第第頁2024年全國一卷新高考題型細(xì)分2-6-1——平面向量3試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！镀矫嫦蛄俊分饕诸愑校壕€性運(yùn)算，數(shù)量積，數(shù)量積——最值范圍分析，夾角，共線，垂直，求模，求?！钪捣秶治?，投影向量，分解代換，最值范圍分析，拓展，綜合等，大概162道題。最值范圍分析：（2024年閩J10泉州三測）5.已知平行四邊形ABCD中，，，，若以C為圓心的圓與對(duì)角線BD相切，P是圓C上的一點(diǎn)，則的最小值是（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意做出圖形，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果【詳解】如圖所示，過作的平行線交圓于點(diǎn)，過作，垂足為，在平行四邊形中，，，，可得，，則由余弦定理可得，由，可得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意做出圖形，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果【詳解】如圖所示，過作的平行線交圓于點(diǎn)，過作，垂足為，在平行四邊形中，，，，可得，，則由余弦定理可得，由，可得，則四邊形為正方形，則，因?yàn)?，則的最小值為，即的最小值為，故C正確。故選：C.（2024年魯J30泰安二模）14．已知在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，則的最大值為14．3【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值，由，求出，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線為,軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)14．3【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值，由，求出，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線為,軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，故的最大值為，，，，，，，，，故的最大值為3，故答案為：，3（2024年粵J25深圳一調(diào)）13.設(shè)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則的最大值為【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和模的概念可得，由題意和相等向量可得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和模的概念可得，由題意和相等向量可得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，整理，得，又，代入，有，所以，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，得，所以.即的最大值為.故答案為：（2024年湘J03長沙一中）6.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則最大值為（【答案】B【解析】【分析】由已知條件可得，動(dòng)點(diǎn)軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可得三點(diǎn)共線，當(dāng)與圓相切時(shí)，為銳角且最大，最大，求出，由，求值即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，所以，整理可得，【答案】B【解析】【分析】由已知條件可得，動(dòng)點(diǎn)軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可得三點(diǎn)共線，當(dāng)與圓相切時(shí)，為銳角且最大，最大，求出，由，求值即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，所以，整理可得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，，故三點(diǎn)共線，如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，為銳角且最大，最大，即，由，此時(shí)，則.故選：B（多選，2024年魯J32濰坊二模）11．已知向量，，為平面向量，，，，，則（

11．BCD【分析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)可得，從而可得的范圍；對(duì)B，化簡，根據(jù)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離求解最大值即可；對(duì)C，化簡，再結(jié)合滿足圓的方程求范圍即可；對(duì)D，根據(jù)滿足圓的方程進(jìn)行三角換元求解最值即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)有，即，為圓心為，半徑為的圓，又的幾何意義為原點(diǎn)到圓上的距離，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，則轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到的距離最大值，為，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)?，故，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，故，又因?yàn)?，?1．BCD【分析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)可得，從而可得的范圍；對(duì)B，化簡，根據(jù)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離求解最大值即可；對(duì)C，化簡，再結(jié)合滿足圓的方程求范圍即可；對(duì)D，根據(jù)滿足圓的方程進(jìn)行三角換元求解最值即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)有，即，為圓心為，半徑為的圓，又的幾何意義為原點(diǎn)到圓上的距離，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，則轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到的距離最大值，為，故B正確；對(duì)C，，因?yàn)?，故，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，故，又因?yàn)?，故，，故?dāng)時(shí)，取最小值取最小值，故D正確.故選：BCD（2024年浙J09溫州中學(xué)一模）7.在直角梯形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在以A為圓心，為半徑的圓弧上變動(dòng)（如圖所示），若，其中，則的取值范圍是（【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再由得到，，從而得到，由此可求得的取值范圍.【詳解】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)，如圖所示：.則，，，，，，則，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再由得到，，從而得到，由此可求得的取值范圍.【詳解】結(jié)合題意建立直角坐標(biāo)，如圖所示：.則，，，，，，則，，，，∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故，即.故選：A.（2024年鄂J25武漢洪山二模）6．如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的最大值為（6．B【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由意可知：，據(jù)此可得：，則：，目標(biāo)函數(shù)：，其中為直線系的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題同時(shí)考查平面向量基本定理和線性規(guī)劃中的最值問題.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，值最?。划?dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，6．B【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由意可知：，據(jù)此可得：，則：，目標(biāo)函數(shù)：，其中為直線系的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題同時(shí)考查平面向量基本定理和線性規(guī)劃中的最值問題.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，值最??；當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最小，在軸上截距最小時(shí)，值最大.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．（2024年粵J132華師附五月適）8．已知是邊長為的正三角形，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

8．C【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運(yùn)算得到點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離最小值為圓心到定點(diǎn)減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.【詳解】法一：設(shè)的重心為，則，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又，的最小值是.法二：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即8．C【分析】可由重心的性質(zhì)結(jié)合向量運(yùn)算得到點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離最小值為圓心到定點(diǎn)減半徑得到；亦可建立適當(dāng)平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合圓的性質(zhì)得解.【詳解】法一：設(shè)的重心為，則，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，又，的最小值是.法二：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，即，化簡得，點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)圓心為，，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)過圓心時(shí)最小，又，故得最小值為.故選：C.（2024年鄂J12三校二模）13.已知等邊的外接圓的面積為，動(dòng)點(diǎn)在圓上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】【分析】根據(jù)正三角形的幾何性質(zhì)可得外接圓半徑，再由正弦定理得邊長，取線段的中點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性可得，且再由三角形三邊關(guān)系列不等式得結(jié)論.【詳解】【答案】【解析】【分析】根據(jù)正三角形的幾何性質(zhì)可得外接圓半徑，再由正弦定理得邊長，取線段的中點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算性可得，且再由三角形三邊關(guān)系列不等式得結(jié)論.【詳解】依題意，設(shè)的外接圓的半徑為，則，故，在等邊中由正弦定理得，則；取線段的中點(diǎn)，連接，則，所以；取線段的中點(diǎn)，連接，則在線段上，且，所以，則又，故，則．故答案為：.（2024年粵J126廣東三模）14．已知正方形的邊長為，兩個(gè)點(diǎn)，（兩點(diǎn)不重合）都在直線的同側(cè)（但，與在直線的異側(cè)），，關(guān)于直線對(duì)稱，若，則面積的取值范圍是14．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由求出點(diǎn)軌跡，由軌跡特征求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可求面積的取值范圍.【詳解】以為軸，為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，所以14．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由求出點(diǎn)軌跡，由軌跡特征求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可求面積的取值范圍.【詳解】以為軸，為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，所以，，因?yàn)椋裕次挥陔p曲線的右支上，漸近線方程為或，直線與直線：的距離為，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是，又，所以面積的取值范圍是.因?yàn)椴恢睾希什恢睾希拭娣e不為，

故答案為：.（2024年魯J38濟(jì)寧三模）14．已知，則的最小值為14．【分析】根據(jù)平面向量的模求出數(shù)量積，利用向量的幾何意義和運(yùn)算律計(jì)算可得，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，作出圖形，確定的最小值，結(jié)合圖形即可求解.14．【分析】根據(jù)平面向量的模求出數(shù)量積，利用向量的幾何意義和運(yùn)算律計(jì)算可得，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，作出圖形，確定的最小值，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由，得，即，解得.，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和.如圖，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，結(jié)合圖形，確定（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立）.（2024年粵J104名校一聯(lián)考，末）14.已知為的外接圓圓心，且．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為【答案】【解析】【分析】以中垂線為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出圓心坐標(biāo)及半徑，寫出外接圓的方程，再分別寫出坐標(biāo)，將題干條件帶入，即可得到等式，根據(jù)等式得出的關(guān)系及范圍，再將關(guān)系帶入中，根據(jù)范圍即可求得結(jié)果?！驹斀狻拷猓河深}可得，以的中點(diǎn)【答案】【解析】【分析】以中垂線為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出圓心坐標(biāo)及半徑，寫出外接圓的方程，再分別寫出坐標(biāo)，將題干條件帶入，即可得到等式，根據(jù)等式得出的關(guān)系及范圍，再將關(guān)系帶入中，根據(jù)范圍即可求得結(jié)果?！驹斀狻拷猓河深}可得，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，的中垂線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，所以，記圓心，半徑為，所以圓的方程為，，不妨設(shè)，所以,,,因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以，所以可得，將代入上式可得，①，因?yàn)?，②，將①的平方和②的平方相加可得：，所以，所以，將帶入可得，，即，即，所以，所以的取值范圍為。故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此題考查平面向量和三角形的綜合應(yīng)用，屬于難題，針對(duì)向量的題常用的方法有：（1）取兩個(gè)不共線向量作為一組基底，將其他向量都用這一組基底進(jìn)行表示；（2）如果是比較規(guī)則的圖形，比如有直角，等腰三角形，菱形等，建立合適的直角坐標(biāo)系，將結(jié)果用坐標(biāo)表示；（3）若線段上一點(diǎn),為線段上一點(diǎn)，且，則對(duì)于直線外一點(diǎn)有：。（多選，2024年蘇J37蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào)）11．在長方形ABCD中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，設(shè)，，則（

11．AC【分析】根據(jù)題設(shè)結(jié)合的位置可確定參數(shù)范圍，判斷A；取特殊位置計(jì)算的值，可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合三角恒等變換可判斷C；舉出反例可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意知當(dāng)E和B重合時(shí)，，此時(shí)取最小值，取到最大值1；當(dāng)F和D重合時(shí)，，此時(shí)取最小值，取到最大值1，A正確；對(duì)于B，當(dāng)E和B重合時(shí)，，；當(dāng)分別位于的中點(diǎn)時(shí)，滿足，11．AC【分析】根據(jù)題設(shè)結(jié)合的位置可確定參數(shù)范圍，判斷A；取特殊位置計(jì)算的值，可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合三角恒等變換可判斷C；舉出反例可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意知當(dāng)E和B重合時(shí)，，此時(shí)取最小值，取到最大值1；當(dāng)F和D重合時(shí)，，此時(shí)取最小值，取到最大值1，A正確；對(duì)于B，當(dāng)E和B重合時(shí)，，；當(dāng)分別位于的中點(diǎn)時(shí)，滿足，此時(shí)，，由此可知不為定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由，得，即,即，即，設(shè)，，則，（為輔助角，），當(dāng)時(shí)，取到最小值50，即的最小值50，C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，故D錯(cuò)誤，故選：AC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)是選項(xiàng)C的判斷，解答時(shí)要利用向量的加減以及向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合三角代換以及恒等變換進(jìn)行求解.（2024年冀J46石家莊二檢）6．在平行四邊形中，，則的取值范圍是（

6．A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，?．A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A（2024年冀J37滄州三模）6．對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊中，，以三條邊為直徑向外作三個(gè)半圓，是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（

6．B【分析】過點(diǎn)作，設(shè)，，得到，再由，求得，結(jié)合圓的性質(zhì)，當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，分別求得的長，即可求解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則，可得.設(shè)，，則，6．B【分析】過點(diǎn)作，設(shè)，，得到，再由，求得，結(jié)合圓的性質(zhì)，當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，分別求得的長，即可求解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則，可得.設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，由圖可知，當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，又由，，可得，所以，即最大為，所以的最大值為.故選：B.（2024年浙J07金麗衢二聯(lián)，末）14.設(shè)正n邊形的邊長為1，頂點(diǎn)依次為，若存在點(diǎn)P滿足，且，則n的最大值為【答案】5【解析】【分析】由題意確定P點(diǎn)的軌跡，分類討論，結(jié)合向量的運(yùn)算說明正六邊形中以及時(shí)不符合題意，說明時(shí)滿足題意，即可得答案.【答案】5【解析】【分析】由題意確定P點(diǎn)的軌跡，分類討論，結(jié)合向量的運(yùn)算說明正六邊形中以及時(shí)不符合題意，說明時(shí)滿足題意，即可得答案.【詳解】由題意知點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，，當(dāng)共線且方向時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)，則，則，故時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，如圖，，當(dāng)共線且反向時(shí)，取最小值，此時(shí)共線，，，則，則當(dāng)共線且同向時(shí)，必有，故時(shí)，存在點(diǎn)P滿足，且；當(dāng)時(shí)，如圖，正七邊形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的高h(yuǎn)必大于正六邊形對(duì)邊之間的高，依此類推，故此時(shí)不存在點(diǎn)P滿足，且；故n的最小值為5，故答案為：5【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的運(yùn)算以及向量的模的最值問題，綜合性較強(qiáng)，難度加大，難點(diǎn)在于要分類討論正n邊形的情況，結(jié)合向量的加減運(yùn)算，確定模的最值情況.拓展，綜合：（2024年粵J124廣州天河三模）6．設(shè)向量，，當(dāng)，且時(shí)，則記作；當(dāng)，且時(shí)，則記作，有下面四個(gè)結(jié)論：

①若，，則；

②若且，則；

③若，則對(duì)于任意向量，都有；

④若，則對(duì)于任意向量，都有；

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（6．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析①③，舉反例判斷②④.【詳解】對(duì)于①：若，，則，所以，故①正確；對(duì)于②：取，滿足，則，滿足，但，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，則，且，設(shè)，則，可知，所以，故③正確；對(duì)于④：取，可知，但，即，故④錯(cuò)誤；故選：C.

）

A6．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析①③，舉反例判斷②④.【詳解】對(duì)于①：若，，則，所以，故①正確；對(duì)于②：取，滿足，則，滿足，但，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：若，則，且，設(shè)，則，可知，所以，故③正確；對(duì)于④：取，可知，但，即，故④錯(cuò)誤；故選：C.（2024年湘J34長郡二適）5.如圖1，兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)翻折，再展開，把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折，把長方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2，是一個(gè)紙風(fēng)車示意圖，則（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，易于判斷A,B兩項(xiàng)；對(duì)于C項(xiàng)，理解折紙過程知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，易得結(jié)論；對(duì)于D項(xiàng)，合并其中兩個(gè)向量后，只需判斷余下的兩向量能否共線即可.【詳解】不妨設(shè)，則，對(duì)于A項(xiàng)，顯然【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，易于判斷A,B兩項(xiàng)；對(duì)于C項(xiàng)，理解折紙過程知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，易得結(jié)論；對(duì)于D項(xiàng)，合并其中兩個(gè)向量后，只需判斷余下的兩向量能否共線即可.【詳解】不妨設(shè)，則，對(duì)于A項(xiàng)，顯然與方向不一致，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由圖知是鈍角，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則易得：,即得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由，而與顯然不共線，故．即項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．（2024年浙J23適應(yīng)）4.設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)乘向量運(yùn)算的定義判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與方向相同，因此A不正確；對(duì)于B，時(shí)，，因此B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以與同向，C正確；對(duì)于D，是實(shí)數(shù)，是向量，不可能相等．故選：C．）

A.的方向【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)乘向量運(yùn)算的定義判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與方向相同，因此A不正確；對(duì)于B，時(shí)，，因此B不正確；對(duì)于C，因?yàn)椋耘c同向，C正確；對(duì)于D，是實(shí)數(shù)，是向量，不可能相等．故選：C．（多選，2024年粵J29珠海一中）9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則（【答案】BD【分析】求出即可判斷A選項(xiàng)，設(shè)與的夾角為，求出即可判斷B選項(xiàng)，設(shè)與同向的單位向量為，求出，根據(jù)在方向上的投影向量的坐標(biāo)為即可判斷C選項(xiàng)，設(shè)與垂直的單位向量為，解即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故B選項(xiàng)正確；設(shè)與同向的單位向量為，【答案】BD【分析】求出即可判斷A選項(xiàng)，設(shè)與的夾角為，求出即可判斷B選項(xiàng)，設(shè)與同向的單位向量為，求出，根據(jù)在方向上的投影向量的坐標(biāo)為即可判斷C選項(xiàng)，設(shè)與垂直的單位向量為，解即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故B選項(xiàng)正確；設(shè)與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或.故D選項(xiàng)正確.故選：BD.（多選，2024年蘇J03南通聯(lián)考）9.已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（【答案】AB【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)可判斷A；根據(jù)在方向上的投影向量為可判斷B；根據(jù)可判斷C；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷D.【詳解】因?yàn)椋际菃挝幌蛄?，所以，所以，即，故A正確；在方向上的投影向量為，故B正確；【答案】AB【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)可判斷A；根據(jù)在方向上的投影向量為可判斷B；根據(jù)可判斷C；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷D.【詳解】因?yàn)?，都是單位向量，所以，所以，即，故A正確；在方向上的投影向量為，故B正確；若，則，即，即，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；若，則，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：AB（多選，2024年粵J112廣州綜合）9.已知向量，不共線，向量平分與的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的幾何意義可得，再借助數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】作向量，在中，，，由向量平分與的夾角，得是菱形，即，對(duì)于A，與不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，B【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的幾何意義可得，再借助數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】作向量，在中，，，由向量平分與的夾角，得是菱形，即，對(duì)于A，與不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，在上的投影向量，在上的投影向量，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，不一定為0，則與不一定相等，D錯(cuò)誤.故選：BC（多選，2024年鄂J06武漢二調(diào)）9.已知向量，，則（【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，有，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)，得，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)向量減法三角形法則有，分別求出，，有，反向時(shí)取得最大值，根據(jù)向量的幾何意義判斷C選項(xiàng)；根據(jù)，得，又，可計(jì)算，從而判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則，解得，A【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，有，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)，得，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)向量減法三角形法則有，分別求出，，有，反向時(shí)取得最大值，根據(jù)向量的幾何意義判斷C選項(xiàng)；根據(jù)，得，又，可計(jì)算，從而判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則，解得，A正確；若，則，解得，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，而，?dāng)且僅當(dāng)，反向時(shí)等號(hào)成立，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的終點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，向量終點(diǎn)在第二象限，當(dāng)，反向，則向量的終點(diǎn)應(yīng)在第四象限，此時(shí)，，所以C正確；若，則，即，所以，，所以，D正確.故選：ACD（2024年粵J100佛山禪城二調(diào)）3.已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，則（【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線和向量數(shù)量積的定義，向量垂直，向量的模以及向量夾角公式判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：若，則，即，與與為兩個(gè)不共線的單位向量矛盾，故選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，則，，所以，故選項(xiàng)B【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線和向量數(shù)量積的定義，向量垂直，向量的模以及向量夾角公式判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：若，則，即，與與為兩個(gè)不共線的單位向量矛盾，故選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，則，，所以，故選項(xiàng)B說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若，則，所以，，即，所以，又，所以，故選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：因?yàn)?，，所以，化簡得，設(shè)與的夾角為，則，，所以，所以，即，所以，故選項(xiàng)D說法正確；故選：D（多選，2024年湘J45長沙一中一模）10．梯形中，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則（

10．AC【分析】由平面向量的線性運(yùn)算即可判斷A，由線段的比值結(jié)合三角形的面積公式即可判斷B，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可判斷C，由平面向量三點(diǎn)共線定理結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可判斷D【詳解】由幾何圖形關(guān)系可得，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以在上的投影向量為為定值，故C正確；因?yàn)?，且三點(diǎn)共線，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)10．AC【分析】由平面向量的線性運(yùn)算即可判斷A，由線段的比值結(jié)合三角形的面積公式即可判斷B，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可判斷C，由平面向量三點(diǎn)共線定理結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可判斷D【詳解】由幾何圖形關(guān)系可得，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以在上的投影向量為為定值，故C正確；因?yàn)椋胰c(diǎn)共線，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：AC．（多選，2024年鄂J10二次T8聯(lián)考）10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，.若點(diǎn)滿足，，則下列判斷錯(cuò)誤的是（【答案】ACD【解析】【分析】由已知可知點(diǎn)在劣弧上或優(yōu)弧上，即可判斷；由三角形的面積公式可判斷；取，時(shí)，可判斷；點(diǎn)在劣弧上時(shí)，為鈍角，點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，為銳角，即可判斷.【詳解】若，，則點(diǎn)在劣弧上，或者在優(yōu)弧上，所以或者，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋收_；取，，則，故【答案】ACD【解析】【分析】由已知可知點(diǎn)在劣弧上或優(yōu)弧上，即可判斷；由三角形的面積公式可判斷；取，時(shí)，可判斷；點(diǎn)在劣弧上時(shí)，為鈍角，點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，為銳角，即可判斷.【詳解】若，，則點(diǎn)在劣弧上，或者在優(yōu)弧上，所以或者，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋收_；取，，則，故錯(cuò)誤；點(diǎn)在劣弧上時(shí)，為鈍角，，點(diǎn)在優(yōu)弧上