五年中考試題(2014年22題)如圖1，正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是射線BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．〔1〕連接FC，觀察并猜測tan∠FCN的值，并說明理由；〔2〕如圖2，將圖1中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=m，BC=n〔m，n為常數(shù)〕，E是射線BC上一動點〔不含端點B〕，以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上，當(dāng)點E沿射線CN運動時，請用含m，n的代數(shù)式表示tan∠FCN的值．圖1圖2(2013年22題)〔1〕問題背景如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交直線AC于D，過點C作CE⊥BD，交直線BD于E．請?zhí)骄烤€段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．〔事實上，我們可以延長CE與直線BA相交，通過三角形的全等等知識解決問題．〕結(jié)論：線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______________________〔請直接寫出結(jié)論〕；〔2〕類比探索在〔1〕中，如果把BD改為∠ABC的外角∠ABF的平分線，其他條件均不變〔如圖2〕，〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請寫出證明過程；假設(shè)不成立，請說明理由；〔3〕拓展延伸在〔2〕中，如果AB≠AC，且AB=nAC〔0＜n＜1〕，其他條件均不變〔如圖3〕，請你直接寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系．結(jié)論：BD=_____CE〔用含n的代數(shù)式表示〕．圖1圖2圖3(2012年21題)如圖1，直角∠EPF的頂點和正方形ABCD的頂點C重合，兩直角邊PE，PF分別和AB，AD所在直線交于點E和F，易得△PBE≌△PDF，故結(jié)論“PE=PF”成立；〔1〕如圖2，假設(shè)點P在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？說明你的理由；〔2〕如圖3，將〔2〕中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其他條件不變，假設(shè)AB=m,BC=n，直接寫出的值。(2011年21題)如下圖，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB-=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在腰AB上．〔1〕如下圖，猜測AB與BC的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；〔2〕如圖2所示，假設(shè)F為線段CD上一點，∠FBC=30°，連接AF，請判斷△BAF的形狀，并說明理由。針對訓(xùn)練：1.〔1〕操作發(fā)現(xiàn)如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在舉行ABCD內(nèi)部．小明將BG延長交DC于點F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說明理由．〔2〕問題解決保持〔1〕中的條件不變，假設(shè)DC=2DF，求的值；〔3〕類比探求保持〔1〕中條件不變，假設(shè)DC=nDF，求的值．2.類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，在□ABCD中，點E是BC邊的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，假設(shè)，求的值．〔1〕嘗試探究在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，那么AB和EH的數(shù)量關(guān)系是_______________，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是_________________，的值是．〔2〕類比延伸如圖2，在原題的條件下，假設(shè)〔m＞0〕，那么的值是〔用含m的代數(shù)式表示〕，試寫出解答過程．〔3〕拓展遷移如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上一點，AE和BD相交于點F.假設(shè)〔a＞0，b＞0〕，那么的值是〔用含a、b的代數(shù)式表示〕．4〔2012〕〕類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整.原題：如圖1，在中，點E是BC邊上的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，假設(shè)，求的值?！?〕嘗試探究在圖1中，過點E作交BG于點H，那么AB和EH的數(shù)量關(guān)系是，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是，的值是〔2〕類比延伸如圖2，在原題的條件下，假設(shè)那么的值是〔用含的代數(shù)式表示〕，試寫出解答過程?！?〕拓展遷移如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F，假設(shè)，那么的值是〔用含的代數(shù)式表示〕.5〔2013〕如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC5重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°?！?〕操作發(fā)現(xiàn)如圖2、固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是_________；②設(shè)△BDC的面積為，△AEC的面積為，那么與的數(shù)量關(guān)系是__________；〔2〕猜測論證當(dāng)△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜測〔1〕中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜測．〔3〕拓展探究∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4,DE∥AB交BC于點E〔如圖4〕，假設(shè)在射線上存在點F，使，請直接寫出相應(yīng)的BF的長．6在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．AAA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP圖1圖2圖3(1)如圖1，當(dāng)AB∥CB1時，設(shè)A1B1與BC相交于點D．證明：△A1CD是等邊三角形；(2)如圖2，連接AA1、BB1，設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．求證：S1∶S2＝1∶3；(3)如圖3，設(shè)AC的中點為E，A1B1的中點為P，AC＝a，連接EP．當(dāng)＝°時，EP的長度最大，最大值為．7〔1〕操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．猜測線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．〔2〕類比探究：如圖2，將〔1〕中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．AABEFGCDCEDFBAG五年中考試題答案【2014年】：解：〔1〕tan∠FCN＝1.………2分如圖，過點F作FQ⊥MN于點Q，那么，由∠ABE=∠EQF=∠AEF=90°，可得△ABE∽△EQF，……4分∵，∴△ABE≌△EQF，∴AB=EQ，BE=QF，設(shè)AB=a，CE=b，那么EQ=a，QF=BE=a+b，∴CQ=a+b，．………6分〔2〕如圖，類比第〔1〕問，過點F作FQ⊥MN于點Q，那么，同樣地，可得△ABE∽△EQF，∴第1問借助全等找線段關(guān)系，這里可以借助相似，所以需要找出兩個三角形的相似比，由相似比得線段關(guān)系；上一問是利用正方形兩鄰邊AE:EF=1:1得到相似比，這里同樣需要找到矩形兩鄰邊AE:EF的值．觀察圖形，點G恰好落在射線CD上，此時∠ADG=90°，∵∠BAD=∠EAG=90°，∴∠1=∠2，∴△ABE∽△ADG，………………8分∴∴，設(shè)CE=b，∵∴，∴EQ=n，，∵CQ=n+b，∴．…………10分【提示】①結(jié)合題干容易判斷出這是一個類比探究問題，需要調(diào)用處理類比探究的思路〔照搬字母，照搬輔助線，照搬思路〕來解決問題；②要求角度的正切值，首先把角放到直角三角形中，作出需要的輔助線，表達出角度的正切值；③觀察圖形結(jié)構(gòu)，利用“一線三等角”出現(xiàn)全等或相似來轉(zhuǎn)化比例關(guān)系，考慮線段關(guān)系復(fù)雜，采用量化的手段來減輕思維量；④照搬第一問的思路去解決第二問，類比不下去時，需要考慮圖形中有哪些不變特征〔一線三等角不變〕，同時考慮新增加的條件是什么〔點G在射線CD上〕，找思路解決．【2013年】：〔1〕BD=2CE；………………2分〔2〕結(jié)論BD=2CE仍然成立.……3分證明：延長CE、AB交于點G.∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4.又∵∠CEB=∠GEB=90°，BE=BE.∴△CBE≌△GBE.∴CE=GE，∴CG=2CE.………………5分∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°.∴∠D=∠G，∴sin∠D=sin∠G.∴.∵AB=AC，∴BD=CG=2CE.………………8分〔說明：也可以證明△DAB∽△GAC〕.〔3〕2n.……………………10分【2012年】：(1)成立.…………〔1分〕證明如下：如圖，過點P分別作AB、AD的垂線，垂足分別為G、H，………〔3分〕那么∠GPH＝90°，PG＝PH，∠PGE=∠PHF＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠1＝∠2.……………〔5分〕∴△PGE≌△PHF，∴PE＝PF．……………〔7分〕(2).……………〔10分〕【2011年】：(1)猜測AB=BC．……1分理由：過D點作DＭ⊥BC，垂足為點Ｍ，那么∠DMC=90°.可得四邊形ABMD是矩形,那么AB=DM.∵△DCE是等邊三角形，∴DE=DC=CE,且∠DCE=∠CED=∠CDE=60°.∵∠DCB=75°,∴∠BCE=∠DCB-∠DCE=75°-60°=15°.…………3分而∠CDM=90°-75°=15°,∴∠CDM=∠BCE.在△DMC和△CBE中，∠CDM=∠BCE，∠DMC=∠CBE=90°，DC=CE，∴△DＭC≌△CBE，那么DＭ=BC.……5分∴AB=BC.…………6分〔2〕△BAF為等邊三角形.理由：∵∠FBC=30o，∴∠ABF=60o.∵∠FBC=30o，∠DCB=75o，∴∠BFC=75o，故BC=BF.∵AB=BC，故AB=BF.………8分而∠ABF=60o，∴AB=BF=FA.∴△BAF為等邊三角形.………………10分【2010年】：針對性訓(xùn)練答案1.(1)同意，連接EF，那么∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF∴EF=DF…………………3分(2)由(1)知，GF=DF。設(shè)DF=x,BC=y，那么有GF=x,AD=y.∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x.∴BF=BG+GF=3x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=(3x)2∴y=2?！唷?分(3)由(1)知，GF=DF.設(shè)DF=x，BC=y，那么有GF=x，AD=y∵DC=n·DF，∴DC=AB=BG=nx∴CF=(n-1)x，BF=BG+GF=(n+1)x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2∴y=2.∴……10分2.〔1〕AB=3EH；CG=2EH；．………….〔3分〕〔2〕．………......………〔4分〕作EH∥AB交BG于點H，那么△EFH∽△AFB．∵AB=CD，∴CD=mEH．………………...〔5分〕∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．〔3〕ab．…………………..〔10分〕【提示】過點E作EH∥A