期末模擬卷-2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的虛部是()A． B． C． D．2．已知向量，若，則()A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則（）A． B． C． D．4．已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則D．若，則在上的投影向量為5．某企業(yè)職工有高級(jí)職稱的共有15人，現(xiàn)按職稱用分層抽樣的方法抽取30人，有高級(jí)職稱的3人，則該企業(yè)職工人數(shù)為（）A．150 B．130 C．120 D．1006．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，PA=4，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則異面直線BE與PA所成角的正切值為（）A． B． C．1 D．7．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則周長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．閩西革命烈士紀(jì)念碑，坐落在福建省龍巖市城西虎嶺山閩西革命烈士陵園內(nèi)，1991年被列為第三批省級(jí)文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集棱臺(tái)，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.某同學(xué)準(zhǔn)備在陵園廣場(chǎng)上對(duì)紀(jì)念碑的高度進(jìn)行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖（如圖），紀(jì)念碑的最頂端記為點(diǎn)，紀(jì)念碑的最底端記為點(diǎn)（在的正下方），在廣場(chǎng)內(nèi)（與在同一水平面內(nèi)）選取，兩點(diǎn)，測(cè)得的長(zhǎng)為15米，，，，則根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出紀(jì)念碑高度為（）A．14米 B．15米 C．16米 D．17米二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的有（）A．B．C．D．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱10．在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則（）A． B．的取值范圍是C． D．的取值范圍是11．如圖，一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，8，任意拋擲一次該正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，若事件，事件，事件，則（）A．事件A，B相互獨(dú)立 B．事件A，C相互獨(dú)立C．事件B，C相互獨(dú)立 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知滿足在方向上的數(shù)量投影為-2，則的最小值為.13．已知正三棱柱的高是底面邊長(zhǎng)的2倍，其外接球半徑為，點(diǎn)與分別是側(cè)棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.14．如圖，在直角梯形中，，將沿翻折成，使二面角為，則三棱錐外接球的表面積為.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位.（1）求；（2）若是關(guān)于的方程一個(gè)根，求p，q的值.16．已知向量，滿足，且，．（1）求與的夾角；（2）求17．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且．（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)的面積．18．某大型企業(yè)為員工謀福利，與某手機(jī)通訊商合作，為員工辦理流量套餐.為了解該企業(yè)員工手機(jī)流量使用情況，通過抽樣，得到100名員工近一周每人手機(jī)日平均使用流量（單位：M）的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：若將每位員工的手機(jī)日平均使用流量分別視為其手機(jī)日使用流量，回答以下問題.（1）求這100名員工近一周每人手機(jī)日使用流量的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）在辦理流量套餐后，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男員工20名，其手機(jī)日使用流量的平均數(shù)為800M，方差為10000；抽取了女員工40名，其手機(jī)日使用流量的平均數(shù)為1100M，方差為40000.（i）已知總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為.證明：.（ii）用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該大型企業(yè)全體員工手機(jī)日使用流量的平均數(shù)和方差.19．如圖所示，平行四邊形中，，，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，將沿著直線翻折為，連接，得到四棱錐.在翻折過程中，（1）求四棱錐體積的最大值；（2）若棱的中點(diǎn)為F，求的長(zhǎng)；（3）若二面角的平面角為，求與平面所成角的正弦值.

答案解析部分1．D2．A3．D4．D5．A6．D7．B8．B9．A,B10．A,B,D11．B,C,D12．13．14．15．（1）解：.（2）解：，即，，解得，.16．（1）解：已知向量，滿足，則，又，，則，即，則，又，則，即與的夾角為；（2）解：，即．17．（1）解：因?yàn)?，即，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）解：由余弦定理，即，所以，所以，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即的周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)18．（1）解：估計(jì)這100名員工近一周每人手機(jī)日使用流量的眾數(shù)450由頻率分布直方圖可知流量少于300的所占比例為，流量少于400的所占比例為，所以抽取的100名員工近一周每人手機(jī)日使用流量的中位數(shù)在內(nèi)，且中位數(shù)為.（2）（i）證明：根據(jù)方差的定義，總樣本的方差為由，可得同理可得因此（ii）解：估計(jì)該大型企業(yè)全體員工手機(jī)日使用流量的平均數(shù)為由（i）知，估計(jì)該大型企業(yè)全體員工手機(jī)日使用流量的方差為19．（1）取DE的中點(diǎn)O，連接，是等邊三角形，，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐體積取得最大值，此時(shí)平面，底面的面積為，則四棱錐體積的最大值為（2）方法一：取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，；四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，，，，，四邊形為平行四邊形，，由（1）知，為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，所以，所以.方法二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，所以.（3）取中點(diǎn)，連接，，連接，，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，，則翻折后，則即為二面角的平面角，，作，垂足為，連接，，，，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，又平面，；為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，，又，，，；方法一：