第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)[目標(biāo)導(dǎo)航]課標(biāo)要求1.理解并掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理.2.理解點與平面的距離,平行的直線到平面的距離,兩平行平面間的距離的概念,并能求相應(yīng)的距離.素養(yǎng)達(dá)成通過直線與平面垂直性質(zhì)定理和有關(guān)距離的學(xué)習(xí),強化轉(zhuǎn)化和化歸思想,提升邏輯推理和空間想象的核心素養(yǎng).1新知導(dǎo)學(xué)素養(yǎng)啟迪文字語言垂直于同一個平面的兩條直線

.符號語言圖形語言作用①線面垂直?線線平行②作平行線1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理平行a∥b思考1:已知直線a,b和平面α,若a∥α,b∥α,則a,b的位置關(guān)系是

;若a∥α,b⊥α,則a,b的位置關(guān)系是

;若a⊥α,b⊥α,則a,b的位置關(guān)系是

.平行、相交或異面垂直平行2.線面距、面面距(1)直線到平面的距離.一條直線與一個平面平行時,這條直線上任意一點到這個平面的距離,叫做這條直線到這個平面的距離.圖形語言:如圖,A∈l,O∈α,AO⊥α,線段AO的長度就是直線l到平面α的距離.(2)平面到平面的距離.如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等,我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.圖形語言:A∈β,O∈α,AO⊥α,如圖,線段AO的長度就是平面β到平面α的距離.思考2:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,a是上底面A1B1C1D1中的任一條直線,P是上底面A1B1C1D1中任一點,則點P到平面ABCD的距離,直線a到平面ABCD的距離,底面A1B1C1D1到平面ABCD的距離是否相等?答案:相等.由此可知,當(dāng)求點(或直線)到平面的距離,不易直接得到垂線段時,可以先作出過點(或直線)與平面平行的平面,然后所求距離轉(zhuǎn)化為另一個更合適的點到平面的距離.2課堂探究素養(yǎng)培育題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理[例1]如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1.證明:(1)如圖,連接A1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因為四邊形A1B1C1D1是正方形,所以A1C1⊥B1D1.又因為CC1∩A1C1=C1,CC1,A1C1?平面A1C1C,所以B1D1⊥平面A1C1C.而A1C?平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.(1)求證:A1C⊥B1D1;(2)點M,N分別在B1D1與C1D上,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求證:MN∥A1C.(1)當(dāng)題中垂直條件很多,但又要證兩直線平行關(guān)系時,就要考慮直線與平面垂直的性質(zhì)定理,從而完成垂直向平行的轉(zhuǎn)化.(2)要證線線垂直,只需證線面垂直,可利用線面垂直的定義或判定定理證明,從而得出所需結(jié)論.因此,在解題時,要充分體現(xiàn)線面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解題中的靈活應(yīng)用.[變式與拓展1-1]如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB.求證:a∥l.證明:因為EB⊥β,a?β,所以EB⊥a.又因為a⊥AB,AB∩EB=B,AB,EB?平面ABE,所以a⊥平面ABE.因為α∩β=l,所以l?α,l?β.因為EA⊥α,EB⊥β,所以EA⊥l,EB⊥l.又因為EA∩EB=E,EA,EB?平面ABE,所以l⊥平面ABE.所以a∥l.題型二空間中的距離問題[例2]如圖所示,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,點O是四邊形A′B′C′D′的中心,則O到平面ABC′D′的距離是(

)√(1)求點到平面的距離時,一般作出距離,然后在三角形中計算距離.作距離的常見方法有:一直接作垂線段,二連接相關(guān)兩點得線段,證明該線段是平面的垂線段.(2)當(dāng)直接作點到平面的距離有困難時,可以利用平行直線上任一點到平面的距離相等,轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離,也可以轉(zhuǎn)化為兩個平行平面間的距離.[變式與拓展2-1]已知平面α∥β,點A,C∈α,點B,D∈β,如果AB+CD=28,且AB,CD在β內(nèi)的射影長分別為5和9,則平面α與β間的距離為

.12[例3]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中點,AC⊥BC,AC=BC,AB=AA1=4.(1)證明:AC1⊥平面BCD;(2)求點D到平面ABC1的距離.如果三棱錐中某頂點到對面的距離不易直接求出,往往把它轉(zhuǎn)化為求另一個頂點到其對面的距離,通過體積相等求之,這種求點面距離的方法,通常稱為“等體積轉(zhuǎn)換”.[變式與拓展3-1]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱長均為2,E,F分別是AB,CC1的中點,則點A到平面A1EF的距離為

.

1.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.平行C.異面 D.不確定√解析:因為AB?α,AC?α,l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α.又因為BC?α,AC?α,m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C,所以m⊥α.所以l∥m.故選B.√3.若a,b是空間中兩條不同的直線,則a∥b的充分條件是(

)A.直線a,b都垂直于直線lB.直線a,b都垂直于平面αC.直線a,b都與直線l成30°角D.直線a,b都與平面α成60°角解析:選項A,a,b都與l垂直,它們還可能相交或異面,A錯誤;選項B,a,b都垂直于平面α,則a∥b,B正確;選項C,a,b都與l成30°角,可能a,b相交,C錯誤;選項D,a,b都與平面α成60°角,可能a,b異面,D錯誤.故選B.√4.直線a和b在正方體ABCD-A1B1C1D1的兩個不同平面內(nèi),使a∥b的條件是

.(填序號)

①a和b垂直于正方體的同一個面;②a和b在正方體相對的兩個面內(nèi),且共面;③a和b平行于同一條棱;④a和b在正方體的兩個面內(nèi),且與正方體的同一條棱垂直.解析:①為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用;②為平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用;③為基本事實4的應(yīng)用;④錯誤.①②③5.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AB=3,BC=2,AA1=1,則點B到平面ADD1A1的距離為

,直線AC與平面A1B1C1D1的距離為

,平面ABB1A1與平面DCC1D1的距離為

.

312解析:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,所以點B到平面ADD1A1的距離為AB=3.因為AC∥平面A1B1C1D1,則直線AC上任意一點到平面A1B1C1D1的距離相等.由AA1⊥平面A1B1C1D1,所以點A到平面A1B1C1D1的