x|x<-2或x>-

（3）由—爐+2尤一3<0得爐―2x+3>0,即（％—1丫+2>0顯然成立，故原不等式的解

集為R；

x+1,%+1—2x+3—X+4x—43

（4）由-------<1得------------<0,即一一<0,即」一20,解得》<二或尤24,

2x—32%—32x—32x—32

3

故原不等式的解集為jxx<Q或x?4｝；

（5）由|2x—3|<1得—l<2x—3<1,解得1<%<2,故原不等式的解集為｛刃1<%<2｝.

本題主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查絕對(duì)值不等式的解法,

屬于基礎(chǔ)題型.

15.（1）｛x|0<x<l）;（2）答案不唯一，見(jiàn)解析.

【分析】

（1）先將原式移項(xiàng)通分，即可求出結(jié)果；

（2）先將不等式化為（依-l）（x-2）40,分別討論0<a<；,a=g,a〉g三種情況，根

據(jù)一元二次不等式的解法，即可得出結(jié)果.

【詳解】

.?.卷<0,故0<x<l,故不等式的解集為｛司0?%<1｝；

JiJL

（2）二，tzx?-（2a+l）x+2<0

（ox—l）（x-2）<0,

當(dāng)0<a<1時(shí)，2<X<L

2a

當(dāng)〃=工時(shí)，x=2；

2

11c

當(dāng)tz〃〉一時(shí)，一《九V2.

2a

綜上所述，當(dāng)0<。<；時(shí)，解集為｛x2<x<1>；當(dāng)a=g時(shí)，解集為｛2｝；當(dāng)當(dāng)a〉g時(shí),

解集為，x-<x<2>.

a

本題主要考查解分式不等式，考查解含參數(shù)的一元二次不等式，屬于常考題型.

16.（1）（』-（2）（-?,3g]U「3+后,?）（3）（-2,1）

2222

【分析】

（1）先根據(jù)絕對(duì)值定義化簡(jiǎn)不等式，再解一元一次不等式得結(jié)果,

（2）先因式分解，再根據(jù)一元二次函數(shù)圖象得結(jié)果；

（3）先轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元二次不等式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象得結(jié)果.

【詳解】

(1)'.12x-1|>2\2x-1>2或2%—1<一2

3113

因此X〉,或x<—5,即不等式解集為(-8,\)里,+8)；

3+3

(2)-."x'+Sx-254o(x-'^Xx--~2^')?0

因此-3+#7或x「3一折,即不等式解集為(_?J3-而］應(yīng)-3+舊,?)；

2222

1_Y

⑶???——>0\(1-x)(2+x)>0\(x-1)(%+2)<0

2+x

因此—2<x<l,即不等式解集為(-2,1)

本題考查解含絕對(duì)值不等式、解一元二次不等式、解分式不等式，考查基本求解能力，屬基

礎(chǔ)題.

17.(1)9；(2)(-8,2).

【分析】

]4V4x

(1)%+y=(%+y)(—+—)=5+—+一,利用基本不等式性質(zhì)即可求得最小值.

xyxy

(2)利用基本不等式求出D的最小值，代入孫>療+6相求出加的范圍即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)椋?gt;0,y>0,

所以x+y=(%+>)(工+3)=5+把+2..5+2，把2

=9,

xyyxY>x

4xy,

當(dāng)且僅當(dāng)——二匕，即1=3,y=6時(shí)取等號(hào),

y%

所以尤+y的最小值為9.

(2)因?yàn)閤>0,y>0,

14

所以1=-+—-2

尤y

所以孫..16.

因?yàn)閷O>+6m恒成立，

所以16>m2+6m，

解得—8<加<2,

所以加的取值范圍為(—8,2).

本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，考查了利用基本不等式求最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

891

18.(1)-；(2)一一<m<-.

522

【分析】

(1)結(jié)合已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可；

2,101、

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式"廠+4機(jī)《(z--+—結(jié)合已知等式，利用基本不等式

x+1y+2

101、

求出(z一7+--),然后解一元二次不等式即可.

x+1y+2min

【詳解】

(1)因?yàn)椋?gt;0,y>0,2x+5y=S,

所以有孫=[.(2x).(5y)小.(筆篤)2=Jx($2=[,當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時(shí)，取等

J.\JJ.\J乙J.\J乙J

48

號(hào)，即％=2且y=g時(shí)，取等號(hào)，所以孫的最大值為《；

(2)因?yàn)?x+5y=8,所以2(%+1)+5(丁+2)=20,而x>—l,y>—2,

所以有：

10112012012(x+l)+5(y+