第4煉求函數(shù)的值域

作為函數(shù)三要素之一，函數(shù)的值域也是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn)，并且值域問題通常會(huì)滲透在各類題目

之中，成為解題過程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，當(dāng)需要求函數(shù)的取值范圍時(shí)便可抓住解

析式的特點(diǎn)，尋找對應(yīng)的方法從容解決。

一、基礎(chǔ)知識：

1、求值域的步驟：

（1）確定函數(shù)的定義域

（2）分析解析式的特點(diǎn)，并尋找相對應(yīng)的方法（此為關(guān)鍵步驟）

（3）計(jì)算出函數(shù)的值域

2、求值域的常用工具：

一種解析式特點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即可操作，但也要掌

握一些常用的思路與工具。

（1）函數(shù)的單調(diào)性：決定函數(shù)圖像的形狀，同時(shí)對函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作用。若/（x）為單調(diào)函數(shù)，則

在邊界處取得最值（臨界值）。

（2）函數(shù)的圖像（數(shù)形結(jié)合）：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然

（3）換元法：/（X）的解析式中可將關(guān)于X的表達(dá)式視為一個(gè)整體，通過換元可將函數(shù)解析式化歸為可求

值域的形式.

（4）最值法:如果函數(shù)“X）在［a,可連續(xù)，且可求出/（x）的最大最小值則“X）的值域?yàn)?/p>

注：一定在/（x）連續(xù)的前提下，才可用最值來解得值域

3、常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時(shí)，通常可以通過數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖像將值域解出，熟

練處理常見函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進(jìn)行化歸。

（1）一次函數(shù)（丁=履+8）：

一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點(diǎn)來確定值域

（2）二次函數(shù)（y=辦2+Z?x+c）：

二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M(jìn)行配方確定函數(shù)的對稱軸，然后利用圖像進(jìn)行求解。（關(guān)鍵點(diǎn)：①拋

物線開口方向，②頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)）

例：/(x)=x2-2X-3,XG[-1,4]

解：/(x)=(x-l)2-4對稱軸為：x=l,\/(x)e[-4,5]

(3)反比例函數(shù)：y=-

X

(1)圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

(2)當(dāng)xf+oo,yf0

當(dāng)xf-oo,y-0

(4)對勾函數(shù)：y=x+3(a>0)

x

①解析式特點(diǎn)：X的系數(shù)為1；〃>()

注：因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的值域與。相關(guān)，求〃的值時(shí)要先保證X的系數(shù)為1,再去確

定。的值

4(2、

例：y=2x+—,并不能直接確定。=4,而是先要變形為y=2x+—,再

%kxj

求得a=2

②極值點(diǎn)：x=\[a,x=-4a

③極值點(diǎn)坐標(biāo)：(—2>/^)

④定義域：(一8,0)(。,+8)

⑤自然定義域下的值域：(—oo,-26][2^,+oo)

(5)函數(shù)：y=x-￡(a>0)注意與對勾函數(shù)進(jìn)行對比

①解析式特點(diǎn)：x的系數(shù)為1；?！?)

②函數(shù)的零點(diǎn)：x-±\[a

③值域：R

（5）指數(shù)函數(shù)（y=a'）：

其函數(shù)圖像分為a>1與0<a<1兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域,

在自然定義域下的值域?yàn)椋?,+8）

（6）對數(shù)函數(shù)（y=log“x）

其函數(shù)圖像分為。>1與0<a<1兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域,

在自然定義域下的值域?yàn)椋?,-8）

（7）分式函數(shù)：

分式函數(shù)的形式較多，所以在本節(jié)最后會(huì)對分式函數(shù)值域的求法進(jìn)行詳細(xì)說明（見附）

二、典型例題：

將介紹求值域的幾種方法，并通過例題進(jìn)行體現(xiàn)

1、換元法：將函數(shù)解析式中關(guān)于x的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元”弋替，將解析式化歸為熟悉的

函數(shù)，進(jìn)而解出值域

（1）在換元的過程中，因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍

（2）換元的作用有兩個(gè)：

①通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過將根式視為一個(gè)整體，換元后即可

“消滅”根式，達(dá)到簡化解析式的目的

②化歸：可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會(huì)求值域的函數(shù)進(jìn)行處理

（3）換元的過程本質(zhì)上是對研究對象進(jìn)行重新選擇的過程，在有些函數(shù)解析式中明顯每一項(xiàng)都是與X的

某個(gè)表達(dá)式有關(guān)，那么自然將這個(gè)表達(dá)式視為研究對象。

（4）換元也是將函數(shù)拆為兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的過程。在高中階段，與指對數(shù)，三角函數(shù)相關(guān)的常見的復(fù)合函

數(shù)分為兩種

①y=a"'),y=log〃[/(x)],y=sin[/(x)]：此類問題通常以指對，三角作為主要結(jié)構(gòu)，在求值域時(shí)

可先確定了(x)的范圍，再求出函數(shù)的范圍

②y=/(a'),y=/(log.x),y=/(sinx)：此類函數(shù)的解析式會(huì)充斥的大量括號里的項(xiàng)，所以可利用

換元將解析式轉(zhuǎn)為)，=/?)的形式，然后求值域即可。當(dāng)然要注意有些解析式中的項(xiàng)不是直接給出，而是

可作轉(zhuǎn)化：例如y=4'-2'+1—8可轉(zhuǎn)化為y=(2'丫-2?2、-8,從而可確定研究對象為t=2X

例1：函數(shù)/(x)=2x—GT的值域是()

「八\「171「5)「151

A.|^0,+ooJB.,+00IC.-,+ooID.-^-,+00I

思路：解析式中只含一個(gè)根式，所以可將其視為一個(gè)整體換元，從而將解析式轉(zhuǎn)為二次函數(shù)，求得值域即

可。

解：/(X)的定義域?yàn)閇L+OO)令t=.?-/>0,則X=『+1

:.y=2(r+l)-z=2+裝Ze[0,+oo).?./(x)的值域?yàn)?/p>

例2(1)函數(shù)y=31的值域?yàn)?)

A.(0,+oo)B.(0,1)(l,-+oo)C.{x|xwl}D.(l,+oo)

(2)函數(shù)〃x)=4'—2川—8,XG[—2,2]的值域?yàn)?/p>

x+\

(3)函數(shù)y=ln^e~~^的值域?yàn)開_________

e-1

思路：(1)本題可視為y=3,⑴的形式，所以可將指數(shù)進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)值域問題：令

t=----,則7G(YO,0)(0,+OO),所以可得y=3'€(0,1)(l,+oo)

(2)如前文所說，/(x)=4'-2x+,-8=(2X)2-2-2A-8,將2'視為一個(gè)整體令f=2、，則可將其轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)求得值域

解：/(x)=4V-2f+1-8=(2')2-2-2V-8令f=2*XG[-2,2]

：.t&；,4y=r-2f-8=?-1)2-9

.?"(%)的值域?yàn)閇-9,0]

短+1ex+1

(3)所求函數(shù)為的形式，所以求得的范圍，再取對數(shù)即可。對-----進(jìn)行變形可得:

ex-1

x

e+12

-----=1+-----,從而將/一1視為一個(gè)整體，即可轉(zhuǎn)為反比例函數(shù)，從而求得范圍

ex-1ex-1

x

e+12

解：定義域：—1>0=>XG(0,+oo)-...=1H——：----令，=e*-l/./G(0,-I-OO)

ex—Ie'—1

/.1+—e(l,+oo)y=In6+*e(0,+oo)

tex-1

答案：(1)B(2)[-9,0](3)(0,-H?)

例3：已知函數(shù)/(x)=3+k>g2x,xe[l,4],則g(x)=/(x2)-[/(x)了的值域?yàn)?)

A.[-18,-2]B.[―11,-6]C.[-18,6]D.[-11,-2]

2

思路：依題意可知g(x)=3+log2%2-(3+log2x)=-(log2x)--41og2x-6,所以可將^^》視為一

個(gè)整體換元，從而將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但本題要注意的是g(x)的定義域，由已知/(x)的定

1<x2<4

義域?yàn)閇1,4],則g(x)=/(無丁的定義域?yàn)椋骸?<4,解得：xe[rL2]'而不是r[L4]

22

解：^(x)=3+log,x-(3+log2x)=3+21og2x-|^(log2%)'+61og2x+9

2

-(log2x)-41og2x-6

/(X)的定義域?yàn)閇1,4],且g(x)=/(x2)—"(明2

1<x<4ir々

，解得：xe[l,2]

14x44L」

令t=log2X，則/■€[()[]y=-r-4/-6=-(7+2)~-2

ye[-11,-6],即g(x)的值域?yàn)閇―11,—6]

答案：B

2、數(shù)形結(jié)合：即作出函數(shù)的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行

數(shù)形結(jié)合

(1)分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便

于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域。

(2)/(x)的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后

確定靠下(或靠上)的部分為該/(x)函數(shù)的圖像，從而利用圖像求得函數(shù)的值域

(3)函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識進(jìn)行聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合求得值

域，如：分式一直線的斜率：被開方數(shù)為平方和的根式一兩點(diǎn)間距離公式

例4：(1)設(shè)函數(shù)y=定義域?yàn)镽,對給定正數(shù)定義函數(shù)九(x)=《，、則稱函

數(shù)九(X)為“X)的“攣生函數(shù)"，若給定函數(shù)=<、,用=1，則丁=九(X)的值

2v—l,x>0

域?yàn)?)

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.(-oo,—1]

(2)定義min｛a,"c｝為a,》,c中的最小值，設(shè)/(%)=01皿｛2》+3,/+1,5-34則/(x)的最大值是

思路：(1)根據(jù)“李生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點(diǎn)，即以y=M為分

界線，/(x)圖像在y="下方的圖像不變，在M上方的圖像則變?yōu)?/p>

y=M,通過作圖即可得到九(x)的值域?yàn)閇-2,1]

(2)本題若利用min｛a,",c｝的定義將/(x)轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，則需要對三個(gè)

式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，將三個(gè)解析式的圖像作在

同一坐標(biāo)系下，則/(x)為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從而通過數(shù)形結(jié)合可

得/(x)的最大值點(diǎn)為y=X?+1與y=5-3x在第一象限的交點(diǎn)，即

y=%2+1[x=l

nv，所以/1(x)=2

y=5-3x[y=2、'\/max

答案：(1)A(2)2

例5：已知函數(shù)/(卜=2q)2/2(,)ah歸2)+x2，設(shè)

&(x)=max{/(x),g(x)},"2(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p4}表示p,q中的較大值,

min。?｝表示p,q中的較小值)記的值域?yàn)锳,H?(x)的值域?yàn)?,則力B-

思路：由”1(X),”2(x)的定義可想到其圖像特點(diǎn)，即若將〃x)，g(x)的

圖像作在同一坐標(biāo)系中,那么”/工)為了(力送(尤)圖像中位于上方的部

分，而“2(x)為/(x)，g(x)圖像中位于下方的部分。對/(x)，g(x)配

/(x)=[x-(Q+2)]2—467—4

方可得：＜其中-4a—4<-4。+12,

g(x)=_[x-(〃-2)了-4^+12

故g(x)的頂點(diǎn)在“X)頂點(diǎn)的上方。由圖像可得：褐色部分為的圖像，紅色部分為“2(x)的圖像,

其值域與/(x),g(X)的交點(diǎn)有關(guān)，即各自的頂點(diǎn)(a—2,4+12),(a+2,Ta—4),所以(X)的值域

A=[-4a—4,+oo),//,(犬)的值域6=(-00,-4。+12]。從而A3=[Ta-4,Ta+12]

答案：[Ta—4,Ta+12]

Y]nx+3

例6：(1)函數(shù)y=------^尤e[2,4]的值域?yàn)?/p>

(2)函數(shù)y=y/x?+4+\]x2-2x+10的值域?yàn)?/p>

思路：(1)函數(shù)為分式，但無法用“變形+換元”的方式進(jìn)行處理，雖然可以

用導(dǎo)數(shù)，但求導(dǎo)后需對分子的符號進(jìn)行進(jìn)一步研究。那么換一個(gè)視角，從分

式的特點(diǎn)可聯(lián)想到直線的斜率，即丁是(x,xlnx)與定點(diǎn)(1,一3)連線的斜率，

那么只需在坐標(biāo)系中作出/(x)=xlnx在[2,4]的圖像與定點(diǎn)(1,—3),觀察

曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的取值范圍即可

解：所求函數(shù))，是(x,xlnx)與定點(diǎn)(1,—3)連線的斜率

設(shè)/(x)=xlnx

/(x)=l+lnx,當(dāng)xe[2,4]時(shí)，/'(x)>0恒成立

為增函數(shù)/(2)=2In2,/(4)=41n4=81n2

設(shè)曲線上兩點(diǎn)A(2,21n2),6(4,81n2)定點(diǎn)C(l,—3)

,_,__,81n2+3

??^AC=2In2+3,kBC=-

??”RBCAC]=21n2+3,亍+1

(2)思路：y=&2+4+42—2x+10+22+J(x-1)2+32,

所以y可視為點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(0,2),(1,3)距離和的取值范圍。結(jié)合圖形可利用

對稱性求出其最小值，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)向龍軸兩側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其距離和趨向無窮大，

進(jìn)而得到值域。

解：

y=&+4+Vx2-2x+10=7%2+(0-2)2+J(x_1)2+(0_3'

y為動(dòng)點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)4(0,2),8(1,3)距離和,即y=照+附

作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A(0,-2)

|PA|+1PB\=\PA\+\PB\>\AB\=y/26(等號成立條件：P,4,8共線)

當(dāng)Xf+OO或XfYO時(shí)，+歸耳.+30

函數(shù)的值域?yàn)椋酆?+8)

小煉有話說：本題在選擇點(diǎn)時(shí)要盡量讓更少的點(diǎn)參與進(jìn)來簡化問題，所以要抓住兩個(gè)距離共同的特點(diǎn)(例

如本題中都抓住含根式中的羽0,所以找到了一個(gè)共同的動(dòng)點(diǎn)(x,0))

…-c81n2.

答案：（1）21n2+3,-----1-1⑵［而,+8）

3

3、函數(shù)單調(diào)性：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性(增、減)即可快速求出函數(shù)的值域

(1)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法與結(jié)論:

①增+增—增減+減—減

(一1)乂增一?減若函數(shù)的符號恒正或恒負(fù)，則f減

②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］可拆成y=/(r),r=g(x),則若y=/?)"=g(x)的單

調(diào)性相同，則y=/［g(x)］單調(diào)遞增；若y=/(f),r=g(x)的單調(diào)性相反，則y=/［g(x)］單調(diào)遞減

③利用導(dǎo)數(shù)：設(shè)圖像不含水平線的函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/(X),則/(x)20=/(x)單增；

f(x)W0n/(x)單減

(2)在利用單調(diào)性求值域時(shí)，若定義域有一側(cè)趨近于+8或—0,則要估計(jì)當(dāng)X-+8或X-時(shí)，函

數(shù)值是向一個(gè)常數(shù)無限接近還是也趨近于+8或F(即函數(shù)圖象是否有水平漸近線)，：同樣若/(X)的定

義域摳去了某點(diǎn)或有一側(cè)取不到邊界，如xe(a,5],則要確定當(dāng)xfa時(shí)，/(x)的值是接近與一個(gè)常

數(shù)(即臨界值)還是趨向”或-8(即函數(shù)圖象是否有豎直漸近線)，這樣可以使得值域更加準(zhǔn)確

例7：(1)函數(shù)/(x)=Jl-x+\/x+3-l的值域?yàn)?)

A.[-3,1]B.[-1,-KO)C.[2,272]D.[1,272-1]

(2)函數(shù)/(無)=：]曰[的值域?yàn)?)

A.(—8,1)B.C.(。，1]D.[0,1]

(3)函數(shù)〃％)=:__1］的值域?yàn)?

—2+1

思路：(1)函數(shù)的定義域?yàn)楹须p根式，所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題，但/(%)的導(dǎo)數(shù)

=一嚴(yán)工較易分析出單調(diào)性,所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出/(X)的單調(diào)區(qū)間，從而求得最值

2V1—x.Jx+3

Jx+3-—

八加一女

x2jx+325/l-x-Jx+3

令/'(力>0即解不等式：V7+3>Vi^7

/.%+3>l-x=>x>-l

.-./(X)在(―3,-1)單調(diào)減，在(-1,1)單調(diào)遞增

.?./(X)的值域?yàn)椋?,20一1］

小煉有話說：本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，所以想到

從而可設(shè)［U=2sma,由［勺NO可知&G

嚴(yán))2+(右可=4,嗎,所以原函數(shù)

［vx+3=2cosa［Jx+320

的值域轉(zhuǎn)化為求y=2sina+2cos2-1的值域，從而有y=2&sin1十2-1,由0,—可求得

\4JL2_

)€[1,2夜-1]。由此題可知：含雙根式的函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角

換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問題

(2)思路：函數(shù)的定義域?yàn)?,從而發(fā)現(xiàn)|1—x|=l-x,所以函數(shù)的解析式為/(x)=x-—尤，

觀察可得/(X)為增函數(shù)，且X—?-OO時(shí)，/(x)--oo,所以當(dāng)XG(-OO,1]時(shí)，/(X)的值域?yàn)?一8,1]

小煉有話說：①本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕営袠O大的促進(jìn)作用。所以在求函數(shù)的值域時(shí)，若發(fā)現(xiàn)

函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域

②本題也可用換元法，設(shè)1=5/匚[后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調(diào)性求解簡便。

‘3-2x20

(3)思路：先確定函數(shù)的定義域:4=>xe/(x)為分式且含有根式，求導(dǎo)則導(dǎo)函數(shù)

2x—2>0

較為復(fù)雜。觀察分子分母可知：j3-2x+5>0且關(guān)于x單減,J2x—2+1>0且關(guān)于x單增,即

I1——單減，所以/(0)=-/一2±±?為減函數(shù),由xe1,—可知/'(x)的值域?yàn)椤?6

72^2+1')^/2^^2+l]2」八，12」

小煉有話說：在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增T增”，那么如果一個(gè)函數(shù)可表示為兩個(gè)函數(shù)的乘法，例如

〃(x)=/(x>g(x)，則當(dāng)/(x)，g(x)均為增(減)函數(shù),且/(x),g(x)恒大于。，才能得到力(。為

增(減)函數(shù)

答案：(1)D(2)B(3)?6

4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個(gè)含參數(shù)y的關(guān)于x的方程b(x,y)=0。由

函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可知，對于值域中的任一值了，必能在定義域中找到與之對應(yīng)的X。這個(gè)特點(diǎn)反應(yīng)在方程

中，即為若為在值域中，則關(guān)于X的方程尸(x,y)=o在y=為時(shí)至少有一個(gè)根。從而將求值域問題轉(zhuǎn)化

為“y取何值時(shí)，方程尸(x,y)=0有解”的問題。利用方程的特點(diǎn)即可列出關(guān)于y的條件，進(jìn)而解出>?的

范圍即值域

2X24-4r-7

例8：(1)函數(shù)>—--的值域?yàn)?)

X2+2X+3

-22

A.B.c.D.

2'-2

4°7?

sinx-1

(2)函數(shù)y--------的值域?yàn)?

cosx+2

思路：(1)觀察分式特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將去掉分母后可構(gòu)造為一個(gè)關(guān)于龍的二次方程(其中y為參數(shù)):

(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=O,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镠,所以y的取值要求只是讓方程有解即可,

首先對最高次數(shù)系數(shù)是否為。進(jìn)行分類討論：當(dāng)y=2,方程為13=0,無解；當(dāng)y±2時(shí)，二次方程有

解的條件為A20,即得到關(guān)于y的不等式，求解即可

/刀,2爐+4x—7

解：由y=1--------可得:

V+2x+3

dy+2xy+3y=2x2+4]-7

.\(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=0

X2+2X+3=(X+1)2+2>0.?.函數(shù)的定義域?yàn)镽

y的取值只需讓方程有解即可

當(dāng)y=2時(shí)，13=0不成立，故舍去

當(dāng)yW2時(shí)，A=（2y-4）2-4（y-2）（3j+7）>0

即:（2y+9）（y-2）<0

9

y<2

2

-9

綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)?3,2

L2

小煉有話說：①對于二次分式，若函數(shù)的定義域?yàn)镽,則可像例8這樣通過方程思想，將值域問題轉(zhuǎn)化

為“y取何值時(shí)方程有解”，然后利用二次方程根的判定A20得到關(guān)于y的不等式從而求解，這種方法也

稱為“判別式法”

②若函數(shù)的定義域不是H,而是一個(gè)限定區(qū)間（例如［。,可），那么如果也想按方程的思想處理，那么要

解決的問題轉(zhuǎn)化為：“j取何值時(shí)，方程在［a,可有根”，對于二次方程就變?yōu)榱烁植紗栴}，但因?yàn)橹灰?/p>

方程有根就行，會(huì)按根的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較復(fù)雜的分類討論，所以此類問題通常利用分式的變形與換元進(jìn)行解

決（詳見附）

（2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含sinx或cosx的形式，考慮去分母得：sinx-ycosx=2y+1則y的取值

只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點(diǎn)可想到俯甬公式，從而得到

+y2sin（x+^>）=（2y+1）=>sin（x+,可知方程有解的條件為：產(chǎn)十］.41,解出y

Jl+JJl+V

的范圍即為值域

解：>=必”二L的定義域?yàn)镽

cosx+2

且丁=--------=>ycosx+2^=sinx-l

cosx+2

/.sinx-ycosx=2y+l

I2］

二."l+y?sin（x+*）=（2y+1）,HPsin（x+^）=,,其中tanQ=-y

Jl+V

因?yàn)樵摲匠逃薪?/p>

,「4-

3y2+4>><0=>ye--,0

小煉有話說：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決，把分式視為（cosx,sinx）,（—2,1）連線斜率

的問題，從而將問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)（一2,1）與單位圓上點(diǎn)連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運(yùn)用方

程思想處理的局限性在于輔角公式與y的取值相關(guān)，不過因?yàn)閤eR,所以均能保證只要sin（x+°）在

［一1,1］中，則必有解。但如果本題對x的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出y的不等式，所以還是

用數(shù)形結(jié)合比較方便

「41

答案：⑴D（2）一一,0

_3_

以上為求值域的四種常見方法，與求函數(shù)的理念息息相關(guān)，有些函數(shù)也許有多種解法，或是在求值域

的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數(shù)值域問題時(shí)，能迅速抓住解析式的特點(diǎn)，找到

突破口，靈活運(yùn)用各種方法處理問題。

例9：已知函數(shù)〉=忸（/+2%+加）的值域?yàn)镠,則m的取值范圍是（）

A.m>\B.m>\C.m<1D.meR

思路：本題可視為y=lg/"=x2+2x+〃z的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)镽,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，應(yīng)

取遍所有的正數(shù)（定義域可不為R）,即若函數(shù)f=%2+2x+〃?的值域?yàn)锳,則（0,+?）屋4,由二次函

數(shù)的圖像可知，當(dāng)A20時(shí)，可滿足以上要求。所以4=4-4機(jī)20解得加41

答案：C

例10：在計(jì)算機(jī)的算法語言中有一種函數(shù)卜］叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），［可表示不超過x的最大整

2ri

數(shù)，例如：[2]=2,[3.1]=3,[—2.6]=—3,設(shè)函數(shù)“犬卜^^一院則函數(shù)y=[/(x)]+[/(-x)]的

值域?yàn)?)

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,0}

思路：按[x]的定義可知，若要求出[x],則要將確定里面x的范圍，所以若求丫=[/(%)]+[/(-*)]的

值域，則要知道/(x)—的范圍。觀察到丫=[/(尤)]+[/(T)]為偶函數(shù)，所以只需找到x>0的

2TII-2*2*I2V-1

值域即可，/(-x)=---------=1-----r,f(x)=------------=-1-----r,即成

立，所以/(x)為奇函數(shù)，只需確定“X)的范圍即可。對/(x)中的分式進(jìn)行分離常數(shù)可得：

一工7，當(dāng)關(guān)>°時(shí)，2V+1G(2,+OO),從而不所以由

/(-X)=_/(x)e[--,0^1?[/(t)|=([/H])=-1，可得丁=一1,再利用偶函數(shù)性質(zhì)可得x<0

時(shí)，y=-lo當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=/(—x)=O,所以y=0,綜上所述：y="(x)]+[/(—x)]的值域

為{-1,0}

答案：B

小煉有話說：(1)本題在處理值域時(shí)，函數(shù)奇偶性的運(yùn)用大量簡化了運(yùn)算。首先判斷出所求函數(shù)為偶函數(shù)，

所以關(guān)于y軸對稱的兩部分值域相同，進(jìn)而只需考慮x>0的情況。另外從解析式的特點(diǎn)判斷出/(x)為

奇函數(shù)，從而只需計(jì)算/(x)的范圍，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)推出了(-X)的范圍。所以在求函數(shù)值域時(shí)，若

能通過觀察或簡單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性質(zhì)，則解題過程能夠達(dá)到事半功倍的效果。

/(r)=2r

72

(2)本題在判斷“X)的奇偶性時(shí)，由<T+r很難直接看出/(￡),/(—x)之間的聯(lián)系,

2X

f(x]--------

')1+2,2

2r-1

但通過“通分”即可得到<奇偶性立即可見；在求/(%)的范圍時(shí)，利用

\-T

/(T)=

2(1+2')

2'_1

f(x)=—,----7的形式，分式較為復(fù)雜，分子分母均含變量，不易確定其范圍。但通過“分離常數(shù)''得

''20+2，)

到/(x)=，——!一則非常便于求其范圍。由以上的對比可知，在判斷奇偶性或者分式的符號時(shí)，通常

一個(gè)大分式較為方便；在求得分式函數(shù)值域時(shí)，往往通過“分離常數(shù)”的手段簡化分式中的分子，從而便

于求得范圍

附：分式函數(shù)值域的求法：

分式函數(shù)也是高中所學(xué)函數(shù)的一個(gè)重要分支，求解分式函數(shù)的值域也考查了學(xué)生分式變形的能力以及

能否將分式化歸為可求值域的形式，學(xué)會(huì)求分式函數(shù)值域也是處理解析幾何中范圍問題的重要工具。求分

式函數(shù)值域的方法很多，甚至也可以考慮對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，但相對計(jì)算量較大，本節(jié)主要介紹的方式為如

何通過對分式函數(shù)進(jìn)行變形，并用換元的方式將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)進(jìn)行求解。

一、所用到的三個(gè)函數(shù)(其性質(zhì)已在前文介紹)

1、反比例函數(shù)：y=—

X

2、對勾函數(shù)：y-x+—(a>0)

3、函數(shù)：y=x—/(a>0)注意與對勾函數(shù)進(jìn)行對比

二、分式函數(shù)值域的求法

請看下面這個(gè)例子：

求y=3+_,xw[l,2]的值域

思路：此函數(shù)可看為上的結(jié)果再加上3所得，故可利用反比例函數(shù)求出工的范圍，再得到值域

XX

[「[]「7-

解：xe[l,21.??一￡-,1.?.y=3+—￡-,4

x|_2Jx|_2_

問題不難，但觀察可發(fā)現(xiàn)：>=3+4=2山，所以當(dāng)遇到的函數(shù)為、=亙里，總可以將分子的每一

XXX

項(xiàng)均除以分母，從而轉(zhuǎn)化為y=3+'進(jìn)行求解。由此得到第一個(gè)結(jié)論：

X

Z7V-+力b

對于形如/(x)=的函數(shù)，總可以變換成=a+[轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)進(jìn)行求解。

注：如果在分式中，分子的表達(dá)式可將一部分構(gòu)造為分母的形式，則可用這部分除以分母與分式分離得到

常數(shù)，從而使得分式中的分子變得簡單，這種方法稱為“分離常數(shù)法”，是分式變形常用的一種手段

例：/(-?)=—~~-,X6(1,3)

X+1

思路：本題分母為表達(dá)式，比較復(fù)雜，但如果視分母為一個(gè)整體(進(jìn)行換元)，則可將分式轉(zhuǎn)化成為

/(X)=C7X+1的形式,從而求解

X

解：令,=%+1/￡(2,4):.x=t-\

???/(7)=一:2=2-：，進(jìn)而可求出值域:

注：換元法是求函數(shù)值域時(shí)，通過將含有變量的一部分式子視為一個(gè)整體，用一個(gè)變量表示，進(jìn)而將陌生

的函數(shù)化歸成熟悉的模型求解，這也是求函數(shù)值域時(shí)變換解析式的重要方法。

由上例，我們可以總結(jié)出第二個(gè)結(jié)論：

對于形如/'(》)="‘(分子分母均為一次的分式)的函數(shù)，通過換元，=n+〃，可轉(zhuǎn)化為

cx+d

/?)=〃詈的形式，進(jìn)而用反比例函數(shù)進(jìn)行求解。

再看下一個(gè)例子：

例：f(x)=x+—e—,3

v7x2

解：函數(shù)為對勾函數(shù)(a=1),作圖觀察可發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)x=l在定義域中，故最小值為/(1)=2,而最大值

在/(g)，/(3)中產(chǎn)生，/(g)=*/(3)=號故值域?yàn)?/p>

思考1：那么=1,3你是否會(huì)求呢？記住，圖像是你最好的幫手！

1丫？+]

思考2：/(x)=x+-=-_那么是否可以仿照上面，得到第三個(gè)結(jié)論？

XX

r/x~J-Av--L(?a

形如y=奴十以十c的函數(shù)可通過分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為y^ax+-+b的形式，進(jìn)而可依靠y=尤±±的圖像

XXX

求出值域

繼續(xù)，還能擴(kuò)展么？舉個(gè)例子？

例：=x+3：+4,XW(3,5)

解:設(shè)r=x-l,re(2,4)

.口止士亞止=3型=，+§+5(極值點(diǎn)：氓=20)

ttt

."=/1=2閭=4夜+5/(r=2)=ll,/(r=4)=ll

二同4應(yīng)+5,11)

第四個(gè)結(jié)論：

/7-4-hx4-C

形如y=生_藝，的函數(shù)可通過換元t=公+e將問題轉(zhuǎn)化為第三個(gè)結(jié)論，然后進(jìn)行求解

dx+e

y_1

那么，例：f（x）=2—,xw（3,5）呢

不就是取了倒數(shù)么，所以只需分子分母同除以分子（工-1）即可化歸為上面的情形

那么，例：〃力二二：21；,*6（3§呢

分子分母最高次均為2次，可考慮進(jìn)行下分離常數(shù)：

〃力=二+2%+1J：x+1+一,從而轉(zhuǎn)化為上面例子的問題，至此，分式函數(shù)的終

X~+X4-1X+X+1X~+X+1

nY~4-hx+c

極形式y(tǒng)=――--總可通過一系列變換，轉(zhuǎn)化為前面所介紹的三個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行求解。

dx~+ex+f

小結(jié)：總結(jié)一下我們所遇到的分式類型及處理方法吧：

①〉=竺，：換元一分離常數(shù)一反比例函數(shù)模型

cx+d

②（=".土外上￡：換元一分離常數(shù)一y=x±@模型

dx+ex

③y二:z/r+。:同時(shí)除以分子：y=—5-I^——f②的模型

ax+bx+c+bx+c

dx+e

"Y2_1_Ay_1_r*

④尸二十以十c:分離常數(shù)一③的模型

dx+ex+f

共同點(diǎn)：讓分式的分子變?yōu)槌?shù)

一、光速解題——學(xué)會(huì)9種快速解題技法

技法1特例法

在解答填空題時(shí)，可以取一個(gè)（或一些）特殊值、特殊位置、特殊函數(shù)、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊

圖形等來確定其結(jié)果,這種方法稱為特例法.特例法只需對特殊數(shù)值、特殊情形進(jìn)行檢驗(yàn),失去了推理論證

的演算過程,提高了解題速度.特例法是解答填空題時(shí)經(jīng)常用到的一種方法.

典例1（特殊數(shù)值）求值:cola+cos“a+120°）+cos2（a+240°）=.

3

答案2

解析題目中“求值”二字提供了這樣的信息：答案為一定值，于是不妨令a=0°,則原式

113

=cos"0+cos'120°+COS2240°=1+"+"=2

典例2(特殊點(diǎn))點(diǎn)P為橢圓25+9=］上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過橢圓的右頂點(diǎn)A、上頂點(diǎn)B

分別作y軸、x軸的平行線,它們相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)P引BC,AC的平行線交AC于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)M,交AB于

D、E兩點(diǎn)，記矩形PMCN的面積為Sb三角形PDE的面積為S2,貝I」S)：S2=.

答案1

(4$$

解析不妨取點(diǎn)P'則s-'5，X(5-4)=5,PD=2,PE=S,所以

166

2SSE

S2=X2X=5,所以S|：.

典例3(特殊函數(shù))若函數(shù)y=f(x)對定義域D中的每一個(gè)XI,都存在唯一的xzGD,使f(x。?f(x2)=l

成立,則稱f(x)為“影子函數(shù)”，有下列三個(gè)命題：

①''影子函數(shù)”f(x)的值域可以是R;

②''影子函數(shù)"f(x)可以是奇函數(shù)；

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函數(shù)”，且定義域相同，則y=f(x)?g(x)是“影子函數(shù)”.

上述正確命題的序號是.

答案②

解析對于①：假設(shè)“影子函數(shù)”的值域?yàn)镽,則存在xi,使得f(x)=O,此時(shí)不存在xz,使得

f(x)?f(xj=l,所以①錯(cuò)誤；

1

對于②:函數(shù)f(x)=x(x#O),對任意的x￡(-8,o)U(0,+8),取x2=",則f(x)?f(x2)=l,因?yàn)楹?/p>

數(shù)f(x)=x(x￥0)為奇函數(shù)，所以“影子函數(shù)”f(x)可以是奇函數(shù)，②正確；

1

對于③:函數(shù)f(x)=x(x>0),g(x)="(x>0)都是“影子函數(shù)”，但函x)=f(x)?g(x)=l(x>0)不是

“影子函數(shù)”(因?yàn)閷θ我獾膞iC(0,+8),存在無數(shù)多個(gè)X2e(0,+8),使得F(xJ?F(X2)=1),所以③錯(cuò)誤.

典例4(特殊位置)(1)已知E為AABC的重心,AD為BC邊上的中線，令A(yù)BAC=b,過點(diǎn)E的

_t111

直線分別交AB,AC于P,Q兩點(diǎn)，且4P=ma,做=也則%"=.

⑵如圖,在三棱柱的側(cè)棱A,A和B,B上各有一動(dòng)點(diǎn)P,Q,且AIP=BQ,過P,Q,C三點(diǎn)的截面把棱柱分成上、

下兩部分,則上、下兩部分的體積之比為.

答案(1)3(2)2：1

解析（1）由題意知結(jié)果必然是一個(gè)定值，故可利用特殊直線確定所求值.如圖，令PQ〃BC,則

21

-AB-Tn-AC

33故

APQ=3，此時(shí)，1n二口二

A

⑵將P.Q置于特殊位置：PfAi,QfB,此時(shí)仍滿足條件AF=BQ(=O),則有

VV

C-AArB_A1-ABC^3

因此過P,Q,C三點(diǎn)的截面把棱柱分成了體積比為2：1的上、下兩部分.

典例5（特殊圖形）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若a、b、c成等差數(shù)列,則

cosA+cosC

1+COSJ4COSC_

4

答案5

1coM+cosC4

解析不妨令A(yù)ABC為等邊三角形，則cosA=cosC=則1+COS4COSC_5

技法2換元法

換元法又稱變量代換法.通過引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來,

或者將題目變?yōu)槭煜さ男问?簡化復(fù)雜的計(jì)算和推理.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)

是等量代換，目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中再研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、

復(fù)雜問題簡單化.換元法經(jīng)常用于三角函數(shù)的化簡求值、復(fù)合函數(shù)解析式的求解等.

典例1（三角換元）已知x,yCR,滿足x、2xy+4y、6,則z=x44y2的取值范圍是.

答案[4,12]

解析已知x2+2xy+4y'=6,

By)、(

BP(x+y)2+(

故設(shè)x+y=%

^cosa-2in

即x=Q,y=

則z=x2+4y2=6-2xy=6-2(6cosa-&sina)任ina

2a+1)

=8-4sin

所以8-4WzW8+4,即z的取值范圍是[4,12].

典例2（整體代換）函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx,x￡[0,冗]的最小值是.

答案-1

Ain

解析設(shè)t=sinx-cosx=

i-t2

則sinxcosx=2,

JT

因?yàn)閤e[o,汨，所以x-4el-pv]

所以&],

i-t2i

所以y=t+2二2(t-l)2+l,當(dāng)t=-l時(shí),ymin=-l.

4(a+l)2a(a+1)2

a+1+10g24a2〉0恒成立,

典例3（局部換元）設(shè)對一切實(shí)數(shù)X,不等式（10g2°+2x10g2

求a的取值范圍.

2a

a+1

解析