Page21考生留意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清晰.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小的直線是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題圖確定直線斜率的大小關(guān)系即可.【詳解】由圖知：，故斜率最小的直線是.故選：B2.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)雙曲線定義求解即可.【詳解】由題意可知，，解得，，所以雙曲線的方程是．故選：D．3.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以，故.故選：B.4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)榕c的中點(diǎn)相同，所以，解得，所以.故選：A.5.已知直線：與：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由兩線平行的判定列方程求參數(shù)a，留意驗(yàn)證是否存在重合狀況，結(jié)合充分、必要性定義推斷條件間的關(guān)系》【詳解】由，則，即，故或，時(shí)，，，即，明顯兩線重合；時(shí)，則，，即，故.綜上，“”是“”的充要條件.故選：C6.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理和雙曲線定義可求得，接受面積橋可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，，；不妨設(shè)位于第一象限，如圖所示，，，即，由雙曲線定義知：，又，，，解得：，即點(diǎn)到軸的距離為.故選：C.7.當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線方程可得直線經(jīng)過定點(diǎn)，再由圓心到直線距離最大時(shí)弦長最短，由斜率關(guān)系即可求得.【詳解】將直線的方程變形為，由可導(dǎo)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，此時(shí)直線被圓截得的弦長最短，因?yàn)椋本€的斜率為，所以，解得.故選：B.8.已知橢圓的焦距為，為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)在軸上方作兩條斜率分別為1和的射線，與分別交于，兩點(diǎn)，且的面積為，則（）A.或2 B.2或3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】已知焦距和過A的兩個(gè)相互垂直的射線，通過AB的反向延長得到D點(diǎn)，則，依據(jù)面積得到線段的關(guān)系，通過方程的聯(lián)立，代入線段關(guān)系即可求解.【詳解】由焦距為2知，，設(shè)直線與的另外一個(gè)交點(diǎn)為，，，則，關(guān)于軸對(duì)稱，即，由的面積為，得，即，將直線代入的方程整理，得，明顯判別式大于0，，，因?yàn)?，所以，即，所以，解得或（舍去），所以．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】分橢圓焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種狀況，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，已知橢圓過點(diǎn)，故，因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以，即，所以橢圓的方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，已知橢圓過點(diǎn)，故，因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以，即，所以橢圓的方程為．綜上所述，橢圓的方程為或．故選：BC．10.已知直線與直線平行，且與間的距離為，則的方程可以是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線，即，設(shè)所求直線的方程為，由題意可得，解得或．故所求直線的方程為或．故選：AD．11.已知圓和圓相交于A，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.直線的方程為C.線段的長為D.到直線的距離與到直線的距離之比為【答案】ABC【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)可判定A項(xiàng)，利用兩圓的公共弦方程公式計(jì)算可判定B項(xiàng)，利用弦長公式可判定C項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可判定D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閳A和圓相交于A，兩點(diǎn)，所以兩圓方程相減得到，即，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閳A化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12.在平行六面體中，，，若，其中，，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若點(diǎn)在平面內(nèi)，則 B.若，則C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為 D.當(dāng)時(shí)，長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量的基本定理及空間向量的加法法則可得，進(jìn)而求解推斷A；依據(jù)空間向量的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算可得，，進(jìn)而結(jié)合即可求解推斷B；由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，進(jìn)而結(jié)合三棱錐的體積公式求解推斷C；依據(jù)空間向量的數(shù)量積定義及運(yùn)算律可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求解推斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若點(diǎn)在平面內(nèi)，易知有，所以，又，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意易得，，且，又，即，故，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題易知四面體為正四面體，設(shè)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，易得，．當(dāng)時(shí)，到平面的距離為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由B知，，又，由基本不等式可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以長度的最小值為，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用空間向量的的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化問題，使之轉(zhuǎn)化為較易的問題進(jìn)行解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得出半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的一點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】【分析】干脆運(yùn)用拋物線的焦半徑定義，即可求解.【詳解】由題意，知拋物線的準(zhǔn)線為，由焦半徑的定義可得，解得．故答案為：615.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若上存在點(diǎn)滿意：，則的離心率的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】由余弦定理結(jié)合基本不等式分析可知，當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，求出的最小值為，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出，求出的取值范圍，可得出橢圓的離心率的取值范圍，即可得解.【詳解】由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)闄E圓上存在點(diǎn)滿意：，則，可得，所以，，故橢圓的離心率的最小值為.故答案為：.16.某公園有一個(gè)坐落在地面上的大型石雕，如圖是該石雕的直觀圖．已知該石雕是正方體截去一個(gè)三棱錐后剩余部分，是該石雕與地面的接觸面，其中是該石雕所在正方體的一個(gè)頂點(diǎn)．某愛好小組通過測量的三邊長，來計(jì)算該正方體石雕的相關(guān)數(shù)據(jù)．已知測得，，，則該石雕所在正方體的棱長為______；該石雕最高點(diǎn)到地面的距離為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】補(bǔ)齊為正方體，設(shè)，，，結(jié)合勾股定理列出方程組即可解得，進(jìn)而求得該石雕所在正方體的棱長；以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求解.【詳解】如圖，補(bǔ)齊為正方體，設(shè)，，，則，解得，，，即該石雕所在正方體的棱長為.以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為，即該石雕最高點(diǎn)到地面的距離為.故答案為：6；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求得邊上的高所在直線的方程.（2）先求得點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)兩點(diǎn)式求得邊上的中線所在直線的方程.【小問1詳解】，所以直線的斜率為，所以直線的方程為【小問2詳解】線段的中點(diǎn)，所以直線所在直線方程為.18.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，設(shè)，．（1）若與相互垂直，求的值；（2）求點(diǎn)到直線的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別求得與的坐標(biāo)，再依據(jù)與相互垂直求解；（2）由求解.【小問1詳解】由題意知，，所以，．又與相互垂直，所以，解得．【小問2詳解】由（1）知，，所以，所以點(diǎn)到直線的距離．19.已知圓，圓．（1）探討圓與圓的位置關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，求圓與圓公切線的方程．【答案】（1）答案見解析（2），或.【解析】【分析】（1）求兩圓圓心距及半徑，利用幾何法推斷兩圓位置關(guān)系；（2）先推斷兩圓位置關(guān)系，法一，設(shè)出公切線方程，由切線分別與兩圓相切建立等量關(guān)系待定系數(shù)即可；法二，由相像性質(zhì)與半徑比，可得到公切線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再由交點(diǎn)設(shè)出點(diǎn)斜式方程待定斜率即可.【小問1詳解】由題意知，，兩圓的半徑分別為和4，①當(dāng)，即，解得或時(shí)，圓與圓內(nèi)含；②當(dāng)，即，解得或時(shí)，圓與圓內(nèi)切；③當(dāng)，即，解得時(shí)，圓與圓相交；④當(dāng)時(shí)，，無解，即圓與圓不行能外切也不行能外離．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，圓與圓內(nèi)含；當(dāng)或時(shí)，圓與圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí)，圓與圓相交.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）得圓與圓相交，由圖可知公切線的斜率存在，法一：設(shè)圓，圓的公切線的方程為，即，則由直線與兩圓都相切可得，，所以，則，或即或，分別代入，得或（無解），解得，所以，或.則公切線方程為或，即為，或.法二：因?yàn)閮蓤A圓心都在軸上，則由對(duì)稱性可知，兩公切線關(guān)于軸對(duì)稱，且交點(diǎn)在軸上，設(shè)為點(diǎn)，如圖，，則與相像，則有，又由,得，所以有，解得，即，設(shè)公切線方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，則公切線方程為或，即為，或.20.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，.（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，且的面積為，求雙曲線C的漸近線方程；（2）若以為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P，且（O為原點(diǎn)），求雙曲線C的離心率.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用已知條件得，結(jié)合雙曲線中化簡整體求出，即可得雙曲線C的漸近線方程（2）依據(jù)題意作圖，依據(jù)圖形，利用余弦定理求出，從而得，即漸近線的傾斜角，則可以得出的值，結(jié)合得到關(guān)于離心率的齊次方程，解出即可【小問1詳解】因?yàn)?，的面積為，所以，即，所以，解得或（舍去），所以，所以雙曲線C的漸近線方程是.【小問2詳解】因?yàn)橐詾橹睆降膱A與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P，如圖，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，則，所以，，，所以，，所以雙曲線C的離心率為2.21.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且.（1）求長；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）依據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)得到和，依據(jù)垂直關(guān)系列出方程，即可求出；（2）依據(jù)線面角的向量公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又底面是矩形，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，所以，，，，，所以，所以，，又，所以，因?yàn)?，解得，即；【小?詳解】由（1）知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，長軸的左、右端點(diǎn)分別為，，短軸的上、下端點(diǎn)分別為，，設(shè)四邊形的面積為S，且．（1）求，值；（2）過點(diǎn)作直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），求證：直線與直線的交點(diǎn)在一條定直線上．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意結(jié)合橢圓性質(zhì)列式求即可；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，由直線與直線的方程整理可得，再聯(lián)立橢圓與直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【小問1詳解】由已知，得