第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（58）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，共70.（）分）

1.己知球。的表面積為64兀，A,B,C在球面上，且A,8間的距離為4位，記AB的中點(diǎn)為。,

若OD與平面ABC的所成角為60。，則三棱錐。-ABC外接球的體積為

256K512>/3廠25676八512歷

A.---------71B----------7TC.---------7TU.---------7T

27272727

2.某正四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積之差為12兀，則該正四面體的棱長(zhǎng)為（）

A.273B.4C.2D.3

3.如圖所示的幾何體是由正三棱錐P-4BC與正三棱柱4BC-

A1aC1組合而成的，現(xiàn)用3種不同的顏色給這個(gè)幾何體的表面

染色（底面不染色），要求相鄰的面均染不同的顏色，則

不同的染色方案共有（）種.

A.6

B.12

C.24

D.48

4.圓錐的母線長(zhǎng)為/,高為“，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)的最大截面的面積為（）

A.更FB.h2C.勺2D.

422

如圖，在正四棱柱ZBCD-41B1G5中，AB=^2AA1,E,F分

別為AB,BC的中點(diǎn)，異面直線AB】與GF所成角的余弦值為機(jī)，

則（）

A.直線&E與直線GF異面，且m=?

B.直線4E與直線GF共面，且m=?

C.直線&E與直線GF異面，且m=?

D.直線4道與直線G尸共面，且

6.在下列命題中:

①存在一個(gè)平面與正方體的12條棱所成的角都相等；

②存在一個(gè)平面與正方體的6個(gè)面所成較小的二面角都相等;

③存在一條直線與正方體的12條棱所成的角都相等；

④存在一條直線與正方體的6個(gè)面所成的角都相等.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.如下圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段A8繞圓心。旋轉(zhuǎn)--周所形成的

平面圖形，又圓環(huán)的面積§=兀（/?2一72）=出一「）乂2兀乂容,所以，圓環(huán)

的面積等于以線段4B=R-r為寬，以AB的中點(diǎn)繞圓心。旋轉(zhuǎn)一周所形

成的圓的周長(zhǎng)27rx等為長(zhǎng)的矩形面積.請(qǐng)你將上述想法拓展到空間，并解決下列問(wèn)題：若將

平面區(qū)域M=｛（x,y）l（x-d）2+y2＜/）（其中0＜「＜d）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體

的體積是（）

A.2nr2dB.27r2r2dC.2nrd2D.2n2rd2

8.正方體ABCO-A/iCiDi的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)P,Q,R分別是棱4遇，人當(dāng)，兒久的中點(diǎn)，以△PQR

為底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，則這個(gè)正三棱

柱的高為（）

A.立B.V2C.更D.更

223

9.在棱長(zhǎng)為2的正四面體S-ABC中，若點(diǎn)。滿足歷=玖+4（2宿+元）（4eR）,當(dāng)最短時(shí)，

點(diǎn)O到平面SBC的距離為（）

A迎B.漁C.延D.辿

3399

10.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形

B.圓柱的軸截面是過(guò)母線的截面中面積最大的一個(gè)

C.圓錐的軸截面是所有過(guò)頂點(diǎn)的截面中面積最大的一個(gè)

D.當(dāng)球心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是一個(gè)圓

11.如圖，一個(gè)密閉容器水平放置，圓柱底面直徑為2,高為10,圓錐母線長(zhǎng)為2,里面有一個(gè)半

徑為1的小球來(lái)回滾動(dòng)，則小球無(wú)法碰觸到的空間部分的體積為（）

5-273n5—x/3

------nD.-----n

33

12.下圖是一個(gè)底面半徑為1的圓柱被平面截開所得的幾何體,截面與底面所成的角

為45。，過(guò)圓柱的軸的平面截圓柱體所得的四邊形ABBS'為矩形.若沿44將其

乩，

側(cè)面剪開，其側(cè)面展開圖形狀大致為（），\

B.

13.下列說(shuō)法：

①有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

③底面是正多邊形，且側(cè)棱長(zhǎng)都相等的棱錐是正棱錐

④一個(gè)棱錐的側(cè)棱與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐

其中正確的說(shuō)法有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

14.在三棱錐P-ABC中，AP=2,AB=3V3,P4J■面ABC,且在三角形ABC中，有ccosB=（2a-

b）cosC（其中a,b,c為△4BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊），則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.40兀B.207rC.127rD.等

二、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

15.在三棱錐P-ABC中,AB1BC,三角形PAC為等邊三角形，二面角P-AC-B的余弦值為一立，

3

當(dāng)三棱錐P-4BC的體積最大值為，時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

16.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐共有個(gè).

17.（1）已知x,y滿足｛1［則目標(biāo)函數(shù)z=x-y的取值范圍為.

（2）過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若灰=2而，貝=?

⑶已知球。是棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD—4$iGDi的外接球，P為棱。Di中點(diǎn)，現(xiàn)在棱4。和

棱C。上分別取點(diǎn)M,N,使得平面MNP與正方體各棱所成角相等，則平面MNP截球。的截

面面積是.

（4）在銳角△ABC中，BC=2,sinB,sinC的等差中項(xiàng)為sinA,則中線AO的長(zhǎng)的取值范圍是

18.周長(zhǎng)為3cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為cm3.

19.已知三棱錐P-4BC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且4B=遮，BC=V5，AC=2,則此三棱錐外

接球的表面積為.

20.已知在棱長(zhǎng)為1的正方體4BC。一4’8'C'D'中,M為AB的中點(diǎn),N為射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，記BN=a,

過(guò)點(diǎn)4,M,N作正方體的截面.給出下列結(jié)論：①當(dāng)a6（0弓）時(shí)，截面為三角形；②當(dāng)a=|

時(shí)，截面為等腰梯形;③當(dāng)a€&1）時(shí)，截面為五邊形;④當(dāng)a=1時(shí),截面為菱形;⑤當(dāng)a€（1,2）

時(shí)，截面為平行四邊形；⑥當(dāng)a=2時(shí)，截面為長(zhǎng)方形.其中正確的是（填序號(hào)）.

21.已知三棱錐P—4BC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直，且P4=PB=PC=2,則三棱錐

P-4BC的外接球與內(nèi)切球的半徑比為.

22.(1)如圖，已知三棱錐A-BCD中，AD,BD,C。兩兩垂直，AD=BD=1,CD=百，E,尸分

別為AC,BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面DE尸的距離為.

(2)如圖，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD_L底面ABCC,則下列結(jié)論:

②48〃平面SCD

③AB與SC所成的角等于OC與SA所成的角

④二面角B-SD-C的大小為45。

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

(3)對(duì)于直線m,n和平面a,/?,有如下四個(gè)命題:

①若m〃B，mln,則nl/?；

②若?！?，ml/5,n//a,則m1n；

③若a〃￡,m//p,則m〃a；

④若al￡,m1a,n1/?,則m_Ln.

其中正確的命題個(gè)數(shù)為.

（4）已知/,，〃是平面a外的兩條不同直線,給出下列三個(gè)論斷：

①11m；②m〃a；（3）11a.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

23.若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為遮，則這個(gè)圓錐的全面積等于.

24.下圖中的幾何體是由兩個(gè)有共同底面的圓錐組成.已知兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為P,Q,高分別為

2,1,底面半徑為1,A為底面圓周上的定點(diǎn)，B為底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）.下列四個(gè)結(jié)

論:

①三棱錐P-4BQ體積的最大值為土

②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為，；

③當(dāng)直線8。與AP所成角最小時(shí)，其正弦值為唱；

④直線BQ與AP所成角的最大值為今

其中正確的結(jié)論有.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

25.如圖，在四棱錐P-4BC0中，底面ABC。為菱形，底面A8C。，

。為對(duì)角線AC與8。的交點(diǎn)，若PB=1,NAPB^BAD則

三棱錐P-408的外接球的體積是.

26.在三棱錐P-ABC中，AB1BC,三角形PAC為等邊三角形，二面角P-

AC-B的余弦值為一漁，當(dāng)三棱錐P-4BC的體積最大值為J時(shí)，三棱錐P-力BC的外接球的表

33

面積為.

三、解答題（本大題共4小題，共48.0分）

27.如圖，在正方體4BCD-4BiGDi中，441=2,E為棱DD1中點(diǎn).

(1)求異面直線CE和BA所成角的余弦值;

(2)求四面體4CEB1的體積.

28.如圖,三棱柱A8C-A1仕G中,側(cè)面BB1QC為菱形,&C的中點(diǎn)為0,且4。JL平面BBQC.

(1)證明：B1cA.AB；

(2)若力CJL4B1，Z.CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-4181cl的體積.

29.用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為a的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，扇形的圓心角a多大

時(shí)，容器的容積最大？

30.⑴已知正方體4BCD-4iBiCiDi的棱長(zhǎng)為2,P是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，PA>PCr,則滿足條

件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積等于()

(2)已知點(diǎn)M(-1,0),N(l,0).若直線±%+曠一7?=0上存在點(diǎn);>使得「"1/3/7,則實(shí)數(shù)〃，的取

值范圍是.

(3)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-4,3)與x軸、y軸分別交于4B兩點(diǎn),且|4P|:|PB|=3:5,求直線/的方程.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于難題.

根據(jù)題意得到球。的半徑,做輔助線得到40。。1=60。,得到所需長(zhǎng)度，根據(jù)長(zhǎng)度找到三棱錐。-ABC

外接球的球心的位置，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理得到答案.

解：設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為由,中點(diǎn)為。，球半徑為治,

連接0￡),OjD,0A=0B,如圖所示：

所以O(shè)DJ.AB,同理。1DJ.AB,

所以4。。。1即為。。與平面A8C所成的角，故NO。。1=60°；

已知球。的表面積為64兀，則6」;？-JTTRJ,則R]=4,

則。4=0B=4,因?yàn)?4近，

所以AOAB是等腰直角三角形，???。。=豺8=2近，

在RtAOCOi中，由cos60"=嘿~,得。1。=魚，由勾股定理得：。。1=遍,

因?yàn)椤?到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，

所以三棱錐。-力BC外接球的球心E在射線。。1上，

設(shè)四面體0ABe外接球半徑為R,

2

在RtAOiB。中，0tB=yJOB-00l=VlO.

在RtAOiBE中，BE=R,O[E=|R-網(wǎng)

由勾股定理可得：0出2+。出2=BE?,即10+(R-通＞=R2,

解得R=晅,

3

3

故所求球體積V=±兀/?3=士兀（延）=2辿兀，

故選O.

2.答案：D

解析：

本題考查了正四面體的外接球與內(nèi)切球的的半徑，同時(shí)考查了球的表面積公式，屬于中檔題.

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,然后分別求出該正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑即可.

解：設(shè)該正四面體的棱長(zhǎng)為。，外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為r,

由R2=（曰”R）2+弓療，

得R=^a,

4

由等體積法得：

-x（-x—?a-a）x—ci=4x-x（-x—

3'22,33、22'

得r=-a，

12

因?yàn)?r?）=12TT,

所以a=3,所以正四面體的棱長(zhǎng)為3,

故選。.

3.答案：B

解析：

本題考查了分步計(jì)數(shù)原理的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

先涂三棱錐P-4BC的三個(gè)側(cè)面有3x2種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面有2x1種情況，故共有3x

2x2x1種情況.

解：先染三棱錐的3個(gè)側(cè)面，然后染三棱柱的3個(gè)側(cè)面，共有3x2x1x2=12種不同的染法.

故選B.

4.答案：B

解析：

本題考查了旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球）及其結(jié)構(gòu)特征，三角形面積公式.

利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算得結(jié)論.

解：因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為/,高為“，

所以圓錐兩條母線的最大夾角為120。，

因此過(guò)圓錐頂點(diǎn)的最大截面是這兩條母線垂直時(shí)的面，

這個(gè)面的面積為；x/xZxsin90°=1/2.

故選B.

5.答案:D

解析：

本題考查棱柱及其結(jié)構(gòu)特征，空間中直線與直線的位置關(guān)系的判定，考查異面直線所成角的求法，

考查空間想象能力，涉及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

連接EF,46,GD,。凡易證E/7/4C1,可知直線&E與直線共面.再根據(jù)正四棱柱中AB4/GD,

即異面直線A/與GF所成角為設(shè)=V2.求出DF,QF和CD,利用余弦定理求出m的

值.

解：連接E凡4G，C1D,DF,

因?yàn)镋,尸分別為AB,BC的中點(diǎn)，

易證EF〃&Ci，

所以直線4E與直線GF共面.

因?yàn)锳BCD-&B1GD1為正四棱柱，易證4B//C1D,

所以異面直線與QF所成角為40GF.

設(shè)A4I=VL則AB=&A4I=2,則。?=遍，C、F=遮,CD=遍，

由余弦定理,

6.答案：D

解析:

本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正方體結(jié)構(gòu)特征的合理運(yùn)用.

平面4&D1與正方體的12條棱所成的角都相等，且平面4aD1與正方體的6個(gè)面所成較小的二面角

都相等;直線4cl與正方體的12條棱所成的角都相等，且直線AC】與正方體的6個(gè)面所成的角都相等.

解：如圖,連接4區(qū),AD1,則4-5為正三棱錐,

則冬名、4劣、與平面4位。1所成角相等，

則存在一個(gè)平面ABiDi與正方體的12條棱所成的角都相等，故①正確；

正三棱錐41-AB1%的三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等，

則存在一個(gè)平面與正方體的6個(gè)面所成較小的二面角都相等，故②正確;

存在一條直線4G與正方體的12條棱所成的角都相等，故③正確；

存在一條直線ZG與正方體的6個(gè)面所成的角都相等，故④正確.

故選：D.

7.答案：B

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱的體積，類比推理，其中得到拓展到空間后，將平面區(qū)域聞={(%、)|0-

d)2+y2式產(chǎn)}(其中0<r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓(x-d)2+

y2=N為底面，以圓心(d,0)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長(zhǎng)27rxd為高的圓柱的體積是解答的關(guān)鍵.

根據(jù)已知中圓環(huán)的面積等于是以線段4B=R-r為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心。旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的

周長(zhǎng)27rx然為長(zhǎng)的矩形面積.拓展到空間后，將平面區(qū)域用={。,丫)|0-4)2+丫2式「2}(其中0<

r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：以圓(乂一內(nèi)2+丫2=，為底面，以圓心

(d,0)繞)，軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長(zhǎng)2兀xd為高的圓柱的體積.代入可得答案.

解：由己知中圓環(huán)的面積等于是以線段4B=R-r為寬，

以AB中點(diǎn)繞圓心。旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長(zhǎng)2兀x個(gè)為長(zhǎng)的矩形面積.

拓展到空間后，將平面區(qū)域M={(x,y)|(x-d)2+y2<1}(其中0<r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，

則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)等于：

以圓(x-d)2+必="為底面，以圓心(d,0)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓的周長(zhǎng)2兀xd為高的圓柱的體

積.

故V=nr2-2nd=2it2r2d,

故選8.

8.答案：C

解析:

本題考查了正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出三棱柱的底面是計(jì)算棱柱高的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

分別取過(guò)C點(diǎn)的三條面對(duì)角線的中點(diǎn)，則此三點(diǎn)為棱柱的另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn),

利用中位線定理證明.

于是三棱柱的高為正方體體對(duì)角線的一半.

解：連結(jié)&C,AC,BCD]C,

分別取AC,BQOiC的中點(diǎn)E,F,G,連結(jié)E凡EG,FG.

由中位線定理可得PE=&C，QF=ArC'RG=41c.

乂41c_L平面PQR,.?.三棱柱PQR-EFG是正三棱柱.

二三棱柱的高九=PE=-ArC=—.

212

故選C.

9.答案：D

解析：

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及點(diǎn)到面的距離,解題時(shí)將已知條件轉(zhuǎn)化為初=A（AB+ACy從而

出確定。點(diǎn)的位置，再利用正四面體的結(jié)構(gòu)特征求解即可.

解：■.■SD=SA+A^2AB+BCy

.-.AD=X（AB+ACy即點(diǎn)。在△力BC中BC邊的中線上，

易知當(dāng)。為△ABC重心時(shí)，SD1平面ABC,此時(shí)S￡）最短.

延長(zhǎng)AO交2c于E,連接SE,分別過(guò)A、。作4NJ.SE于N,。"_LSE于M,

易證4N1平面SBC,DM，平面SBC,：.AN//DM,

???。為AABC的重心，.??OE=.E,DM="N.

???點(diǎn)D到平面SBC的距離。例為四邊體S-ABC高的三分之一.

E為8C中點(diǎn)，SE±BC,AE=SE=V22—I2=V3，

DE=-AE=—,

33

.?.在Rt△SDE中，SD=yJSE2-DE2=—,

3

即正四面體的高為獨(dú).

3

“A”12遍2V6

339

故選。

A

解析：解：對(duì)于A，圓錐的軸截面都是以母線為腰，以底面直徑為底邊的等腰三角形，故A正確；

對(duì)于8,圓柱過(guò)母線的截面為矩形，一邊為圓柱的高，另一邊為圓柱底面圓的弦，

???當(dāng)另一半為底面直徑時(shí)截面最大，故B正確；

對(duì)于C,設(shè)圓錐任意兩條母線的夾角為。，則過(guò)此兩母線的截面三角形面積為而，

.??當(dāng)圓錐軸截面的頂角為鈍角，則當(dāng)。=］時(shí)，過(guò)頂點(diǎn)的截面中面積最大，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，球心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球被平面分成兩部分，截面為圓，故。正確.

故選C.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析判斷.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體（圓錐、圓柱、圓臺(tái)）的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，是解答

本題的關(guān)鍵.

11.答案：C

解析：

本題考查圓柱，圓錐，球的體積，考查空間想象能力，屬于較難題.

由題意小球滾動(dòng)形成的幾何體為圓柱和兩個(gè)半球，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到左側(cè)與圓錐相切時(shí)畫出軸截面，求

出碰觸不到的長(zhǎng)度AC,即可由容器體積減去小球滾動(dòng)形成幾何體的體積得解.

解：小球滾動(dòng)形成的幾何體為圓柱和兩個(gè)半球，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到左側(cè)與圓錐相切時(shí)，其軸截面如圖所

75,

由題意知ZOAB3()，OB=1,則跋=2,

所以4c=1,因?yàn)?D=2,

所以ANADcotCUr=瓜、CN=AN-AC=痘一\，

小球滾動(dòng)形成圓柱的高為10+V3-l-2=7+V3,

所以小球滾動(dòng)形成幾何體的體積為:

［兀"x(7+遮)+*手兀,

30+

公寄=7TXl2X10+7X7rXl2Xx/3------7T，

3

5-2\/3

無(wú)法碰觸到的空間部分的體積為「—----------7F?

故選C.

12.答案：A

解析：

本題考查了學(xué)生一定的空間想象能力，是一個(gè)中檔題.根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的展開圖可知其側(cè)面圖形形狀.

解：將一個(gè)底面半徑為1的圓柱被平面截開所得的幾何體，截面與底面所成的角為45。，

所得圖形是一個(gè)橢圓，

可得過(guò)圓柱的軸的平面截該幾何體所得的四邊形48夕月,為矩形，

若沿A4'將其側(cè)面剪開,

所得圖形應(yīng)為正弦曲線,

故選A.

13.答案：B

解析：

本題考查空間多面體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

逐一判斷即可.

解：對(duì)于①，有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的兒何體也有可能不是棱柱，所以①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，如果側(cè)楞延長(zhǎng)線不共頂點(diǎn)，也可能不是棱臺(tái)，所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，底面是正多邊形，且側(cè)棱長(zhǎng)都相等的棱錐是正棱錐，所以③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)檎呅沃行牡礁黜旤c(diǎn)的距離和邊長(zhǎng)相等，所以六棱錐不可能側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等,

所以④錯(cuò)誤，

故選B.

14.答案：A

解析：

本題考查了本題考查正弦定理解三角形及三棱錐外接球的表面積，屬于中檔題.

由ccosB=(2a-b)cosC和正弦定理得cosC=[,由正弦定理求出三角形ABC的外接圓直徑，由勾

股定理求出三棱錐外接球的直徑.

解：設(shè)該三棱錐外接球的半徑為R.

由ccosB=(2a—b)cosC和正弦定理得sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC

所以sin(B+C)=2sinAcosC=sinA,

vsinA40,

1.7T

:.cosC=vCe(0,7T),-'-C=-,

由正弦定理，萼=2r,得三角形ABC的外接圓的半徑為r=3,

sin—

3

又???1面ABC,(PA)2+(2r)2=(2/?)2=4/?2=40,

所以三棱錐外接球的表面積為S=4兀/?2=40兀，

故選：A.

15.答案：8兀

解析：

本題考查簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，球的表面積和體

積，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空間想象能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于綜

合題.

由題意，設(shè)APAC的邊長(zhǎng)為a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再設(shè)APAC外接圓的圓心

為。1，三棱錐P-4BC的外接球的球心為0,求出POi和001，利用”=。1。2+p。｝求出”即可.

解：如圖，設(shè)APAC的邊長(zhǎng)為a,AB=%,BC=y,P

由題意，x2+y2=a2,除、

取AC的中點(diǎn)。，連接PO,則P014C,PD=-a，/；\

2/

過(guò)點(diǎn)P作PEJ?面4BC,垂足為E,連接E。,ACu面48C,PE1/；℃/\\

AC,PDC\PE=P,a、義\\

???/ICIffiPDE,FDcffiPDE,.-.AC1ED,/—B

"DE是二面角P—AC—B平面角的補(bǔ)角，

???二面角P-AC-B的余弦值為一在，

3

???cos/.PDE=—)則sin/PDE=—,

33

可得PE=PDxsin^PDE=—ax—=i(z,

232

???三棱錐P-ABC的體積U=|xSAABCxPE=|x|xyx|a,

x2+y2=a2>2xy,BPxy<y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，即％=y=亨時(shí)，取等號(hào)，

???UW2a3,...三棱錐p_ABC的體積最大值為j

243

?，?^a3=解得a=2,

243

設(shè)APAC外接圓的圓心為由,三棱錐P-4BC的外接球的球心為0,0為△力BC外接圓的圓心，則0。1

面ABC,0D1ED,乙PDE+z.0D0r=90°,

a反

:.sin/-0D01=cosZ-PDE=、，cosz.ODO1=tan/-0D01=V2,

Riling2nn2?於V32V3

133233

nn1nn1V3V3V3

133263

OO1=O1Dxtan/-ODO1=-axV2=-a=漁，

663

R2=Oi02+PO"=3+芍=2,

故三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4兀/?2=4兀X2=8兀.

故答案為87r.

16.答案：58

解析：

本題考查組合數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題.

立體幾何的頂點(diǎn)任取4個(gè)的情況有或種，再減去不符合要求的，即四點(diǎn)共面的情況，可得結(jié)果.

解：立體幾何的頂點(diǎn)任取4個(gè)的情況有或種，再減去不符合要求的，即四點(diǎn)共面的情況，

共面的情況有：表面上的六個(gè)面和六個(gè)對(duì)角面，

所以共有：4一12=蕊翳-12=70-12=58(種).

故答案為58.

17.答案：(1)［一：,+8)；

(2)3;

⑶著

(4)典甯

解析：

(1)本題考查線性規(guī)劃取值范圍，作出圖象，確定可行域，屬于基礎(chǔ)題.

做出可行域，求目標(biāo)函數(shù)的最大值，最小值即可得解.

解：y滿足則作出圖象，確定可行域如圖所示:

二直線y=2x和直線x+y=1的交點(diǎn)為4(],|),

即目標(biāo)函數(shù)z得最小值為z=x-y=i-|=-1,

故目標(biāo)函數(shù)z=x-y的取值范圍為[-],+8).

(2)本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系。

將設(shè)直線方程為工=77^+1,與拋物線方程y2=4%聯(lián)立，又由題可知而=2而，可解得m=立,

4

根據(jù)|48|=X]+&+P，解得|力9|=3.

解:???拋物線產(chǎn)=4x,

???焦點(diǎn)?(1,0).

設(shè)直線AB方程為x=rny+1,4(》1，'力，以如力)，

將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2-4my-4=0.

yi+丫2=4m,yry2=-4,①

■■AF=2FB

%=-2y2.②

聯(lián)立①和②，消去yi/2,得小=立.

直線A8方程為％=白+1,即y=2缶一2或，

聯(lián)立方程,2=2缶-2或，得8/一20x+8=0,

(yz=4%

可得XI+%2=p

Q

又|AB|=+x2+p=-,

已知|4F|=2\BF\,

可得|4F|=3.

故答案為3.

(3)本題主要考查球的截面面積，屬于基礎(chǔ)題.

先求出球心到截面的距離，然后求出截面的半徑即可.

解：易知，M,N分別為A。，CQ的中點(diǎn)，

正方體外接球半徑為立，

2

點(diǎn)D到平面PMN的距離為h=攻，

6

球心到平面PMN的距離為d=R-h=—,

3

所以截面圓的半徑為r=迎2一d2=*

所以截面面積為

綜上所述答案為言.

(4)本題主要考查正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

由題可知b+c=2a=4,結(jié)合三角形為銳角三角形，可求得|布「

解：由題可知b+c=2a=4,結(jié)合三角形為銳角三角形，

'b2+c2>4,

得：c2+4>h2,W|<b<l.

、b24-4>c2,

故而=“|而」+|宿二+2海.市及

11--------

=—v28—4bc

=d(b_2,+3G[V3,^).

故答案為[g,手).

18.答案：5

解析：

本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，圓柱體積的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及了分類

討論思想，屬于中檔題.

設(shè)出圓柱的長(zhǎng)和寬，然后可以寫出圓柱體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，分析出體積取最大值時(shí)，將自

變量的值代入計(jì)算，即可求出圓柱體積的最大值.

解：???矩形的周長(zhǎng)為3cm,

設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcw,則寬為(|-x)cm,其中xe(O,|),

設(shè)繞其寬旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱的底面半徑為xcm,高為(|-x)cm,

則圓柱的體積：V-TCR2-h=nx2(|~x),xe(0,|),

貝=-3TIX2+3nx=-3TTX(X—1),

當(dāng)P'>0,則OVxVl；

當(dāng)V'<0,Klj|>x>1；

即U=兀/(|一功在(o,i)上單調(diào)遞增，在。|)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=l圓柱體積取最大值，

此時(shí)V-]cm3,

故答案為最

19.答案：67r

解析：

本題主要考查簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征以及球的表面積，屬于中檔題.根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征可將其置

于長(zhǎng)方體中進(jìn)行求解.

解：由題意知，三棱錐可以放置在如下圖所示的長(zhǎng)方體中.

此時(shí)三棱錐的外接球即為該長(zhǎng)方體的外接球，

則該長(zhǎng)方體的中心。即為三棱錐P-ABC的外接球的球心.

在該長(zhǎng)方體內(nèi)，

2P0=y/PA2+PB2+PC2

=l1(PX2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2)

=J^AB2+BC2+AC2),

又因?yàn)?B=g,BC=V5，AC=2,

所以p。4.

即三棱錐的夕卜接球的半徑為今

2

故三棱錐P-4BC的外接球的表面積為s=4兀xg)=67r

故答案為67r.

20.答案：②③④⑤

解析:

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征,逐一判斷即可.

解：當(dāng)a6(0,9時(shí)，截面與B'C'有交點(diǎn)，所以截面不是三角形，故①錯(cuò)；

當(dāng)。=:時(shí)，即N為BC的中點(diǎn)，

所以MN〃AC,

mAC//A'C,

所以MN〃&C',MN=：A'C',

所以M,N,4,C四點(diǎn)共面，

所以截面為等腰梯形，

故②對(duì)；

當(dāng)ae?")時(shí)，截面與C'D',CC,BC均有交點(diǎn)，所以截面為五邊形，故③對(duì)；

當(dāng)a=l時(shí)，截面與C'。'的交點(diǎn)是C'。'的中點(diǎn)H,易知AH〃MN,A'H=MN且A'M=NH,故截面為

菱形，故④對(duì)；

當(dāng)a6(1,2)時(shí)，截面與CO,C'D'有交點(diǎn)，設(shè)與CO交于P,與C'。'交于0,

因?yàn)榱?Q〃MP,A'Q=MP,

所以截面為平行四邊形，故⑤對(duì)；

當(dāng)a=2時(shí)，截面與CD,C'D'有交點(diǎn),設(shè)與8交于P,與C'D'交于Q,

但是得不到NP4M=90°,

所以不是長(zhǎng)方形，故⑥錯(cuò).

故答案為②③④⑤.

2L答案，3(.+i)

解析:

本題三棱錐外接球問(wèn)題，考查三棱錐P-ABC的內(nèi)切球，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，空間想象

能力，正確求體積是關(guān)鍵.屬于中檔題.

由三線垂直聯(lián)想正方體，利用外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，容易得解.

利用三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的球心，將三棱錐分割成4個(gè)三棱錐，利用等體積，即可求得結(jié)論.

解：由PA、PB、PC兩兩互相垂直，且H4=PB=PC=2,

可知該三棱錐為正方體的一角，其外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R=28，

R=V3.

設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑為八球心為。，

則由等體積VB-PAC=^O-PAB+%-PBC+^O-PAC+^O-ABC

可得工x-x2x2x2=3xix-x2x2xr+-x—x8xr,

故答案為及%.

22.答案:⑴手

(2)①②④

(4)若/1a,I1m,則m//a

解析：

【試題解析】

(1)此題考查點(diǎn)到面的距離，考查線面垂直的判斷，及三棱錐的體積公式，關(guān)鍵是利用體積相等列方

程，是中等題.

解：三棱錐4-BCD中，AD,BD,CQ兩兩垂直，BDCCD=D,BD,CDu平面BDC,

則AO，平面BOL，點(diǎn)A到平面BDC的距離為4。=1,

E為4c的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面。尸C的距離為土

又AC=BC=J12+(V3)2=2-

AB3,EFmAB吟DE=DF=1,

所以幾由小學(xué)、卜_囹普,

設(shè)點(diǎn)C到平面DEF的距離為d,

又%-CDF=^C-DEF)|X|X|X遮x1=1x^Xd，

所以d=W.

7

故答案為豆.

7

(2)本題考查了線面平行、垂直的判定定理，線面角的定義，異面直線所成角的定義等應(yīng)用，考查知

識(shí)廣泛，綜合性強(qiáng)，熟練掌握定理、定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

根據(jù)題干一一判斷即可.

解：連接S。，如圖：

?.?四棱錐S-4BCD的底面為正方形，

AC1BD、AB=AD=BC=CD、AC=BD,

vSD，底面ABCD,???SD1AC,

vSDCBD=D,；.AC1平面SBD,

vSBu平面SBD,ACA.SB,則①正確；

??-AB11CD,ABC平面SCD,CDu平面SCD,

4B〃平面SCZ),則②正確；

-AB//CD,

??/SCD是A8與SC所成的角，乙SAB是。。與SA所成的角，

SDA=△SDC,???SA=SC,

vAB=CD,SB>SD,

:工SCD才乙SAB,則③不正確，

vDB為四邊形ABC。的角平分線，

又?.,四棱錐S-ABCD的底面為正方形

???二面角B-SD-C=NBDC=45、

故④正確，

故答案為：①②④.

(3)

本題主要考查線面、面面的平行和垂直的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

運(yùn)用線面、面面的平行和垂直的判定和性質(zhì)解答即可.

解：①錯(cuò)誤,若m〃夕，mln,則n〃￡或n10或"與0斜交或nu0；

②正確.根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)可得；

③錯(cuò)誤.由a〃夕，m//p,可得?n〃a或mua；

④正確.由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)可得.

故正確命題的個(gè)數(shù)為2.

故答案為2.

(4)

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔

題.

根據(jù)線面平行的判斷即可得到答案.

解：由/,根是平面a外的兩條不同直線，

可知：由線面平行的判定定理，

得：若I1a,I1m,則m〃a,

故答案為：若11a,/1m,則m〃a.

23.答案：：，7T

解析:

本題考查了旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球）及其結(jié)構(gòu)特征和圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積、表面積和

體積.

利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征得圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，再利用圓錐的表面積公式計(jì)算得結(jié)論.

解：因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，其面積為百，

若等邊三角形的邊長(zhǎng)為“，則3。2=b，解得a=2,

4

因此這個(gè)圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,

所以這個(gè)圓錐的全面積等于TTxF+；xx1x2；3k.

故答案為3人

24.答案：①③

解析：

本題考查三棱錐的體積、異面直線的夾角和線面角，屬于較難題.考查空間想象能力、推理能力和計(jì)

算能力.逐個(gè)判斷即可求解.

解：設(shè)底面圓的圓心為0.

對(duì)于①，當(dāng)BOJ■平面APQ時(shí)，三棱錐P—4BQ體積的最大，PQ=3,A0=1,BO=1,

則三棱錐P-4BQ最大體積為:xix3xlxl=1,故①正確；

對(duì)于②，當(dāng)B。，平面APQ時(shí)，直線PB與平面PAQ所成角的最大，最大角為NBP0,且

shiABPO-黑之坐，顯然②錯(cuò)誤；

對(duì)于③和④，建立如圖所示的ko空間直角坐標(biāo)系：

則Q(0,0,-l),A(l,0,0),P(0,0,2),設(shè)B(x,y,0),且*2+產(chǎn)=1,

則的=(-x,-y,-l\AP=(-1,0,2)，

__h一21一2

昕D1<的?療>=/-----=-7=

所以“+.+”(—1)2+22用，

則sin<BQ、力心>=],由于xG[-1,1]>

則sin<囪,R>€[粵，紅變)，故③正確，④錯(cuò)誤.

綜上，正確的結(jié)論有①③.

故答案為①③.

25.答案:9

解析：

本題考查了三棱錐的外接球及球的體積，易知三角形AOB為直角三角形，可知三棱錐P-AOB的外

接球球心在過(guò)4B中點(diǎn)且垂直底面的直線上，即PA中點(diǎn)M,求解就容易了.

解：如圖，

???底面ABC。為菱形，

???OA10B,

?-■4B中點(diǎn)%為440B的外心，

取PA中點(diǎn)M,

則MN〃PB,MN=gPB,

vPB1底面ABCD,

：.MN1底面ABCD,

M為三棱錐P-4。8的外接球球心,

PB=1,/-APB；,

??.AP=2,

???三棱錐p-AOB外接球半徑為i,體積為了.

J

故答案為.

26.答案：87r

解析:

本題考查簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，球的表面積和體

積，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空間想象能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于綜

合題.

由題意，設(shè)APAC的邊長(zhǎng)為a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出e再設(shè)△P4C外接圓的圓心

為。1，三棱錐P-ABC的外接球的球心為。，求出POi和。。「利用R2=。1。2+p?,求出R2即可.

解：如圖，設(shè)△P4C的邊長(zhǎng)為a,AB=x,BC=y,

由題意，x2+y2=a2,

取AC的中點(diǎn)。，連接PO,則PO14C,PD=—a，

2

過(guò)點(diǎn)P作PE1SABC,垂足為E,連接ED,ACu面ABC,PE1

AC,PDaPE=P,

ACPDE,EDcffiPDE,.-.AC1ED,

"DE是二面角P-AC-B平面角的補(bǔ)角,

???二面角P-AC-B的余弦值為一些，

3

???cosdDE=—.貝UsinZPDE=―,

33

可得PE=PDxs\nZ.PDE=—ax—=i,

232a

三棱錐P-ABC的體積V=|xSAABCxPF=|x|xyx|a,

x2+y2=a2>2xy,BPxy<y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，即x=y=尊時(shí)，取等號(hào),

.?/?洛:三棱錐P—4BC的體積最大值垮

??.)3/解得0=2,

設(shè)4PAC外接圓的圓心為?！溉忮FP-ABC的外接球的球心為0,0為△力BC外接圓的圓心，則0D1

面ABC,AOD1ED,"DE+^0D01=90°,

???sin/-ODO1=cosZ-PDE=cosz.ODO1=三，tanZ-ODO1=V2,

lilllnc2八2、,小W273

則POi=-nPD=-x—a=—a=——，

133233

cn1nn1W近

。1D=~PD=-x—Q=—a=—，

133263

。。1=0]Dxtan/-ODO1=—axV2=—a=—?

663

R2=O^+POl=|+Y=2,

故三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4兀辟=4兀x2=87r.

故答案為87r.

27.答案:解：（1）取CG的中點(diǎn)凡連接D/,B凡在正方體4BCD-4B1GD1中，DDi〃CG，DDi=CC「

D\E〃CF,D\E=CF,

四邊形ECFDi為平行四邊形，所以EC〃D]F,

異面直線CE和B￡）i所成角或其補(bǔ)角，

在ABD/中，BF==炳,BD、=273.

根據(jù)余弦定理得COS4B5F=2蓑:鼻=?，

所以異面直線CE和BQ1所成角余弦值為手.

（2）在正方體/BCD-48傳1。1中，BD[1面AB]C，

連結(jié)8。交AC于。，連EO,EO//BD],E0上面AB[C,

2

E0=”％=V3,SAAB1C=248/=9x（2A/2）=2遮,

%而體心叫=VE-ABC=3*2\/3x《=2