習(xí)題1-1

L設(shè)4=(_OO,_5)55,+8),8=[—10,3),寫(xiě)出AuB,AcB,A\B及小(2\5)的表達(dá)式.

解/。6=(-8,3)u(5,+oo),

"cB=[—[0,—5),

4\5=(-8,-10)u(5,+oo),

心(43)=[一10,-5).

2.設(shè)AB是任意兩個(gè)集合,證明對(duì)偶律:(/2)0=/口慶

證明因?yàn)?/p>

xe(Nc8)'oxwNc8=xW〃或x任8=xe/xeAc<JBC,

所以(Ar>B)c=Ac<jBc.

3.設(shè)映射"uXBuX.證明

(1)38)=/⑷/的；

(2)/(Jn5)q/(J)n/(5).

證明因?yàn)?/p>

ye/(JoS)?3xeJu5,使/(x)=y

0(因?yàn)閤&A或x€B)yw/(Z)或

0"人/)5(8),

所以人人的=/⑷”(8).

(2)因?yàn)?/p>

》42門(mén)8)=>3€/門(mén)民使_/(》)=70(因?yàn)榈秬4且且

其A)MB),

所以汽AcB)或A)MB).

4.設(shè)映射/XfY,若存在一個(gè)映射g：JX,使go/=/x,/*=/「,其中"、"分

別是X、y上的恒等映射，即對(duì)于每一個(gè)xeX,有/g;對(duì)于每一個(gè)ye匕有/i.證

明:/是雙射，且g是/的逆映射:g=fL

證明因?yàn)閷?duì)于任意的ye匕有x=g(y)eX,且_/(x)=/[g(y)]=4-,即丫中任意元素

都是X中某元素的像，所以/為X到丫的滿射.

又因?yàn)閷?duì)于任意的X/X2,必有/(》1)差於2),否則若/(Xl)=/(X2)ng[/(Xl)]=g[/(X2)]n

X1=X2.

因此/■既是單射，又是滿射，即/是雙射.

對(duì)于映射g：yfX,因?yàn)閷?duì)每個(gè)W匕有g(shù)(y)=xeX,且滿足yu)，[g(y)]=/月y,按逆映

射的定義,g是7的逆映射.

5.設(shè)映射/X.y/ux.證明：

(1)「(/⑷a;

(2)當(dāng)/是單射時(shí)，有尸(/(Z))=4

證明(1)因?yàn)閤eAR(x)可守⑷6T任)=產(chǎn)尸(/(/)),

所以尸(/(N)Q4

(2)由⑴知廠伉4))2.

另一方面，對(duì)于任意的xw/夕4))=＞存在使，'(y)=x=y(x)9.因?yàn)閥e/⑷

且/是單射，所以xe4這就證明了/(/(/))3.因此尸(/(/))=4

6.求下列函數(shù)的自然定義域：

(l).=j3x+2;

解由3x+220得X〉等函數(shù)的定義域?yàn)閇告+8).

⑵尸占；

解由1-/刈得用±1.函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-1)5-1,1)51,+8).

(3)y=--Vl-x2；

X

解由杵0且1-逢0得函數(shù)的定義域7)=[-l,0M0,l].

解由4-32＞0得網(wǎng)＜2.函數(shù)的定義域?yàn)?-2,2).

(5)y=sinVx；

解由后0得函數(shù)的定義。4。,+00).

⑹尸an(x+l);

解由X+1H5/=0,±1,±2,…)得函數(shù)的定義域?yàn)閄H版'+^7(左=0,±1,±2,…).

(7)y=arcsin(x-3);

解由|x-3區(qū)1得函數(shù)的定義域仄[2,4].

(8)y=J3-x+arctan—;

x

解由3-X20且xM得函數(shù)的定義域Z)=(-oo,0)。(0,3).

(9)y=ln(x+l);

解由x+1〉0得函數(shù)的定義域Z)=(-l,+oo).

(10)y=ex.

解由xM得函數(shù)的定義域6(-00,0)5。,+8)

7.下列各題中，函數(shù)加)和%)是否相同？為什么？

(l)Ax)=lgx2,g(x)=21gx;

(2)/(x)=x,g(x)=G;

(3)y(X)=Vx4-X3,g(x)=xy/x-l.

(4)/(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解(1)不同.因?yàn)槎x域不同.

(2)不同.因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同,x<0時(shí),g(x)=-x.

(3)相同.因?yàn)槎x域、對(duì)應(yīng)法則均相相同.

(4)不同.因?yàn)槎x域不同.

|sinx||x|<-y

8.設(shè)e(x)=13,求奴3),奴]),夕(_9,4_2),并作出函數(shù)產(chǎn)或x)的圖

0|x|>1644

形.

解。(勺=叵吟|=],*(今Hsi吟|=孚，儀-《)=|sin(一多卜率”(-2)=0.

oo2442442

9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

⑴產(chǎn)產(chǎn)?，(~00,1)；

1-X

(2)y=x+lnx,(0,4-co).

證明(1)對(duì)于任意的X1,X2W(~℃,1),有1-X1>O,l-%2>0.因?yàn)楫?dāng)X1<X2時(shí)，

乂-必=9---'L<0,

J力[_司1—X2(1-^)(1-%2)，

所以函數(shù)了=一二在區(qū)間(7,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.

1-X

(2)對(duì)于任意的Xg€(0,+8),當(dāng)X1<X2時(shí)，有

乂-y2=(X]+lnx|)-(x2+lnx2)=(f-x2)+ln—<0,

x2

所以函數(shù)尸x+lnx在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的.

10.設(shè)./(x)為定義在(-/,/)內(nèi)的奇函數(shù)，若_Ax)在(0,。內(nèi)單調(diào)增加，證明./(X)在(-/,0)

內(nèi)也單調(diào)增加.

證明對(duì)于Vxi,X2C(-/,0)且X1<X2,有一為,一切€(0,/)且-X1>-X2.

因?yàn)殪?在(0,/)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以

/(--^2)</(-Xl),AX2)>AX\),

這就證明了對(duì)于Vxge(-/,0),有兀3<外2),所以Xx)在(-/,0)內(nèi)也單調(diào)增加.

11.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對(duì)稱(chēng)區(qū)間(-/,/)上的，證明：

(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函

數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明(1)設(shè)/x)=/(x)+g(x).如果/(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則

F(-x)=/(-x)+g(-x)Mx)+g(x)=F(x),

所以2x)為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).

如果寅X)和g(x)都是奇函數(shù)，則

2-x)=/(-x)+g(T)=-/(x)-g(x)=-F(x),

所以F(x)為奇函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

⑵設(shè)F(x)=/(x>g(x).如果/(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則

F(-x)=fi-x)-g(-x)=/(x)-g(x)=F(x),

所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果加)和冢工)都是奇函數(shù)，則

網(wǎng)—x)=/(—x>g(—x)=[dx)][—g(x)]=/(x>g(x)=F(x),

所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果/(X)是偶函數(shù)，而g(x)是奇函數(shù)，則

E(-X)=/(T>g(T)4x)[-g(X)]=dx>g(X)=-A(X),

所以F(x)為奇函數(shù),即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函數(shù)又非偶函

數(shù)？

(l)j-x2(l-x2);

(2)j^=3x2-?;

1_2

⑶片Hr；

1+x2

(4)尸G-l)(x+l);

(5)產(chǎn)sinx-cosx+1;

解(1)因?yàn)閄—X)=(—X)2[1—(-X)2]=/(所以/(X)是偶函數(shù).

⑵由X-X)=3(-X)2-(-X)3=3X2+X3可見(jiàn)段)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).

(3)因?yàn)?(-、)=與理=戶|=/(X)，所以於)是偶函數(shù).

l+(-x)1+x

(4)因?yàn)閄-x)=(-x)(-x-1)(-%+1)=-x(x+1)(x-1)=如)，所以人x)是奇函數(shù).

(5)由/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cosx+1可見(jiàn)./(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).

(6)因?yàn)椤?勸=在竽3=二貯=/(對(duì)，所以,危)是偶函數(shù).

13.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù)，指出其周期：

(l)y=cos(x-2);

解是周期函數(shù),周期為1=2兀

(2)y=cos4x;

解是周期函數(shù)，周期為/=5.

(3)y=l+sin

解是周期函數(shù)，周期為1=2.

(4)y=xcosx;

解不是周期函數(shù).

(5)y=sinx.

解是周期函數(shù),周期為1=兀

14.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(i)j；=Vx+T;

解由y=y/x+i得1=歹3-1,所以尸Vx+1的反函數(shù)為P=X3-1.

⑵片修

解由尸公得、=懸，所以尸公的反函數(shù)為尸膏

(3)(ad-bc^O);

cx+d

解由尸紀(jì)若得，所以y="空的反函數(shù)為尸也辿

cx+dcy-acx+4cx-a

(4)y=2sin3x;

解由尸2sin3x得x=；arcsin^■，所以片2sin3x的反函數(shù)為尸garcsin5.

(5)y=l+ln(x+2);

解由尸l+ln(x+2)得-2,所以產(chǎn)l+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex~l-2.

2X

⑹尸

2￥+1

解由片高得4地2戶,所以片三的反函數(shù)為尸log,4.

2"+11-y2"+11-x

15.設(shè)函數(shù).危)在數(shù)集x上有定義，試證：函數(shù)7U)在x上有界的充分必要條件

是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.設(shè)函數(shù)7(x)在X上有界，則存在正數(shù)M使芥0區(qū)M即-峪

這就證明了大X)在X上有下界-"和上界M

再證充分性.設(shè)函數(shù)/(X)在X上有下界K］和上界&,即Ki軟x)W七.取

止max{|K||,|七|},貝JMW格軟x)WK24M

即\f{x}\<M.

這就證明了危)在X上有界.

16.在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給

定自變量值xi和X2的函數(shù)值：

(1)y=〃,w=sinx,X|=---,%2="z"；

1o3

解尸sidx,凹=sin2專(zhuān)=§)2=：,y2=sin2件=(g)2=1

(2)尸sinu,u=2x,西二卷,巧=9；

8'4

解y=sin2x,yx=sin(2~)=sin--=^-,y2=sin(2~)=siny=1.

(3),〃=l+xyXi~12;

解.=J1+，，%=Jl+]2=后,%二，1+22=也.

(4)尸=0^2=1；

解y=e"2=/?=1,乃=*=e.

(5)y=u2,“=e'x尸1,X2=-1.

2x2122(I)2

解y^e,y^e'=e,y2=e~=e~

17.設(shè)/(x)的定義域￡>=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域：

(1)滔；

解由得,區(qū)1,所以函數(shù)/*)的定義域?yàn)?I1].

(2)義sinx);

解由0<sinx<l得2〃脛區(qū)(2〃+1)乃(〃=0,±1,±2…)，所以函數(shù)/(sinx)的定義域?yàn)?/p>

[2〃石(2〃+1)用(〃=0,±1,±2…).

(3),/+。)(。>0);

解由0幺+。41得-4/金〈1-4,所以函數(shù)y(x+。)的定義域?yàn)閨-a,l-a].

(4)/(x+a)+/(x-a)(a>0).

解由0￡c+aWl且0女—應(yīng)1得:當(dāng)時(shí)，脛區(qū)1—a;當(dāng)時(shí)，無(wú)解.因此

當(dāng)0<?<1時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閇a,1-0,當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)無(wú)意義.

1M<1

18.設(shè)/(》)={0|x|=l,g(x)-ex,求./[巡明和g[/(x)],并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.

-1后>1

1EKIrix<o

解/[g(x)]=0|e*|=l,即/[g(x)]=?0x=0.

-1\ex\>\[-1x>0

e1|x|<l

g[/(x)]=e°|x|=1,即g[/(x)]=<

e-]|x|>l

19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角打40。(圖1-37).當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝娴拿娣e

為定值％時(shí)，求濕周以2=/8+8。+8)與水深力之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義

域.

￡^2-COS40\.

h+sin40

自變量〃的取值范圍應(yīng)由不等式組

。>0,務(wù)cot40°?/?〉()

確定，定義域?yàn)?<〃<JSoCot40°.

20.收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元,成本為60元.廠方為鼓勵(lì)銷(xiāo)售商大量采購(gòu)，決定凡是

訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)以上的，每多訂購(gòu)1臺(tái)，售價(jià)就降低1分，但最低價(jià)為每臺(tái)75元.

(1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購(gòu)量x的函數(shù)；

(2)將廠方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購(gòu)量x的函數(shù)；

(3)某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái),廠方可獲利潤(rùn)多少？

解⑴當(dāng)0玄§00時(shí),2=90.

令O.Ol(xo—lOO)=9O—75,得的=1600.因此當(dāng)x>1600時(shí),p=75.

當(dāng)100<x<1600時(shí),

p=90-(x-100)x0.01=91-0.0U

綜合上述結(jié)果得到

-900<x<100

p-<91-0.Olx100<x<1600.

75x>1600

3Ox0<x<100

(2)P=(/?-60)x=J3lx-0.0k2100<x<1600.

15xx>1600

習(xí)題1-2

1.觀察一般項(xiàng)如下的數(shù)列“〃｝的變化趨勢(shì)，寫(xiě)出它們的極限:

⑴x〃=*；

解當(dāng)〃-8時(shí),5/-0,屈出=0.

(2)-=(-1)/;

n

解當(dāng)8時(shí)=(—1)，J-0,lim(—1)/=0.

n〃一YI

(3)x?=2+—;

n

解當(dāng)〃-8吐x,=2+4.2,lim(2+-V)=2.

怔〃一>00

解當(dāng)〃->8時(shí),X"=^4=1--^7-0,lim^1=1.

〃+1H+1〃—>00〃+1

⑸x?=〃(-1)".

解當(dāng)〃-8時(shí),X*〃(一1)”沒(méi)有極限.

cos-^

2.設(shè)數(shù)列｛x〃｝的一?般項(xiàng)x”=-J.問(wèn)limx”=?求出N,使當(dāng)〃〉N時(shí),X”與其極限

H〃一>8

之差的絕對(duì)值小于正數(shù)與當(dāng)￡0.001時(shí),求出數(shù)N.

解limx=0.

W-400

|cos-^^||111

|xw-0|=——2_八.VQO,要使隔-0|<g只要上<￡也就是.取N=白，

nnn￡8

則Vn>N,有肉?-01<￡.

當(dāng)40.001時(shí),％=冉=肘00.

￡

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim4=0;

〃一?CO

分析要使』-0|=」<￡，只須〃2」,即〃〉」.

證明因?yàn)閂eOJNR4],當(dāng)〃〉N時(shí),有』-0|<￡，所以lim-^=O.

⑵hm丁=5；

/?-Xx)2/77+1T2

分析要使I洌-a=—不<；<￡，只須比<￡，即〃>4.

2〃+122(2〃+1)4〃4/74E

證明因?yàn)閂QOJN=R-],當(dāng)〃〉N時(shí)，有I誓!-京￡，所以lim等斗=?.

4e2〃+12?-><?2;?+12

(3)1而必也貯=1；

w—>oo/7

分析要使|安逵-4巧/一〃=/，只須〃〉

nn22n￡

n(y/n+a+z?)

證明因?yàn)閂QO己N=S、，當(dāng)V〃〉N時(shí)，有|\?土02-1|<￡，所以lim近運(yùn)=1.

￡n②n

(4)lim0.999…9=1.

w—>oo'<'

〃個(gè)

分析要使|0.99…9—1|=焉<￡,只須焉<￡，即n>l+lgl.

證明因?yàn)閂￡>OmN=[l+lg』，當(dāng)V〃〉N時(shí)，有|0.99…9-1|<￡,所以

￡

lim0.999???9=l.

w—>cov'

〃個(gè)

4.lim“"=a，證明lim%目a|.并舉例說(shuō)明:如果數(shù)歹U｛|x”|｝有極限，但數(shù)列｛》”｝未

W—>00W-400

必有極限.

證明因?yàn)閘im〃“=a,所以VQOJNGN,當(dāng)〃〉N時(shí)，有凡-水/從而

W—>00

\\un\-\a\\<\un-a\<￡.

這就證明了lim|""|=|a|.

?7—><?

數(shù)列｛晶|｝有極限，但數(shù)列｛%"｝未必有極限.例如lim|(-l)"|=l,但lim(-l)"不存

〃一>8W->00

在.

5.設(shè)數(shù)列｛x〃｝有界，又limy?=0,iE:limxy=0.

“TOOW->00nn

證明因?yàn)閿?shù)列%｝有界，所以存在M使V〃€Z,有％區(qū)

又1瓶為=0,所以\/￡>0,封€、當(dāng)”>N吐有從而當(dāng)〃>N吐有

W—>ocM

尾4―0加/〃區(qū)MKI<"?信=￡,

所以Iim%y〃=O.

.對(duì)于數(shù)列若。(左―

6{Xn}948),

證明:X”—>〃(〃->8).

證明因?yàn)镸ATfa(左38),、2#—>。(攵->8),所以V6>0,

小垣,當(dāng)2hl〉2KLi時(shí)，有|物-1-水￡；

三七,當(dāng)242K2時(shí)，旬X21a|<￡.

取N=max{2K「l,2K2},只要〃〉N,就有％-a|<&

因止匕x?->a(?—>00).

習(xí)題1-3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(1)lim(3x-l)=8;

xf3

分析因?yàn)?/p>

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,

所以要使|(3x-1)-8|<￡，只須|無(wú)—3K$.

證明因?yàn)閂6>0,mS=g￡，當(dāng)0<|x—3|<b時(shí),有

|(3X-1)-8|<￡,

所以lim(3x-l)=8.

x->3

(2)lim(5x+2)=12;

xf2

分析因?yàn)?/p>

|(5x+2)-l2|=|5x-l0|=5|x—2|,

所以要使|(5x+2)-12|<&只須|x-2|<$.

證明因?yàn)閂￡>0JS=3,當(dāng)0小-2|<3時(shí)，有

|(5x+2)-12|<f,

所以lim(5x+2)=12.

xf2

(3)lim號(hào)=-4;

x—>—2X+2

分析因?yàn)?/p>

I景一(一4)卜|七等%》+2"(-2爪

所以要使(-4)|<￡，只須|X-(-2)|<￡.

證明因?yàn)閂QOJS=，當(dāng)0<,一(一2)|<6時(shí),有

制一)卜￡，

所以加賓=4

(4)limy9=2.

1—2x+l

X2

分析因?yàn)?/p>

|kg￡,2|=|i-2x-2b2|x-(-i)|

所以要使|與富一21<￡，只須

證明因?yàn)閂QOJ，當(dāng)0VX—(—f]<3時(shí)，有

1-4x3|

2x+l?，

所以limFt=2.

x->-l2x+l

2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

3

(1)lim1+x1.

x->002x32'

分析因?yàn)?/p>

33

|1±^_1|=|l+x-x|=_1_

I2x32?'2x3?2|x|39

所以要使I翳-3卜￡，只須總(￡,即團(tuán)晨.

證明因?yàn)閂QOJ乂=蠹，當(dāng)|x|>X時(shí)，有

l+x31

l+x31

所以lim=

x->oo"2-

sinx

(2)limn

x->+ooL

分析因?yàn)?/p>

Isinx_0

罕-0<￡，只須<￡，即X>-y.

證明因?yàn)閂6>o,mX=合,當(dāng)X>X時(shí),有

1聯(lián)。"€

所以lim用=0.

X—>4-001X

3.當(dāng)x-2時(shí)，尸x2f4.問(wèn)S等于多少，使當(dāng)|%-2|<6時(shí),[y-4|<0.001?

解由于當(dāng)x—>2時(shí)，|x-2|->0,故可設(shè)卜-2|<1,即l<x<3.

要使

1X2-4|=|X+2||X-2|<5|X-2|<0.001,

只要值一2（<*1=O.OOO2.

取應(yīng)0.0002,則當(dāng)0<W一2|<5時(shí)，就有|?-4|<0.001.

4.當(dāng)x->8吐y=與二一1,問(wèn)X等于多少，使當(dāng)[x]>X時(shí),『-1|<0.01?

xz+3

解要使I乎卜4^<0.01,只要曲底召=回7,故工=病7.

A十JA十JVU.U1

5.證明函數(shù)八丫）=區(qū)當(dāng)x-0時(shí)極限為零.

證明因?yàn)?/p>

|/（x）-O|=||x|-O|=|x|=|x-O|,

所以要使1/（X）-O|<￡,只須|x|<￡.

因?yàn)閷?duì)Vfi>OJ岸名使當(dāng)0<|x-0|?5；時(shí)有

y（x）-o|=||x|-o|<f,

所以lim|x|=0.

6.求/（x）=7,*）=號(hào)當(dāng)xf0時(shí)的左、右極限，并說(shuō)明它們?cè)趚f0時(shí)的極限是

否存在.

證明因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim—=lim1=1,

x—>0-x—>0-Xx—>0-

lim/(x)=lim—=lim1=1,

xfo+xfo+XXT0+

hm/(x)=Jn^/(x),

所以極限lim/(x)存在.

x->0

因?yàn)?/p>

limQ(x)=lim—=lim—=-l

x-^OXf0-Xx-?0-X

lim(p(x)=lim—=lim—=1,

%-o+XTO+xxfo+x

limlim(p{x),

XT。-X70+

所以極限lim°(x)不存在.

x->0

7.證明：若xf+oo及xf-8時(shí)，函數(shù)/⑺的極限都存在且都等于4則

limJ\x)=A.

X->00

證明因?yàn)閘imf(x)=A,lim/(x)=Z,所以VoO,

Xf-8XT+OO

引GO,使當(dāng)x<-*時(shí)，有麻)-4|<用

三名〉0,使當(dāng)x>小時(shí)，有1/(X)T|<￡.

取*=11^{乂入}，則當(dāng)慟〉X時(shí)，有貝X)-4|<￡，即limJ\x)=A.

X—>co

8.根據(jù)極限的定義證明:函數(shù)人x)當(dāng)xfxo時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右

極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設(shè)/)7/(xfxo),則VO0己必0,使當(dāng)0<戶祀|<5時(shí)，有

\fix}-A\<e.

因止匕當(dāng)xo—層x<xo和xo<x<xo+b時(shí)者B有

師)-/|<￡.

這說(shuō)明兒：)當(dāng)XTX0時(shí)左右極限都存在并且都等于A.

再證明充分性.設(shè)./(xo-O)=/(xo+O)=4則V60,

3^>0,使當(dāng)xo—石<x<xo時(shí)，有|危)一4(與

的>0,使當(dāng)?shù)?4()+豆時(shí)，有|/(X)T|<￡.

取員min{bi,期，則當(dāng)0<卜-刈<5時(shí)，看xo-石<x<xo及xo<x<xo+力從而有

ld<￡,

即/(x)—>4(x—>M)).

9.試給出xfoo時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理,并加以證明.

解Xf8時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果寅X)當(dāng)Xf8時(shí)的極限存在，則存在

X>0及M>Q使當(dāng)|x|>X時(shí),]

證明設(shè)人x)fZ(x-8),則對(duì)于小畢的0,當(dāng)[x|>X時(shí)，有火x)T|<al.所以

監(jiān))|=a)7+4須x)—4|+⑷<1+⑷.

這就是說(shuō)存在X〉0及％0,使當(dāng)|x|>X時(shí)，l/(x)|<M其中屬1+M].

習(xí)題1—4

1.兩個(gè)無(wú)窮小的商是否一定是無(wú)窮小？舉例說(shuō)明之.

解不一定.

例如，當(dāng)x70時(shí),o(x)=2x,/x)=3x都是無(wú)窮小，但lim察,等!不是無(wú)窮小.

iop{x)3p(x)

2.根據(jù)定義證明：

(1)歹=上二?當(dāng)％-3時(shí)為無(wú)窮??；

x+3

⑵產(chǎn)xsiJ當(dāng)x70時(shí)為無(wú)窮小.

證明(1)當(dāng)/3時(shí)3=|左，卜|x—3].因?yàn)閂QOJM與當(dāng)0<|x—3]<6時(shí)，有

1^1=|衛(wèi)普|卡-3|<b=￡,

所以當(dāng)xf3時(shí)為無(wú)窮小.

x+3

(2)當(dāng)收0時(shí)3=|R|sinJgx-O|.因?yàn)閈7GO己人&當(dāng)0小-0|<5時(shí),有

|,y|=|x||sin—|<|x-O|<^=6,,

x

所以當(dāng)x—O時(shí)y=xsin!為無(wú)窮小.

3.根據(jù)定義證明:函數(shù)歹="為當(dāng)x->0時(shí)的無(wú)窮大.問(wèn)x應(yīng)滿足什么條件，能使

X

M>w4?

證明分析|田=|"|=|2+工2土一2,要使％>M只須=一2〉陽(yáng),即因<而」.

IIIIxrxI/

證明因?yàn)?朋>09=應(yīng)3,使當(dāng)0小-0|<3時(shí)，有|星”\>M,

所以當(dāng)x-0時(shí)，函數(shù)y=修是無(wú)窮大.

取AMOt則旌/港.當(dāng)0命-01<，運(yùn)時(shí),M>w4.

4.求下列極限并說(shuō)明理由:

18X

⑵啊w

解⑴因?yàn)榧t也=2+工而當(dāng)Xf8時(shí)上是無(wú)窮小，所以lim至±1=2.

XXXXT8X

⑵因?yàn)閷m二D而當(dāng)…時(shí)x為無(wú)窮小,所以端41.

5.根據(jù)函數(shù)極限或無(wú)窮大定義，填寫(xiě)下表:

加).8X%)->-KO,/(X)->-00

VQO,眸0,使

X—>XQ當(dāng)0<|x-x()|<3H寸，

有恒]/(X)T|<￡.

X—>x()+

X—>Xo-

%>o,mx>o,使當(dāng)w>x時(shí)，

Xf00

有恒|/(x)|>K

尢f+00

X->-00

解

火x)f4<x)foo義x)f+oo為X)T-8

Vfi>O,H^O,使VMM),班0,使V論0口￡0,使VM>0,眸0,使

當(dāng)O<|x-xo|<<SI寸，當(dāng)0cAxo|<<5H寸，當(dāng)0<|x-x（）|<<5ll寸，當(dāng)O<,-xo|<<5n寸，

有恒火X)T1|<&有恒火x)|>M有恒加）〉M有恒加)<-〃.

VQO,眸0,使V止0,睜0,使V%0,眸0,使V陸0,眸0,使

.+

x—>Xo當(dāng)O<x-xo<^寸，當(dāng)O<x—xo<（5H寸，當(dāng)0<x-x（）<施t,當(dāng)O<x—xo<搦寸，

有恒火工）—4|<&有恒］/（x）|>M有恒/（x）〉M有恒./（x）<-M

Vfi>0,3^0,使V孫0己立0,使V心0曲0,使V%0,協(xié)0,使

X->Xo-當(dāng)0<x（）-x<<5n寸，當(dāng)O<xo-x<^t,當(dāng)O<xo-x<冽寸，當(dāng)0<x（）_x<<5n寸，

有恒火X）必|<￡有恒麻）|〉M有恒｛x）〉M有恒｛x）<-M

"0,小0,使"0,犯0,使VQO,王bO,使V￡>0,3A>0,使

X一8當(dāng)|x|>X時(shí)，有恒當(dāng)慟〉X時(shí)，有恒當(dāng)|x|>X時(shí)，有恒當(dāng)慟〉X時(shí)，有恒

\f{x)-A\<￡.Xx）>MAx）<~M.

Vfi>0,i￥>0,使VQO,少>0,使Vi>0,3A>0,?VQO,少>0,使

xf+8當(dāng)X>xnt有恒當(dāng)x〉X時(shí)，有恒當(dāng)x〉X時(shí)，有恒當(dāng)x>X時(shí)，有恒

\/[X)-A\<￡.網(wǎng)1>〃Ax>M.

"0,小0,使V￡>0,3A>0,使V￡>0,3A>0,使V￡>0,3^0,使

Xf-00當(dāng)x<-X時(shí)，有恒當(dāng)x<-X時(shí)，有恒當(dāng)x<-X時(shí)，有恒當(dāng)次-X時(shí),有恒

\f{x)-A\<￡.mi>M.氏x(chóng))>M.

6.函數(shù)尸COSX在(-8,+8)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)Xf+8時(shí)的無(wú)窮大？

為什么？

解函數(shù)產(chǎn)XCOSX在(-00,+00)內(nèi)無(wú)界.

這是因?yàn)閂A/〉O,在(-8,+8)內(nèi)總能找到這樣的x,使得［y(x)|〉M例如

yQk力=2k兀cos2km2k兀(k=0,1,2,…)，

當(dāng)k充分大時(shí)，就旬y(2左砌〉M

當(dāng)Xf+oo時(shí),函藏尸XC0SX不是無(wú)窮大.

這是因?yàn)閂MSO,找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn),使對(duì)一切大于N的X,都有欣x)|〉M

例如

M24萬(wàn)+5)=(2左7+5)cos(2左1+5)=0(左=0,1,2,-),

對(duì)任何大的N,當(dāng)k充分大時(shí)，總有x=2版'+5>N,但［y(x)l=0<M

7.證明:函數(shù)片Lin^在區(qū)間(0,1］上無(wú)界，但這函數(shù)不是當(dāng)x70+時(shí)的無(wú)窮大.

XX

證明函數(shù)片在區(qū)間(0周上無(wú)界.這是因?yàn)?/p>

V朋SO,在(0,1］中總可以找到點(diǎn)使Mx?！?例如當(dāng)

4=一一(D,1,2,…)

2k/r+-

2

時(shí)，有

y(Xk)=2k兀,

當(dāng)k充分大時(shí),y(x/〉M

當(dāng)x10+時(shí),函數(shù)尸Lii不是無(wú)窮大.這是因?yàn)?/p>

XX

V論0,對(duì)所有的ao,總可以找到這樣的點(diǎn)使0<Q<a但y(/)<M例如可取

々=.(旌0,1，2,…)，

2k兀

當(dāng)k充分大時(shí)也<a但V(XA)=2Z;zsin2A々0<Af

習(xí)題1-5

1.計(jì)算下列極限：

⑴li呼瞥；

XT2X-3

解隔。=頭=-9.

12x-32-3

2

⑵如曷v;

解%黑

⑶*#產(chǎn)；

解強(qiáng)舍明尚磊刊嘖H=o-

(4)1加以.2/+工

J3X2+2X

解4x3-2x2+x

lim=lim4A-^-2X+1=1

io3x2+2xx->o3x+22

(x+h)2-x2

⑸修

h

解Hm(x+*'=lim"+2"+*-，=iim(2x+0)=2x.

。-?ohgoh〃->o

(6)lim(2--+^2);

x->8xx，

解lim(2--+4r)=2-lim-+lim4r=2.

X-XX>XXZXT8XXT8X2

x2-l

(7)lim

XT82x2-x-l

⑻」粵年T

2

解lim戶:手，=0（分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零）.

XT8X,一3廿一1

x+x

或lim產(chǎn)+?=lim￡=0.

Xf0cx4—3%2-]X78]__2___1

手一彳

一6x+8.

⑼喏一5x+4'

Hm率6x+8=M手-滬？=】而號(hào)督4?

-v^4x2—5x+4Xf4(x—l)(x—4)Xf4X—14—13

(10)lim(l+i)(2—V);

XT8XX

解lim(l+-)(2-4r)=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.

X->00XXZx->8Xx->ooxz

(11)lim(l+[+J+…+')；

w-?oo242〃

解lim(l+^+4+??■+—)=Hm—=2.

?->oov242〃i1

1-2

l+2+3d---F(〃-1)

(12)hm------z-L--；

W—>00n

(〃一1)〃

/f-n「1+2+3+…+(〃-1)「21rA7—11

角阜hm-------z--——L=iim-氣-=±hm.

〃->8〃―>002W->00Yl2

(13)lim(〃+l)("+?(〃+3)

…5〃3

解lim("+D”?(〃+3=3(分子與分母的次數(shù)相同,極限為

最高次項(xiàng)系數(shù)之比).

或Hm(?+1)(?+2)(?+3)=1iim(1+l)(1+2)(1+3)=l

7?->005w—>00Y\RYl5

(14)lim(_L_3);

Il1-X1一爐

解出±-i5)=四;靠^3廠即需案3)

=-limx+2_]

%->11+x+x2

2.計(jì)算下列極限：

⑴啊謁

解因?yàn)閘im牛|4=2=0,所以lim業(yè)率=8.

12爐+2工216x-?2(x-2)2

Y2

(2);

XT82x+l

丫2

解lim-^-=oo(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

x->oo2x4-1

(3)lim(2x3-4x+l).

X->00

解lim(2y3_x+l)=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

X->00

3.計(jì)算下列極限：

(1)limx2sin—;

xfOx

解limx2sin1=0(當(dāng)xf0時(shí)*是無(wú)窮小，而sin1是有界變量).

x->0XX

⑵lim箜皿.

v->oox

解limarctanx=1而Larctanx=O(當(dāng)x—>8時(shí)J是無(wú)窮小，

xf8xx-?8Xx

而arctanx是有界變量).

4.證明本節(jié)定理3中的(2).

習(xí)題1-6

1.計(jì)算下列極限:

(l)limsin^;

xrOx

解lim酗處=&lim迎"="

x-?OXx—OOK

⑵[im典逛;

x—OX

tan3xsin3x.l

解lim=31im=3

x->oxa。3xcos3x

(3)lim吟;

x—osin5x

解㈣磊=吧si2n…2x5舊x2525

(4)limxcotx;

x->0

解limxcotx=lim-7^-cosx=lim-^-limcosx=l.

x->oxrOsmxx->osinxx-?o

(5)limk￡os2x;

Dxsinx

解1加上”迎=1沁上等區(qū)=1而細(xì)口=21加(血)2=2.

x->0xsinxX->OX2XT。X2-V->Ox'

或1沛上空迎=1面空丘=21im血=2.

xfoxsinxxfoxsinxxfox

(6)lim2〃sin今(x為不等于零的常數(shù)).

sin—

解lim2nsin—=lim—^?x=x.

nTs2"8X

F

2.計(jì)算下列極限：

\_

x->0

士(-1)

解lim(l-x)x=lim[l+(-x)](_x)={lim[l+(-x)]("^}-1=e"1

1

⑵呵(1+2/;

X—0

1J_2J_

解lim(l+2xA=lim(l+2x)三=[lim(l+2x)^]2=e2.

x->0.v->0xf0

⑶lim(l±42x；

18X

解lim(歸B)2x=[lim(l+L)x]2=e2

x->8XX->00X

(4)lim(1」產(chǎn)/為正整數(shù)).

x->oox

解lim(1-1)^=lim(1+-^)(T)F)=e-?

X->00Xx->oo-X

3.根據(jù)函數(shù)極限的定義,證明極限存在的準(zhǔn)則r.

證明僅對(duì)XfXO的情形加以證明.

設(shè)￡為任一給定的正數(shù)，由于limg(x)=Z,故由定義知，對(duì)￡>0,存在31〉0,使

XTX0

得當(dāng)0<|>劭|<在時(shí)，恒有庾)-川<￡,即

A-￡<g(X)<A+￡.

由于lim/z(x)=J,故由定義知，對(duì)￡>0,存在近>0,使得當(dāng)0cA劭|<而時(shí)，恒有

\h(x)-A\<￡,即

A-￡<h(x)<A+￡.

取應(yīng)min{bi,歷},則當(dāng)O<?-Xo|〈例寸，

A-￡<g(x)<A+￡^A-￡<h(x)<A+￡

同時(shí)成立，又因?yàn)?/p>

g(x)^/(x)</?(x),

所以A-￡<f^X)<A+￡,

即阿-/|<￡,

因此lim/(x)=Z.

XfXo

證明僅對(duì)XfX。的情形加以證明.

因?yàn)?/p>

limg(x)=A,limh(x)=A,

XTX°X—

所以對(duì)任一給定的￡>0,存在必0,使得當(dāng)O<|x—xo|<加寸，恒有

\g(x)-A\<￡R\h(j^-A\<￡,

即A-￡<g(x)<A+sRA-e<h(x)<A+s.

又因?yàn)間(x)g(x)W〃(x),

所以A-￡<f(x)<A+￡,

即\f{x)-A\<￡,

因此lim/(x)=J.

4.利用極限存在準(zhǔn)則證明：

⑴limQ=l;

證明因?yàn)?<151<1+工，

vnn

而1/1=1且1舊(1+1)=1,

cow—>oo77

由極限存在準(zhǔn)則I,lim、Q=l.

〃TQOV〃

⑵]im)=1；

〃一>8〃/+24+〃乃

證明因?yàn)?/p>

〃211,,1、/〃2

------<-----1--7~~-1----1--5--------)<~~5---，

n-\-n7in+7i〃乙+21〃'+〃乃〃/+九

22

而lim-^---=1,lim——=1,

所以lim。一+丁]?+…—)=1.

(3)數(shù)列啦,)2+&,12+亞章,…的極限存在;

證明X]=，,x”+]=j2+x”(〃=1,2,3,…).

先證明數(shù)列｛x〃｝有界.

當(dāng)〃=1時(shí)w=痣<2，假定〃=左時(shí)x*<2,則當(dāng)〃="+1時(shí)，

Xk+i=j2+x%<-2+2=2,

所以x“<2(〃=l,2,3,…b即數(shù)歹(J｛/｝有界.

再證明數(shù)列單調(diào)增.因?yàn)?/p>

_不_2+x“一癮_—(.x?—2)(xw+l)

J2+X.+X”J2+x”+x”

而為；-2<0/"+1>0,所以X"+|—X">0,即數(shù)歹I」｛%｝單調(diào)增.

因?yàn)閿?shù)列｛x“｝單調(diào)增加有上界，所以此數(shù)列是有極限的.

(4)lim^/i+x=l;

xf0

證明當(dāng)|x區(qū)1時(shí)，則有

l+X<14-|x|<(l+|x|)W,

1+x>1—|x|>(l-|x|)w,

從而有1-|X|<A/1+X<1+|X|.

因?yàn)閘im(l-|x|)=lim(14-|x|)=l,

x-?0x->0

根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有

lim購(gòu)+x=l.

XT0

(5)limM：]=L

x-?0+

證明因?yàn)?〈山△，所以l—x<M占ML

XXXX

又因?yàn)閘im(l-x)=lim又1,根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有l(wèi)imA(-]=1.

x->0+x->0+10+X

習(xí)題1-7

1.當(dāng)Xf0時(shí),2r-x2與x2-x3相比，哪一個(gè)是高階無(wú)窮小?

232

解因?yàn)閘imF==limP=0,

^->o2x-x2-o2-x

所以當(dāng)x.0時(shí)J是高階無(wú)窮小，即X2-X3^O(2X-X2).

2.當(dāng)xf1時(shí)，無(wú)窮小1-x和(1)1-只(2)；(1-7)是否同階？是否等價(jià)?

解(1)因?yàn)?lim』叫+x+x)=[而(1+彳+/)=3,

1-xHl-xx-?l

所以當(dāng)Xf1時(shí)，1-x和l-d是同階的無(wú)窮小,但不是等價(jià)無(wú)窮小.

-y(l-X2).

(2)因?yàn)閘im^-------=glim(l+x)=l,

x—>11-X2x—>1

所以當(dāng)Xf1時(shí)，l-x和4(i)是同階的無(wú)窮小,而且是等價(jià)無(wú)窮小.

3.證明：當(dāng)x―0時(shí)，有：

(1)arctanx?x;

v-2

(2)secx-1?-.

證明(1)因?yàn)閘imCretanx=]jm-)=1(提示:令”=arctanx,則當(dāng)xf0時(shí),y-0),

x—oxy->0tany

所以當(dāng)x-0時(shí)，arctanx-x.

ii2sin2g2sing

(2)因?yàn)閘imse^-1=21im1~cosx=limlim(——=1,

XTO1丫2x->0X2COSX戈->0X2X

2T2

v2

所以當(dāng)xf0時(shí),secx-1?-—?

4,利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)，求下列極限:

tan3x.

⑴螞2x9

⑵㈣需系(凡加為正整數(shù));

tanx-sinx

⑶㈣sin,x

(4)lim------s-inx-ta---n--x----.

7劭+N-l)(Vl+sinx-l)

解⑴㈣噌=㈣親?

1n=m

⑵㈣"!釁』0n>m.

00n<m

.■sinx(-----1),-^x2i

tanxsinxcos

(3)lim~=ijm-----c^x,---=1加一-^---=—.

-v-?osin'xx—osin、A->Ocosxsin^xA-^O%2COSX2

(4)因?yàn)?/p>

sinx-tanx=tanx(cosx-l)=-2tanxsin2^-~-2x-(^)2=-^-x3(x—>0),

31+x2_]=/x----(x-0),

#(1+.2)2+Vl+x2+13

Vl+sinx—1=「sin工-----sinx?x(x—>0),

Vl+sinx+1

_X%3

所以hmsinx-.Xdm2_3

^°(V1+X2-l)(Vl+sinx-l)Xf°，x2.x

5.證明無(wú)窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：

(1)。?a(自反性)；

(2)若a?B，則上0(對(duì)稱(chēng)性)；

(3)若a~p,(i~y,則a?乂傳遞性).

證明(1)lim2=1,所以a~a;

a

(2)若a?/3,則lim3=l,從而lim2=l.因此后a;

pa

(3)若a?以分％lima=lim2」im,=l.因此a~y.

YYP

習(xí)題1-8

1.研究下列函數(shù)的連續(xù)性,并畫(huà)出函數(shù)的圖形：

//、1爐O<X<1

⑴/叫2Tly2；

解已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)/(X)在［0,1)和(1,2］內(nèi)是連續(xù)的.

在％=1處,因?yàn)榇?=1,并且

lim/(x)=limx2=l,lim/(x)=lim(2-x)=l.

Xfi-X->1+X->1+

所以lim/(x)=l,從而函數(shù)/(x)在x=l處是連續(xù)的.

X->1

綜上所述，函數(shù)｛x)在［0,2］上是連續(xù)函數(shù).

⑵.&)=｛：