探究開(kāi)放題預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)角度1

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.已知拋物線y=-/+2,過(guò)其上一點(diǎn)P引拋物線的切線1,使1與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成

的面積最小，求1的方程。

［解題思路］設(shè)法用某個(gè)變量(如P點(diǎn)橫坐標(biāo))去表示三角形的面積S,在利用函數(shù)關(guān)系式

求最值就可以解決問(wèn)題。

［解答］設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X°,-X2°,+2).

?；y，=-2x,...過(guò)P點(diǎn)的切線方程為：

y-(-x)+2)=-2x()(x-xo)①

令x=0得y=x2o-x2o+2=x'o+2>0

y=0得*=*。+上顯=顯出

242x0

卑2(X20+2)(X0>0)

22x0

_1xj+4君+4

4xo

S'=-(3X2O+4-4-)令S，=o得Xo=在

4舄3

又?.?(KxoC巫時(shí),SXO;J<x時(shí)Q>0.

33

當(dāng)Xo=當(dāng)時(shí)，S最小。

把x產(chǎn)當(dāng)代入①得1的方程為：

2Rx+3y-8=O.

2.由原點(diǎn)O向三次曲線y=x3-3ax2(aWO)引切線，切于點(diǎn)R(x1(yi)(OR兩點(diǎn)不重合)，

再由P1引此曲線的切線,切于點(diǎn)P2(X2?2)

(P|,P2不重合)。如此繼續(xù)下去，得到點(diǎn)列｛Pn(Xn,yn)｝

⑴求X1；

⑵求X“與Xm滿足的關(guān)系式;

(3)若a>0,試判斷x“與a的大小關(guān)系并說(shuō)明理由

［解題思路］利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再通過(guò)切線方程找到七、Xm的遞推關(guān)系，

通過(guò)遞推關(guān)系求出｛xn｝的通項(xiàng)公式，最后按n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況的討論可得x.與a的

大小關(guān)系。

［解答］(1)由y=x-3ax2,得y'=3xJ6ax

過(guò)曲線上點(diǎn)R(xi,y。的切線Li的斜率為3x2「6axi.

.,.Li的方程為y-(x3i-3ax2i)=(3x2i-6axi)(x-xi).

322

又?.'Li過(guò)原點(diǎn),故有：-(x-3axt)=-Xi(3x-6axi)

,*.2x3i=3ax-i,.*.Xi=—a

2

(2)過(guò)曲線上的點(diǎn)P?-i(x?*i,y?H)的切線方程是y-(x)”-3ax，i)=(3x；+「6axn+i)(x-Xn+i)

VLn+1過(guò)曲線上點(diǎn)Pn(x?,y?).

3222

故Xn-3axn-(x^l,-3axn+l)=(3xnH-6aXnd)(Xn-Xn.l).

33222

B|JXn-Xn+i-3a(Xn-Xn+1)=(3xnn_6aXn+l)(X,-Xn-1).

*/Xn-XnH^O,

??X"u+XnXn+l+X~n+I-3a(Xn+Xn+】)-3xn+1-6aXnT.

X；+XnXn「2xl「3a(Xn+Xnn)=0

(Xn-Xn+1)(Xn+2xn+l-3a)=0.

Xn+2xn*l=3a.

⑶由(2)得Xn+l=-工而+上4

22

.1z、

..xn+i-a=--(xn-a)

故數(shù)列｛Xn-a｝是以xra=；a為首數(shù)，公比為的等比數(shù)列。

.\xn-a=—(-—)n-1

22

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，xn-a=-a(-g)nvO.二x“〈a

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn-a=-a(-g)n>0.x“>a.

預(yù)測(cè)角度2

利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性

1.己知mGR,研究函數(shù)f(x)="〉+3("；+l)-的單調(diào)區(qū)間

ex

［解題思路］先求f'(x),再令f'(x)>0和f(x)<0可解得函數(shù)的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間。

小，、12mx+3(6+1)-［mx2+3(/??+1)x+3m+6'

tM=-----------------------------------------------------

［解答］,“)

_-mx1-(m+3)x-3

—

記g(x)=-mx2-(m+3)x-3

???ex>0,只需g(x)的正負(fù)即可。

(1)當(dāng)m=0時(shí)，g(x)=-3x-3.

當(dāng)g(x)>0時(shí),x<-l,f9(x)>0

當(dāng)g(x)<0時(shí);x>-i,r(x)<o

???當(dāng)m=0時(shí)，f'(x)的增區(qū)間為(-8,-1),減區(qū)間為(-1,+8)。

(2)當(dāng)m#0時(shí),g(x)有兩個(gè)根：xi=--,x=-l.

m2

①當(dāng)m<0時(shí)，x?X2,在區(qū)間(Q,-1)u(-3,+8)上，g(x)〉O,即廣(x)〈0.

m

.?.f(x)在(-8,-1)U(-3,+8)上是增函數(shù)。

m

在區(qū)間(-1,--)上，g(x)<0,EPf9(X)<0.

m

.??f(x)在(-1,-A)上是減函數(shù)。

in

②當(dāng)0<m<3時(shí)，Xi<X2.在區(qū)間(4,-2)u(-1,+8)上g(x)<0,即f，(x)〈O.

m

二函數(shù)f(x)在(-8,-3)U(-1,+8)上是減函數(shù)，在區(qū)間(-2，-1)上，g(x)>0,f'(x)>0.

mm

r.f(x)在(-3,t)上是增函數(shù)。

m

③m=3時(shí)，X］=x2.

在區(qū)間(-8,-i)u(-1,+8)±g(x)<o,r(x)<0o

?.?f(x)在x=T處連續(xù)。.,.f(x)在(-8,+oo)上是減函數(shù)。

當(dāng)m>3時(shí)xi〉X2。在區(qū)間(-8,-1)u(-—,+8)上，g(x)<0,f9(x)<0o

m

.??f(x)在(-8,-1)U(--,+8)上是減函數(shù)。

tn

在區(qū)間(-1,--)上，g(x)>0,即f，(x)>0.

in

...f(x)在(-1,-A)上是增函數(shù)。

tn

2.已知函數(shù)f(x)=/+”3-21￡x2+2ax在x=l處取極值,且函數(shù)g(x)=廣+人_j2s

432432

在區(qū)間(a-6,2a-3)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。

［解答］f9(x)=x3-bxJ-(2+a)x+2a

由r(l)=O#b=l-a.

/.f'(x)=x3+(l-a)x2-(2+a)x+2a

=(x-l)(x+2)(x-a)

若a=1時(shí)封(x)=(x-1)2(x+2).xG(-2,1)

f'(x)>0xe(l,+o0),f(x)>0.

Ax=l不是極值點(diǎn)。

又b=l-a.g"(x)=x3+(l-a)x2-(a-l)x-a=(x-a)(x2+x+l).當(dāng)x<a時(shí),g'(x)<0,

；?g(x)在(-8,a)上遞減,:.(a-6,2a-3)c(-°°,a)

?'a-6<2a-3Wa,-3<aW3.

綜合，得a的范圍為(-3,1)U(1,3)o

3.已知f(x)=ax，bx、cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖像交x軸于A、B、C三點(diǎn)，若點(diǎn)B

的坐標(biāo)為(2,0),且￡&)在b1,0］和［4,5］上有相同的單調(diào)性,在［0,2］和［4,5］上有

相反的單調(diào)性。

(1)求C的值；

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在一點(diǎn)M(x。,y0)使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b?若

存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

［解題思路］根據(jù)題設(shè)條件作出f(x)的圖像知,f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)為x=0,另一個(gè)極值

點(diǎn)在［2,4］之間，借助這個(gè)結(jié)論可判定在點(diǎn)M處的切線的斜率能否等于3b,

［解答］⑴由題意可知f(x)在［T,0］和［0,2］上具有相反的單調(diào)性。...x=0是f(x)的一

個(gè)極值點(diǎn)，故f'(0)=0。即3ax2+2bx+c=0有一個(gè)解為x=0/.c=0?

(2)?.?f(x)交x軸于點(diǎn)B(2,0)。

，8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).

令f*(x)=0,則3ax2+2bx=0,xi=O,X2=—

3。

???f(x)在［0,2］和［4,5］上具有相反的單調(diào)

.?.2W-之W4,，-6W2W-3。

3〃a

2

假設(shè)存在點(diǎn)M(x0>y。),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b,則f，(x0)=3b。即3ax?+2bxo-3b=0o

(2b)2-4x3ax(-3b)=4b2+36ab=4ab(-+9)

a

?.?又-6W，W-3,...△<().

.?.不存在點(diǎn)M(xo,yo),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3bo

4.已知函數(shù)f=+；(b-1)x2+cx(b,c為常數(shù))

(1)若f(X)在Xd(-8,X|)及XG(X2+00)上單調(diào)遞增，且在Xd(X|,X2)上單調(diào)遞減，又

滿足0<X2-X］<l.求證b2<2(b+2c).

⑵在(1)的條件下,若t〉xl,試比較系+bt+c與％的大小,并加以證明。

［解題思路］由f(x)的單調(diào)性可知XI、X2是f'(x)=0的兩根，<X2-X<1可證明(1),(2)可

用作差比較法。

［解答］,.,f(x)在x6(-8,X1)及xd(x2,+°°)上單調(diào)遞增，且在(X|,x2)上單調(diào)遞

減，...X=X1或X=X2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，即f)(xj=o,f'(X2)=0。

Vf'(x)=x+(b-l)x+c.

，X|、X2是方程x2+(b-l)x+c=0的兩根,得

,+“2=1-"又???0&2七1<1,

［X19X2=C

/.(X2_xi)2<l,即(xi+xz)2_4XIX2<1.

A(l-b)-4c<l.Ab2<2(b+2c)

(2)由(1)有b=l-(xi+x2)?c=xiX2.

22

(t+bt+c)-xi=t+［l-(xi+x2)］t+xix2-xi=(t-xi)(t-x2+l).

Vt>xi,X2-xi<l

t-Xi>0,Xi<Xi+l<t+l

/.(t-xi)(t-X2+l)>0

t2+bt+c>Xi.

預(yù)測(cè)角度3

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值

1.已知函數(shù)f(x)=ax：'+cx+d(a二0)是R上奇函數(shù)，當(dāng)x=T時(shí),f(x)取得極值2。

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)于Xi、1］,不等式If(xj-f(X2)Wm,求m的最小值。

［解題思路］由題設(shè)條件易求得a、b、c的值。因此由f，(x)〉O和f，(x)〈O可求f(x)的單調(diào)

區(qū)間。

(2)若對(duì)于任意Xi、x2e［-l,1］,不等式If(xi)-f(X2)IWm恒成立,BPlf(xi)-f(x2)I是函

數(shù)f(x)的最大值和最小值之差的絕對(duì)值。因此，這一問(wèn)主要是f(x)在［-1,1］上的最大值和

最小值。

［解答］⑴由f(-x)=-f(x)x￡R,I.f(0)=0即d=0.

f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c.

由題設(shè)f(-1)=2為f(x)的極值,必有f，(-1)=0。

../a+c=-2解得2=1“=-3。

f(x)=x1-3x.f'(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1).

令f，(x)>0,解得x>l或x<T.

f(x)<0,解得1—<X<1.

???f(x)在(-8,-1)u(1,+oo)上單調(diào)遞增。

f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減。

(2)用(1)知；f(x)=x~3x在[T,1],恒有|x(xi)-f3)IWM-N=2-(-2)=4.

2.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[-1,0]U[0,1]上奇函數(shù)，當(dāng)xd[-l,0]時(shí)，f(x)=2ax+g(a為

實(shí)數(shù))

(1)當(dāng)xG(0,1)時(shí)，求f(x)的解析式；

⑵若a>-l,試判斷f(x)在［0,1］上的單調(diào)性；

(3)是否存在a,使得當(dāng)xd(0,1)時(shí)，f(x)有最大值-6。

［解題思路］(D利用函數(shù)f(x)的奇偶性可求得xG(0,1)時(shí)，f(x)的解析式；(2)可用

導(dǎo)數(shù)法判斷；(3)分a>-l和aWT兩種情況討論f(x)的最大值。

［解答］⑴設(shè)xW(0,1),則-xW［-L0］,f(-x)=-2ax+4.

?.,f(x)是奇函數(shù)，，f(x)=2ax?；，x￡(0,Do

(2)"x)=2a+，2(a+l),

XX

Va>-1;xe(o,l),321

.?.a+2_>0,即r(X)>0.

.?.f(x)在(0,1)上是單調(diào)遞增的。

(3)當(dāng)a>T時(shí)，f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，fmax(x)=f(1)=-6。.?.a=-1(不合題意舍去)

2

當(dāng)XG(-8,3卜；)時(shí)，p(x)>0

xG(3J--,+8)時(shí)，f'(x)>0

時(shí)，f(x)有最大值f(3口)。

)=-6na=-2VI.此時(shí)x=^e(0,1)。

存在a=-2拉，使f(x)在(0,1)上有最大值-6。

3.已知f(x)=-x'+ax,其中aWR,g(x)=-;JJ,且f(x)<g(x)在(0,1)上恒成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍。

［解題思路］設(shè)F(x)=f(x)-g(x)。由f(x思g(x)在(0,1)上恒成立,即F(x”0在(0,1)

上恒成立，oF(min)<0o或用分離參數(shù)法。

3

［解答］設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=-x3+ax+-—。

2

Vf(x)<g(x)在(0,1)上恒立=F(x)<0在(0,1)上的最小值。

3

???a〈x2-工〉，這樣，要求a的取值范圍，使得上式在區(qū)間(0,1)上恒成立，只需求函數(shù)

2

3

h(x)=x2-Lx3在(0,1)上的最小值。

2

???h'(x)=2x-'=g?二1)(4立+?

由h，(x)=0(24-1)(4X+24+1)=0.

：4X+24+1>0,，x=L

4

又；xG(0,')時(shí)，h，(x)v0,xe(L1)時(shí),h'(x)>0.

44

；?xJ時(shí),h(x)有最小值

4416

*/3

16

考點(diǎn)高分解題綜合訓(xùn)練

1已知函數(shù)f(x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為1,貝him""⑴等于()］

X—o2x

A.-B.1C.2D.-

24

答案：A解析：(x)=lim〃l+xWa)=Lim川+一)一了⑴二c1)=L1=1

Axfo2x2A.r->0Ax222

2函數(shù)y=xsinx+cosx在下列咖個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()

A.(0,Ji)B.

C.(y,m)D.

答案：D解析：y'=sinx+cosx-sinx=xcosx,xG(-n,-1)時(shí)，y'>0.

3已知函數(shù)f(x)=@上皿在(1,+8)上為減函數(shù)，則a的取值范圍為()

X

A.0<a<-B.0<aWeC.D.aWe

e

答案：C解析：f，(x)=--""J"'<0在^(］+—)上恒成立,故xe(l,+oo)時(shí)，lnx>lln￡恒成

立,

??、ee-、

?X>——WI,.",a2c.

aa

4函數(shù)y=2/-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值、最小值分別是()

A.5,-15B.5,-4

C.-4,-15D.5,-16

答案：A解析：f'(x)=6x?-6x-12,令f'(x)=0即6X2-6-X-12=0.X2-X-2=0x=2或x=-I,(舍)，

...當(dāng)x=2時(shí),y-=-15,x=0時(shí)，y=5時(shí),y=-4,最大值為5,最小值為-15.

5設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在(-8,o)u(O,+8)上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)f，(x)g(x)+

f(x)g，(x)=0且g(3)=0,則不等式f(x)?g(x)<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-8,-3)u(3,+8)D.(-8,-3)u(0,3)

答案：D解析：f(x>g(x)是定義域上的奇函數(shù).

又x<0時(shí)，

f'(x)g(x)+f(x)g,(x)=[f(x)-g(x)]'>0.

???g(3)=O.

f(3>g(3)=0,又f(m)g(x)在定義域上單調(diào)遞增.

，f(x>g(x)<0的解集為(-~-3)U(0,3).

6函數(shù)f(x)=x--2x+3的圖像在x=l處的切線與圓x、y2=8的位置關(guān)系是()

A.相切B.相交且過(guò)圓心

C.相交但不過(guò)圓心D.相離

答案：C解析：(x)=3x2-2.f'⑴=1,...切線方程為y=x+l,點(diǎn)(0,0)到切線距離

7函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案：(0」)解析：令f'(x)=lnx+l<0,得xW(02).

ee

8曲線y*#與y=*2在交點(diǎn)處的切線夾角是—

y=2--x

?2解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

答案：-解析:聯(lián)立3

4y=—x-2

4

又???3力，』(￥")，=#.

...兩函數(shù)在x=2處導(dǎo)數(shù)分別為-2、3.

kj=-2,k?=3.tan。=1&~-1=I--—―1=1

l+W1+3(-2)

可求得生.

4

9已知函數(shù)f(x)=mx'+mx'Bx在R上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

答案：解：f'(x)=3mx2+2mx+3.

(1)當(dāng)m=0時(shí),f'(x)=3>0,

，f(x)在R上為境函數(shù).

⑵①當(dāng)m<0時(shí),f'(x)開(kāi)口向下△<(),

說(shuō)明存在區(qū)間使f'(x)vO.

時(shí),f'(x)在R上不是增函數(shù).

②當(dāng)0<m<9時(shí)，f'(x)開(kāi)口向上且△<(),說(shuō)明f'(x)恒大于0,...Ocmvg時(shí)，f'(x)在R上是

增函數(shù).

③m=9時(shí)f(x)=9x3+9x?+3=9(x+y由函數(shù)y=x3的單調(diào)性可知m=9,f(x)在R上臺(tái)階增函數(shù).

④當(dāng)m>9時(shí)，f'(x)開(kāi)口向上且△>(),說(shuō)明存在砸鍋間使f，(x)v0,0

；.m<9,f(x)在R上不是增函數(shù).

綜上怕述，所求m的取值范圍是［0,9J.

10求函數(shù)f(x)=?-m(x+l)在［4，3］上的最大值和最小值。

答案：解：f(x)=

(xlnx)/(x+l)xlnx1

(x+1)*2x+1

_(lnx4-l)(x+l)-jclnx1

(x+l)2x+1

Inx

*+1)2

令r(X)=O既」^y=0,...X=L

(x+l)2

/.當(dāng)x=i時(shí)可得r(x)<o,

當(dāng)lvxW3時(shí)，f(x)>0

???當(dāng)x=l時(shí)可得f(x)的極小值f(l)=ln2

3

-In3-ln4.

???f(3)=4

j_13

f(2)=-3]n2-ln2=-lIn2-(ln3-ln2)

21

=-|ln2-ln3=f(2),VIn2<ln3,Af(1)<f(3).

3

???f(x)的最大值為f(x)的最大值為f(3)=4In3-ln4.

11函數(shù)f(x)=q/—a/+x+l在x=xi,及x=X2處有極值，J11<UW5.

3x2

(1)求a的取值范圍；

答案：由題設(shè)知f'(x)=ax2-2ax+l二根為xl、x2,

1

—x

且x1+x2=2,x1x2=a,V1<——<5,xl,x2同號(hào)，

巧

Xxl+x2=2>0,；?xLx2同為正數(shù),由1<W5得xkx2W5xl,又,.,x2=2-xl,，xl<2?xlW5xl

同

整理得1Kx［<1,,」=同工2，?'」=肛(2一Q)

3aa

2J_

1

=-c'-2、1)=_(X1_］)2+1.由xie［3,l］

(2)當(dāng)a取最大值時(shí)，存在tWR,使x￡［l,mJ(m>l)時(shí)，f(t-x)〈蓑工-：恒成立，試

求m的最大值。

答案：當(dāng)a=(時(shí)，f'(x)=|x2-yx+l,

918

；.r(t-x)=|(t-x)2y(t-x)+l,

：r(t-x)W些x-3,即2(t-x)2--(t-x)+1w至X-±,整理得x2-2(t+1)WO,該式在xe(1,m)上

恒成立.

把x=l,x=m,代和上式得

l-2(r+l)2+(Z-l)2<0,

<0<r<4.

m2-2(t+l)m+(t-l)2<0,

??t+1-2工4掰4f+1+2-

...當(dāng)t=4時(shí)，m有最大值9.

12已知函數(shù)f(x)=-x3-bx2-5cx-2d在［-8,0］上單調(diào)遞減，在［0,6］上單調(diào)遞增，且方程

f(x)=O有3個(gè)實(shí)根:m、n、lo

(1)求f(4)的取值范圍。

答案：f'(x)=-3x2-2bx-5c

，f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，且在［0,6］上單調(diào)遞增.

.?.當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取最小值。

.?.f(0)=0即c=0

.,.f(x)=-x3-2bx=0

.,.f(x)=-l-b-2d=0nd=-等.

；f(x)=3x2-2bx=0的兩個(gè)根為x1=0,x2=—>b,即b<-9.

3

=-63-15>-63-15?(-9)=72。

故f(4)的取值范圍是［72,+8］.

(2)n?Ymn+i?是否有最小值？若有，求出最小值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

答案：由于m、n、1是方程f(x)=O的三個(gè)根，所以設(shè)

f(x)="(x-tn)(x-n)(x-1)=-x3+(m+n+l)x2-(m+n+mn)x+mn.與f(x)=-x3-bx2-2d

-6=機(jī)+〃+1,

比較系數(shù)得40=加+〃+mn,

-2d=mn.

m2-4mn+n2(m+n)

2-6mn=(-b-l)2-6(-2d)=b2+2b+1+12-(-^-)=(ft-2)2-9>(-9-2)2-9=112.

即n/dinn+i?有最小值112.

13一艘漁艇偏激在距岸9km處，今需派人送信給距漁艇3房km處的海岸漁站，如果送信人

步行每小時(shí)5km,船速每小時(shí)4km,問(wèn)應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達(dá)漁站的時(shí)間最??？

答案：解：如圖所示，設(shè)BC為海岸線，A為漁艇停泊處，設(shè)D為海岸線上一點(diǎn)，CD=x，只需

將時(shí)間t表示為x的函數(shù)，即可確定登岸的位置.

VAB=9,AC=3病，BC=JAC2-4B2=15.由A到C所需要時(shí)間為t,

貝ljt=1x+，J(15-X)2+81(04X415)

54

At.=X_15-^——令p=o,解得x=3.

5J(15-X)2+8］

在x2(0,3),ti<0;x2(3,15)時(shí),t'>0.

在x=3附近，1由負(fù)到正，因此在x=3處取得極小值，又t(0)=返/(15)=3,《3)=竺