九年級(jí)上冊(cè)

數(shù)學(xué)華東師大版期末素養(yǎng)綜合測(cè)試卷(一)(時(shí)間：120分鐘

滿分：120分)一、選擇題(共10小題,每小題3分,計(jì)30分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的)1.(2024湖南常德澧縣期末,3,★☆☆)要使

有意義,則x的取值范圍是

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121001(

)A.x≥2B.x<2C.x≠-2D.x>2D解析D由題意得x-2>0,解得x>2.2.(2024安徽亳州利辛期末,2,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,2cosA=1,則∠B的

度數(shù)為

(

)A.30°B.45°C.60°D.90°A解析A∵2cosA=1,∴cosA=

,∴∠A=60°,∵∠C=90°,∴∠B=90°-60°=30°.3.(2023湖南永州中考,7,★☆☆)某市2020年人均可支配收入為2.36萬(wàn)元,2022年

達(dá)到2.7萬(wàn)元,若2020年至2022年期間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為x,則下

面所列方程正確的是

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9122001(

)A.2.7(1+x)2=2.36B.2.36(1+x)2=2.7C.2.7(1-x)2=2.36D.2.36(1-x)2=2.7B解析B依題意可知2022年人均可支配收入=2020年人均可支配收入×(1+每

年人均可支配收入的增長(zhǎng)率)2,故可得關(guān)于x的一元二次方程為2.36(1+x)2=2.7.4.(2024湖北武漢洪山南片區(qū)教聯(lián)體月考,7,★☆☆)如圖,將兩個(gè)三角板(一個(gè)含45°角,一個(gè)含30°角)的斜邊AB重合,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),連結(jié)CE,DE,已知CE=2,則AD

的長(zhǎng)為

(

)

A.3B.2.5C.2D.1.5C解析C∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∠ACB=90°,CE=2,∴AE=CE=2.∵∠ADB=90°,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∴ED=AE=2.∵∠EAD=60°,∴△AED是等邊三角形.∴AD=AE=2.5.(2024重慶北碚期末,6,★☆☆)估計(jì)

×

的值應(yīng)在

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9121003(

)A.6和7之間B.7和8之間C.8和9之間D.9和10之間C解析C

×

=6+

,∵2<

<3,∴8<6+

<9.6.(2023內(nèi)蒙古赤峰中考,11,★☆☆)某校在勞動(dòng)課上,設(shè)置了植樹(shù)、種花、除草

三個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目.九年級(jí)一班和九年級(jí)二班都通過(guò)抽簽的方式從這三個(gè)項(xiàng)目中隨

機(jī)抽取一個(gè)項(xiàng)目,則這兩個(gè)班級(jí)恰好都抽到種花的概率是

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9125003(

)A.

B.

C.

D.

D解析D把植樹(shù)、種花、除草三個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目分別記為A、B、C,依題意畫樹(shù)

狀圖如下,

由圖可知共有9種等可能的結(jié)果,其中九年級(jí)一班和九年級(jí)二班恰好都抽到種花

的結(jié)果有1種,故這兩個(gè)班級(jí)恰好都抽到種花的概率是

.7.(2024安徽阜陽(yáng)潁州期末,8,★☆☆)如圖,已知∠ABC=60°,點(diǎn)P在邊AB上,BP=10,點(diǎn)E,F在邊BC上,PE=PF.若BE=2,則EF的長(zhǎng)為

(

)

A.6B.5C.4D.3A解析A如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥EF于點(diǎn)H,∵PE=PF,∴EH=FH,∵∠ABC=60°,∴∠BPH=30°,∵BP=10,∴BH=

BP=5,∵BE=2,∴EH=BH-BE=3,∴EF=2EH=6.8.(2024湖北武漢青山武鋼實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬,7,★☆☆)如圖所示的是某廠家新開(kāi)發(fā)

的一款摩托車,它的大燈射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°、10°,該大燈照亮地面的寬度BC=1.4米,則該大燈距地面的高度約為

參考數(shù)據(jù):

sin8°≈

,tan8°≈

,sin10°≈

,tan10°≈

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9124006(

)

A.0.5米B.1米C.1.5米D.2米B解析B如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥MN,垂足為D,設(shè)DC=x米,∵BC=1.4米,∴DB=DC+BC=(x+1.4)米,在Rt△ADC中,∠ACD=10°,∴AD=CD·tan10°≈

x(米),在Rt△ADB中,∠ABD=8°,∴AD=BD·tan8°≈

(x+1.4)米,∴

x=

(x+1.4),解得x=5.6,∴AD=

×5.6=1(米),∴該大燈距地面的高度約為1米.9.(2024山東濟(jì)寧鄒城十中月考改編,10,★★☆)已知一元二次方程ax2+bx+c=0,

下列說(shuō)法:①若a+b+c=0,則b2-4ac≥0;②若方程兩根分別為-1和2,則2a+c=0;③若b

=2a+3c,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中正確的有

(

)A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)D解析D①若a+b+c=0,則方程ax2+bx+c=0有一根為1,∵a≠0,∴b2-4ac≥0,正確;②由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1·x2=

=-2,整理得2a+c=0,正確;③由b=2a+3c,得b2-4ac=(2a+3c)2-4ac=4(a+c)2+5c2,∵a≠0,∴4(a+c)2+5c2>0,故方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,正確.綜上所述,正確的有①②③,共3

個(gè),故選D.10.(2023江蘇徐州中考,8,★★☆)如圖,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D為AB的中點(diǎn).若點(diǎn)E在AC邊上,且

=

,則AE的長(zhǎng)為

(

)

A.1B.2C.1或

D.1或2D解析D由題意可知AC=2BC=4,AB=2

,∠C=60°,∵D為AB的中點(diǎn),∴AD=

,∵

=

,∴DE=1,分情況求解如下:(1)如圖1,當(dāng)∠ADE=90°時(shí),∵∠ADE=∠ABC,

=

,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

,∴AE=2.(2)如圖2,當(dāng)∠ADE≠90°時(shí),取AC的中點(diǎn)H,連結(jié)DH,∵D為AB的中點(diǎn),∴DH∥BC,DH=

BC=1,∴∠AHD=∠C=60°,DH=DE,∴∠DEH=60°,∴∠ADE=30°=∠A,∴AE=DE=1.綜上所述,AE的長(zhǎng)為1或2,故選D.

二、填空題(共10小題,每小題3分,計(jì)30分)11.(2024湖南衡陽(yáng)城區(qū)期末,13,★☆☆)最簡(jiǎn)二次根式2

與3

是同類二次根式,則x的值是

.2解析∵最簡(jiǎn)二次根式2

與3

是同類二次根式,∴3x-1=x+3,解得x=2.12.(2024河南周口沈丘期末,20,★☆☆)若∠A為銳角,化簡(jiǎn)

=

.1-sinA解析原式=

=|sinA-1|,∵∠A為銳角,∴0<sinA<1,∴原式=1-sinA.13.(2024四川成都錦江嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末,11,★☆☆)已知

+2是方程x2-4x+c=0的一根,則c=

.-1解析將x=

+2代入方程得(

+2)2-4×(

+2)+c=0,解得c=-1.14.(2023江蘇鹽城大豐期中,10,★☆☆)如圖所示的是三個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤

(轉(zhuǎn)盤均被等分),轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),根據(jù)“指針落在陰影區(qū)域內(nèi)”的

可能性的大小,將轉(zhuǎn)盤的序號(hào)按事件發(fā)生的可能性從大到小排列為

.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9125003

②①③解析轉(zhuǎn)盤①中,指針落在陰影區(qū)域內(nèi)的可能性為

;轉(zhuǎn)盤②中,指針落在陰影區(qū)域內(nèi)的可能性為

=

;轉(zhuǎn)盤③中,指針落在陰影區(qū)域內(nèi)的可能性為

=

.故按事件發(fā)生的可能性從大到小排列為②①③.15.(★☆☆)如圖所示的是臺(tái)州市地圖的一部分,分別以正東、正北方向?yàn)閤軸、

y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度表示1km,甲、乙兩人對(duì)

著地圖描述路橋區(qū)A處的位置如下:

則椒江區(qū)B處的坐標(biāo)是

.(10,?)解析由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,連結(jié)AB,作BC⊥x軸于C點(diǎn),以點(diǎn)

B為頂點(diǎn),在BC的右側(cè),作∠DBC=30°,且BD邊與x軸交于點(diǎn)D.由題意得OA=2km,AB=16km,∠ABC=30°,∴∠BAC=60°,∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°,∴∠ABD=∠BAC=60°,∴△ABD為等邊三角形,∴AD=BD=AB=16km,∵BC⊥AD,∴AC=

AD=8km,∴BC=

=

km.∵OC=OA+AC=10km,∴B(10,

).16.(2023江蘇無(wú)錫中考,16,★☆☆)《九章算術(shù)》中提出了

如下問(wèn)題:今有戶不知高廣,竿不知長(zhǎng)短.橫之不出四尺,從之不出二尺,邪之適出.

問(wèn)戶高、廣、邪各幾何?這段話的意思是:今有門不知其高寬,有竿不知其長(zhǎng)短.

橫放,竿比門寬長(zhǎng)出4尺,豎放,竿比門高長(zhǎng)出2尺,斜放,竿與門對(duì)角線恰好相等.問(wèn)

門高、寬、對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少?則該問(wèn)題中的門高是

尺.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M91220058解析設(shè)竿長(zhǎng)為x尺,則門寬為(x-4)尺,門高為(x-2)尺,門對(duì)角線長(zhǎng)為x尺,根據(jù)勾

股定理可得x2=(x-4)2+(x-2)2,整理得x2-12x+20=0,解得x=2(舍去)或x=10,則門高是

10-2=8(尺).情境題數(shù)學(xué)文化17.(2024河南洛陽(yáng)孟津期中,14,★☆☆)如圖,已知點(diǎn)D為△ABC中AC邊的中點(diǎn),

AE∥BC,EF交AB于點(diǎn)G,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若

=3,BC=8,則AE的長(zhǎng)為

.

4解析∵AE∥BC,∴△AEG∽△BFG,△AED∽△CFD,∵

=3,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),∴

=

=

,

=

=1,∴AE=CF,∵BC=8,∴

=

,解得AE=4.18.(2024山東濟(jì)南歷下期末,13,★☆☆)有6個(gè)大小相同的小正方形,恰好按如圖

所示方式放置在△ABC中,則tanB的值為

.

解析如圖,依題意得FH∥BC,∴∠B=∠EFH,設(shè)EH=1,則FH=2,∴tanB=tan∠EFH=

=

.

19.(2024吉林長(zhǎng)春寬城期末,16,★☆☆)如圖,已知在四邊形ABCD中,AC⊥BD,

AC=10,BD=12,點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn),連結(jié)EF,則EF的長(zhǎng)是

.

解析如圖,取AB的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG,則EG∥BD,且EG=

BD=

×12=6,FG∥AC,且FG=

AC=

×10=5.∵AC⊥BD,∴EG⊥FG,∴EF=

=

=

.

方法解讀

在三角形中,若給出一邊的中點(diǎn),常作出三角形的中位線.具體方法有:(1)先

取另一邊的中點(diǎn),然后連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn);(2)過(guò)已知邊的中點(diǎn)作另一邊的平行線.20.(2024湖北黃岡浠水六神中學(xué)一模,15,★★☆)如圖,

在平面直角坐標(biāo)系中,正方形A1BB1C1,正方形A2B1B2C2,正方形A3B2B3C3關(guān)于原點(diǎn)

O位似,其中點(diǎn)B,B1,B2,B3都在x軸上,點(diǎn)C1在A2B1上,點(diǎn)C2在A3B2上.依此方式,繼續(xù)

作正方形A4B3B4C4,若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,1),則點(diǎn)C4的坐標(biāo)為

.

(16,8)新考向規(guī)律探究度題解析∵點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,1),∴OB=1,A1B=1,∵四邊形A1BB1C1是正方形,∴OB1=

2,B1C1=1,∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(2,1).∵正方形A1BB1C1與正方形A2B1B2C2關(guān)于原點(diǎn)O位

似,∴

=

=

,∴正方形A1BB1C1與正方形A2B1B2C2的相似比為1∶2,同理可得正方形A1BB1C1與正方形A3B2B3C3的相似比為1∶4,∴正方形A1BB1C1與正方

形A4B3B4C4的相似比為1∶8,∴點(diǎn)C4的坐標(biāo)為(2×8,1×8),即C4(16,8).三、解答題(共8小題,計(jì)60分)

21.(2024海南?？谄谀?17,★☆☆)(6分)計(jì)算:(1)

×

.(2)

-3

.(3)(sin30°+cos30°)2-tan60°.解析

(1)原式=

=

=

.

(2分)(2)原式=

×

-3

=2

-3

=-

.

(4分)(3)原式=

-

(5分)=

-

=

-

=

=

.

(6分)22.(2023廣東廣州越秀期末,22,★☆☆)(6分)隨著“共享經(jīng)

濟(jì)”的概念迅速普及,共享汽車也進(jìn)入了人們的視野,某共享汽車租賃公司年初

在某地投放了一批共享汽車.據(jù)統(tǒng)計(jì),三月份的全天包車數(shù)為36次,在租金不變的

基礎(chǔ)上,四、五月的全天包車數(shù)持續(xù)走高,五月份的全天包車數(shù)達(dá)到81次.(1)若從三月份到五月份的全天包車數(shù)月平均增長(zhǎng)率不變,求全天包車數(shù)的月平

均增長(zhǎng)率.(2)一段時(shí)間后,當(dāng)全天包車的租金為每輛120元時(shí),每月的全天包車數(shù)為60次,該

公司決定降低租金,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每輛租金每降價(jià)1元,平均每月全天包車數(shù)增加2

次,盡可能地減少租車次數(shù).當(dāng)每輛租金降低多少元時(shí),公司每月獲得的租金總額

為8800元?情境題共享經(jīng)濟(jì)解析

(1)設(shè)全天包車數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意得36(1+x)2=81,

(2分)解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不符合題意,舍去),故全天包車數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為50%.

(3分)(2)當(dāng)每輛租金降價(jià)y元時(shí),全天包車的租金為每輛(120-y)元,每月的全天包車數(shù)

為(60+2y)次,根據(jù)題意得(120-y)(60+2y)=8800,

(5分)整理得y2-90y+800=0,解得y1=10,y2=80,∵要盡可能地減少租車次數(shù),∴y=10,故當(dāng)

每輛租金降價(jià)10元時(shí),公司每月獲得的租金總額為8800元.

(6分)23.(2023河北邯鄲二十三中期末,21,★☆☆)(7分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已

知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△ABC向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1.(2)以點(diǎn)O為位似中心,將△ABC各邊縮小為原來(lái)的

,得到△A2B2C2,請(qǐng)?jiān)趫D中y軸的右側(cè)畫出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.

解析

(1)如圖所示,△A1B1C1即為所作.

(2分)

(2)如圖所示,△A2B2C2即為所作.

(4分)根據(jù)題意得△ABC∽△A2B2C2,∴∠A2C2B2=∠ACB,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,由A(2,2),C(4,-4),B

(4,0),易得D(4,2),∴AD=2,CD=6,

(5分)∴AC=

=

=2

,∴sin∠A2C2B2=sin∠ACD=

=

=

.

(7分)24.(2023四川南充中考,20,★☆☆)(7分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3

m2+m=0.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9122004(1)求證:無(wú)論m為何值,方程總有實(shí)數(shù)根.(2)若x1,x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且

+

=-

,求m的值.解析

(1)證明:∵Δ=\[-(2m-1)\]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1

=(4m-1)2≥0,

(1分)∴無(wú)論m為何值,方程總有實(shí)數(shù)根.

(2分)(2)由題意可知x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m.

(3分)∵

+

=

=

-2=-

,∴

-2=-

,

(5分)整理得5m2-7m+2=0,解得m=1或m=

.

(7分)

25.(2023山東煙臺(tái)中考,18,★☆☆)(8分)“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)

稱“珠峰計(jì)劃”,是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問(wèn)”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃,旨

在培養(yǎng)中國(guó)自己的杰出人才.已知A,B,C,D,E五所大學(xué)設(shè)有數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培

養(yǎng)基地,并開(kāi)設(shè)了暑期夏令營(yíng)活動(dòng),參加活動(dòng)的每名中學(xué)生只能選擇其中一所大

學(xué).某市為了解中學(xué)生的參加情況,隨機(jī)抽取了部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將統(tǒng)計(jì)數(shù)

據(jù)整理后,繪制了不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9125004(1)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,D所在扇形的圓心角度數(shù)為

;若該市有1000名中學(xué)

生參加本次活動(dòng),則選擇A大學(xué)的大約有

人.(3)甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃從A,B,C三所大學(xué)中任選一所學(xué)校參加夏令營(yíng)活動(dòng),請(qǐng)

利用畫樹(shù)狀圖或列表的方法求兩人恰好選取同一所大學(xué)的概率.

解析

(1)本次抽取的中學(xué)生共有14÷28%=50(人),其中選擇B大學(xué)的中學(xué)生有50

-10-14-2-8=16(人),補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下:

(3分)(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,D所在扇形的圓心角度數(shù)為360°×

=14.4°.若該市有1000名中學(xué)生參加本次活動(dòng),則選擇A大學(xué)的大約有1000×

=200(人).故答案為14.4°;200.

(5分)(3)依題意畫樹(shù)狀圖如下,

(7分)由圖可知等可能的情況共有9種,其中兩人恰好選取同一所大學(xué)的情況有3種,∴

兩人恰好選取同一所大學(xué)的概率為

=

.

(8分)26.(★★☆)(8分)閱讀理解:“雙劍合璧,天下無(wú)敵”,意思是兩個(gè)人合在一起,取長(zhǎng)補(bǔ)短,威力無(wú)比.在二次根

式中也有這種相輔相成的“式子”,如(2+

)(2-

)=1,2+

與2-

的乘積中不含根號(hào),我們就說(shuō)這兩個(gè)式子互為有理化因式,其中一個(gè)式子是另一個(gè)式子的有

理化因式.于是,分母含根號(hào)的式子可以這樣化簡(jiǎn):

=

=

,

=

=7+4

.像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法,叫做分母有理化.解決問(wèn)題:(1)將

分母有理化得

;將

分母有理化得

.(2)化簡(jiǎn):

+

+

+…+

=

.實(shí)際應(yīng)用:煙臺(tái)山燈塔是煙臺(tái)市的地標(biāo)性建筑,某船在點(diǎn)O處測(cè)得燈塔A在南偏西60°方向

上,如圖,船向西航行20海里到達(dá)B處,在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔A在船的西南方向上,那

么船再向西航行多少海里時(shí)離燈塔最近?(結(jié)果保留根號(hào))

解析解決問(wèn)題:(1)

=

=

.

=

=

=

-1.故答案為

;

-1.

(2分)(2)原式=

-1+

-

+

-

+…+

-

=

-1=10-1=9.故答案為9.

(4分)實(shí)際應(yīng)用:過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB(圖略),垂足為C,當(dāng)船航行到C點(diǎn)時(shí)離燈塔最近,設(shè)BC

=x海里,根據(jù)題意得∠AOB=30°,∠ABC=45°,∴AC=BC=x海里,∴OA=2AC=2x

海里,

(6分)∴OC=

=

x海里,∴x+20=

x,∴x=

=

=10

+10.故船再向西航行(10

+10)海里時(shí)離燈塔最近.

(8分)27.(2024江蘇無(wú)錫梁溪期末,25,★★☆)(8分)如圖,校園內(nèi)有一個(gè)橫截面近似為

Rt△ABC的小土坡,坡度(或坡比)i=1∶2,古樹(shù)DE長(zhǎng)在該土坡上,樹(shù)干與AC垂直,

同學(xué)們選在陽(yáng)光明媚的一天測(cè)量其高度.他們測(cè)得坡底點(diǎn)A與古樹(shù)底端點(diǎn)D的距

離是5m,在坡底點(diǎn)C處沿著射線AC走了6m到達(dá)點(diǎn)F處,此時(shí)發(fā)現(xiàn)古樹(shù)頂端點(diǎn)E的

影子與土坡最高點(diǎn)B的影子恰好在點(diǎn)F處重合,在點(diǎn)F處測(cè)得樹(shù)頂端E的仰角為53°.

參考數(shù)據(jù):sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈2.24

對(duì)應(yīng)目標(biāo)編號(hào)M9124006(1)求土坡的水平距離AC.(2)求樹(shù)高DE(結(jié)果精確到0.1m).解析

(1)∵BC⊥AF,∴∠BCF=90°,∵∠BFC=53°,CF=6m,