第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用基礎(chǔ)檢測卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在曲線的圖象上取一點及鄰近一點，則為（

）A． B．C． D．2．記函數(shù)的導函數(shù)為．若，則（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（

）．A． B． C．1 D．e4．函數(shù)在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．5．2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力.設(shè)某高山滑雪運動員在一次滑雪訓練中滑行的路程（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則當時，該運動員的滑雪速度為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角后得到曲線，若曲線仍是某個函數(shù)的圖象，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．已知是的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（

）A．B．C．D．8．設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．下列結(jié)論中不正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．如圖是導函數(shù)的圖象，則下列說法錯誤的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值11．下列不等關(guān)系中，正確的是（是自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B．C． D．12．已如函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點中心對稱 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在上有且僅有2個極小值點 D．的圖象關(guān)于對稱三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．某物體的運動的位移（單位：米）與時間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系為，則該物體在時刻時的瞬時速度為______（米/秒）．14．若函數(shù)在處取極值，則___________15．設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．16．函數(shù)的最小值為______.四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知函數(shù)且.(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當時，求函數(shù)零點的個數(shù).18．已知函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)求曲線在處的切線方程.19．設(shè)為函數(shù)的導函數(shù)，已知，且的圖像經(jīng)過點．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間．20．（1）已知曲線，點是曲線上一點，求曲線在點處的切線方程.（2）已知拋物線，求過點且與拋物線相切的直線方程.21．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：對任意的，．22．已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用基礎(chǔ)檢測卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在曲線的圖象上取一點及鄰近一點，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率，代入計算．【詳解】∵故選：C．2．記函數(shù)的導函數(shù)為．若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)的運算法則求出，即可得解.【詳解】因為，則.故選：B.3．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（

）．A． B． C．1 D．e【答案】B【分析】求導后，將代入導函數(shù)，求出.【詳解】，將代入得：，解得：.故選：B4．函數(shù)在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)的幾何意義求切線斜率，并確定切點坐標，點斜式寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，則，而，故在處的切線方程為，則.故選：A5．2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力.設(shè)某高山滑雪運動員在一次滑雪訓練中滑行的路程（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則當時，該運動員的滑雪速度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導數(shù)的實際意義，對求導再代入求解即可.【詳解】由題意，，故當時，該運動員的滑雪速度為.故選：B6．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角后得到曲線，若曲線仍是某個函數(shù)的圖象，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)在原點的切線的斜率，即可求出其傾斜角，再結(jié)合函數(shù)圖象及函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】解：因為，所以，則．即函數(shù)在原點的切線的斜率，所以．由圖可知：當函數(shù)圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)的角大于時，旋轉(zhuǎn)所得的圖象與軸就會存在兩個交點，此時曲線不是函數(shù)的圖象，故的最大值是．故選：B．7．已知是的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由導數(shù)的幾何意義可知，原函數(shù)先增長“迅速”，后增長“緩慢”.【詳解】由題中的圖象可以看出，在內(nèi)，，且在內(nèi)，單調(diào)遞增，在內(nèi)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，且其圖象在內(nèi)越來越陡峭，在內(nèi)越來越平緩．故選：D．8．設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可知，在內(nèi)存在解，即可解出．【詳解】由題可知，在內(nèi)存在解，因為，所以在內(nèi)存在解，等價于在內(nèi)存在解，易知函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當且僅當時取得，所以．故選：D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得09．下列結(jié)論中不正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)導數(shù)運算法則逐一驗證即可【詳解】A：，A錯誤B：，B錯誤C：，C正確D：，D錯誤故選：ABD10．如圖是導函數(shù)的圖象，則下列說法錯誤的是（

）A．為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B．為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】BC【分析】根據(jù)導函數(shù)函數(shù)值的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)極值點的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由圖可知，當時，，故單調(diào)遞減；當，，故單調(diào)遞增；當，，故單調(diào)遞減；當，，故單調(diào)遞增，且，，，則該函數(shù)在和處取得極小值；在處取得極大值.故選：BC11．下列不等關(guān)系中，正確的是（是自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用該函數(shù)單調(diào)性可一一判斷四個選項的正誤.【詳解】設(shè)，，，，，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.對于A項，，由在單調(diào)遞減，可得，故A項正確；對于B項，，由在單調(diào)遞減，可得，故B項正確；對于C項，，由在單調(diào)遞減，可得，故C項錯誤；對于D項，，由在單調(diào)遞減，可得，故D項正確.故選:ABD.12．已如函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點中心對稱 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在上有且僅有2個極小值點 D．的圖象關(guān)于對稱【答案】AD【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換得到，代入驗證是否為對稱中心，是否為對稱軸，上是否單調(diào)遞減，判斷出ABD選項；求出，從而根據(jù)極小值點的概念得到在上有且僅有1個極小值點，判斷C選項.【詳解】，當時，，故的圖象關(guān)于點中心對稱，A正確；當，則，則在上不單調(diào)，B錯誤；，，則只有在處取得極小值，故在上有且僅有1個極小值點，C錯誤；當時，，所以的圖象關(guān)于對稱，D正確.故選：AD三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．某物體的運動的位移（單位：米）與時間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系為，則該物體在時刻時的瞬時速度為______（米/秒）．【答案】【分析】利用導數(shù)求瞬時速度.【詳解】由，得，當時，，故答案為：.14．若函數(shù)在處取極值，則___________【答案】3【詳解】試題分析：=．因為f（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．15．設(shè)函數(shù)．若，則a=_________．【答案】1【分析】由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可確定實數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的運算法則，導數(shù)的計算，方程的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.16．函數(shù)的最小值為______.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知函數(shù)且.(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當時，求函數(shù)零點的個數(shù).【答案】(1)有極小值，無極大值(2)零點個數(shù)為1【分析】（1）求出導函數(shù)，求出極值點，判斷導函數(shù)的符號，然后求解函數(shù)的極值；（2）利用函數(shù)的導數(shù)，通過對參數(shù)分類討論分析其單調(diào)性即可知函數(shù)的零點個數(shù).（1）解：由題意得：，令，得或（舍去），當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)有極小值，無極大值.（2）由（1）得.因為，①若，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以有極大值，極小值，又，所以函數(shù)有1個零點.②若，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，此時，所以函數(shù)有1個零點.③若，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以有極大值，顯然極小值，又，所以函數(shù)有1個零點.綜上所述，當時，函數(shù)的零點個數(shù)為1.18．已知函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)求曲線在處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求導數(shù)，根據(jù)可求，進而可得答案；（2）先求導數(shù)得到切線斜率，再求出切點，利用點斜式可求切線方程.（1）因為，且，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）可知，；又，所以曲線在處的切線方程為，即.19．設(shè)為函數(shù)的導函數(shù)，已知，且的圖像經(jīng)過點．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】(1)求導，計算得到切線斜率，點斜式求切線方程.(2)求出函數(shù)解析式，求導函數(shù)，由導函數(shù)的正負解得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1），則，得．由題意，可得曲線在點處的切線方程為，即．（2）由已知得．又由（1）知，所以．故．，由，得，或；由，得．故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為．20．（1）已知曲線，點是曲線上一點，求曲線在點處的切線方程.（2）已知拋物線，求過點且與拋物線相切的直線方程.【答案】（1）；（2）或【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義即得.【詳解】（1）由可得，所以在點處的切線的斜率為，切線方程為，即；（2）設(shè)切線的斜率為，直線與拋物線相切的切點坐標為，則直線方程為，因為，所以，又點在切線上，所以，解得或，則或，所以直線方程為或，即或.21．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：對任意的，．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式等價轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)討論最值即可求解.（1）由題可知函數(shù)的定義域為，，即，(i)若，則在定義域上恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）當時，，要證明，只用證明，令，，令，即，可得方程有唯一解設(shè)為，且，所以，當變化時，與的變化情況如下，單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，因為，因為，所以不取等號，即，即恒成立，所以，恒成立，得證.2