期末檢測試卷（一）

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.命題'TxGR,如一爐+1>0”的否定是（）

A.SxGR,RT+1O

B.VxGR,R—9+iwo

C.BxeR,VT+IWO

D.不存在xGR,x3—x2+l>0

『答案』B

『解析』根據(jù)命題的否定知，3xGR,x3—r+1>。的否定為vxWR,%3—r+lWO,故選

B.

2.如果〃<從0,那么下列不等式成立的是（）

『答案』D

『解析』由于a<〃<0,不妨令。=-2,h=—\,

.'.->7,故A不正確.

2

可得燦=2,6=1,：.ab>b9故B不正確.

可得一〃〃=—2,一〃2=—4,—ab>—a2,故C不正確.

故選D.

25

3.若正實數(shù)小人滿足lga+lgb=l,則"飄最小值為（）

A.正B.2吸C.乎D.2

『答案』D

『解析』由正實數(shù)〃，/?滿足lg〃+lg/?=l,得〃b=10,

則由基本不等式有介於2羽=2,

2=￡

當(dāng)且僅當(dāng)"即"=2,人=5時等號成立.

0b=10,

故選D.

4.已知角a終邊上一點例的坐標(biāo)為（1,?。瑒tsin2a等于（

A.”B，2

『答案』

『解析』由角a終邊上一點M的坐標(biāo)為（1,小）,

得sina=2>cosa=],

故sin2a=2sinacos

故選D.

5.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液

中酒精含量低于20mg的駕駛員可以駕駛汽車，酒精含量達到20?79mg的駕駛員即為酒后

駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量

上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那

么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛汽車？（）

（參考數(shù)據(jù)：lg0.2=?-0.7,lgO.3=-0.5,lgO.7=-0.15,1g0.8^-Q.l）

A.lB.3C.5D.7

『答案』C

『解析』因為1小時后血液中酒精含量為（1—30%）mg/mL,

x小時后血液中酒精含量為（1—30%尸mg/mL,

由題意知100mL血液中酒精含量低于20mg的駕駛員可以駕駛汽車，

所以（1-30%尸<0.2,

0.7v<0.2,

兩邊取對數(shù)得，

lg0.7x<lg0.2,

1g0.214

A>lg0.7=手，

所以至少經(jīng)過5個小時才能駕駛汽車.

故選C.

6.若函數(shù)>—1（0<4<1）的圖象和X軸有交點，則實數(shù)，〃的取值范圍是（）

A.[1,+8）B.（0,I）C.（一8,|）D.ro,l）

『答案』D

『解析』函數(shù)》=。國+初-1（0<4<1）的圖象和X軸有交點，

等價于函數(shù)的圖象與y=\-m的圖象有交點，

0<a<l時，0</Wl,

即Ovl—"?W1,解得04%<1,

即實數(shù)機的取值范圍是ro,i）,

故選D.

7.已知函數(shù)2,若丹2〃—5〃+4）勺（層+〃+4）,則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（-8,加（2,+°°）B.[2,6）

C（O,5U『2,6）D.（0,6）

『答案』C

『解析』易知函數(shù)負x）=q三的定義域是行，+8）,在定義域內(nèi)是增函數(shù)，

所以由5a+4）勺（〃2+。+4）得2W2q2—5。+4<屋+。+4,

解得Ovawg或2W〃<6.

故選C.

8.已知cosa=g,cos（）?—a）=?且。<在<小<兀，則cos夕等于（）

送J32^3口述

lx.9D,3Vx.9J-/.9

『答案』D

『解析』vcosa=yCOS0-a）=￥，且0<用<。<兀，

一兀〈夕—Q〈0,

72V2,sin(//—a)=~k/l—|y[6

sina=

5=33，

.".cos^?=cos^(fi—a)+al

=cosQ3—a)cosa—sin(/?—a)sina

=￥，故選D.

-3X33X

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得

3分，有選錯的得0分）

9.下列四個命題：其中不正確的命題是（）

A.函數(shù)次x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（-8,0J上單調(diào)遞增，則7U）在R上是增函數(shù)

B.若函數(shù)與x軸沒有交點，則左一8a<0且a>0

C.當(dāng)a>b>c時,則有bc>ac成立

D.y=1+x和y=N（l+x）2不表示同一個函數(shù)

『答案』ABC

[x,xWO,

『解析』ZU）={,滿足在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（-8,0』上單調(diào)遞增，但

llnx,x>0,

./U）在R上不是增函數(shù)，A錯；

。=〃=0時，於）=2,它的圖象與x軸無交點，不滿足廿一8々<0且G>0,B錯；

當(dāng)?shù)玞=0時，ac=bc,不等式Z?c>ac不成立，C錯；

y=7（1+x）2=|x+11,與y=x+1的對應(yīng)關(guān)系不相同，值域也不相同，不是同一個函數(shù)，D正

確.

10.已知Q<a<b<\,則下列不等式成立的是（）

A.R）"OB.ln〃>lnb

小1-11

c^b

『答案』ACD

『解析』因為0<a<Xl,y=（g>為減函數(shù)，

所以融母

因為y=lnx為增函數(shù)，

所以Ina<lnb<09

又因為y=：在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0,+8）上也單調(diào)遞減，

所以6同理可得，*，

故選ACD.

11.下列選項中，值星的是（）

,JI57r

A.cos72°cos36°B.siny^sin適

C---+小D---cos215°

^,sin50。Teos50°u333si’

『答案』AB

“c-c2sin36°cos36°cos7202sin72°cos72°sin14401

『解析』對于ACOS36COS72=荷蘇=4sin36。=而而=*

八.兀兀.兀

n_2sini2C0S12_Sin6_l

兀.5兀,n

對于B,sinY^smj^=siny^cos12=2=~2^=4'

'cos50。+坐sin50°.。八。

cos50°+小sin50°22__________sm80°sin80。

對于C,原式=sin50°cos50°

^X2sin50°cos50°；sin100°

121

對于D,—3cos215°=—(2cos215°—1)

=-geos30°

6,

d+7r-+n

12.已知函數(shù)凡i)=、弁］(x￡R)的值域為加,+8),則實數(shù)。與實數(shù)機的取值可能為

()

A.a=0,m=0B.a=l,m=1

C.〃=3,"z=3D.4=q^,m

『答案』ABD

j^+lj^+a(/+1)2+。一1a—1

『解析』

府尸XM=/+1+W,

(1—］

設(shè)/+1=E,121,貝Uy=f+-^―.

當(dāng)。=0時，y=f—7在(1,+8)上單調(diào)遞增，，=1時，y=0,故y￡『0,+°°),A正確；

當(dāng)。=1時，y=，在『1,+8)上單調(diào)遞增，/=1時，y=if故門，+8),B正確；

當(dāng)a—3時，y=H"］在［1,5)上單調(diào)遞減，在［y/2,+8)上單調(diào)遞增，故＞min=2&,C

錯誤；

當(dāng)。=立時，y=f+￡1在r1,+8)上單調(diào)遞增，r=l時，y=小,故yC『正，+°°),

D正確.

故選ABD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.1g4+lg25-(0.5-2-2)X的值是.

『答案』-1

995

『解析』原式=lg100-2*^=2—2=-].

14.已知“〉0,b>0,a+2b=4,則的最小值為,[+/的最小值為.(本題

第一空2分，第二空3分)

B4n3+2\/2

『答案』2

『解析』a+%2aj=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=5即。=1時“=”成立;

鴻就+加+2力)

+2+河2h）#+2飛雷_3+2也

下十B4

a=4y[2—4f

當(dāng)且僅當(dāng)即「時"=”成立.

g=*。=4一2班

15.己知集合A={xk<a},B={x\\<x<2},且AU([RB)=R,則實數(shù)a的取值范圍為

『答案』{。1介2}

『解析』由題意，集合A={xk<a},8={x[l<x<2},可得(RB={x|xW1或x>2},

又由AU([RB)=R,所以a22.

16.設(shè)常數(shù)aGR,則方程優(yōu)+a|e'=l的解的個數(shù)組成的集合是A=.

『答案』{123}

『解析』由題意得，|x+aW=l=|x+a|=V，設(shè)危)=Q},g(x)=k+a|,在直角坐標(biāo)系

中分別畫段)，g(x)的圖象,如圖所示,

所以方程解的個數(shù)可能為1或2或3.

故[答案』為{1,2,3}.

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(10分)已知p：函數(shù)兀r)=(。一根廠在R上是減函數(shù)，q：關(guān)于x的方程2"+。2—1=0

的兩根都大于1.

(1)當(dāng)機=5時，p是真命題，求a的取值范圍；

(2)若p為真命題是q為真命題的充分不必要條件，求m的取值范圍.

解（1）因為加=5,所以yu）=（q—5）],

因為p是真命題，所以0<。一5<1,所以5<a<6.

故。的取值范圍是（5,6）.

（2）若p是真命題，則Ovq—加<1,解得n;va<m+l.

關(guān)于x的方程A2—2or+〃2—1=0的兩根分別為a—\和a+\.

若夕是真命題，則。-1>1,解得a>2.

因為〃為真命題是q為真命題的充分不必要條件，

所以加22.

18.（12分）已知函數(shù)yU）=4§sin3x—rzcos3x+〃，且/（引=3.

⑴求。的值；

（2）求於）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

解（1）因為爺）=3,

所以小sin（3X^—〃COS（3><D+〃=3,

所以微+搟+〃=3,即,+方=3,解得a=l.

（2）由（1）可得危）=小$抽3x—cos3x+l

=2sin（3x—聿）+1,

則段）的最小正周期為T=y.

7T兀71

令2E-dW2E+],kGZ,

解得竽一/WxW竽+季kez,

故危）的單調(diào)遞增區(qū)間為警芳，竽+用，左ez.

19.（12分）已知函數(shù)於）=三普是定義在（一1,1）上的奇函數(shù)，且/自=|.

⑴試求函數(shù)7U）的『解析J式：

（2）證明函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù).

（1）解由#0）=0得匕=0,

由/（；）=|得"=1，

Y

所以yw=]+x2?

(2)證明任取X],X2?(-1,1),Xl<X2,

乃_/2X2(l+d)

i+x?-i+與一(1+")(]+章)

(X1—X2)+3X2*2—X)⑶—X2)(l—X1X2)

(1+A^)(1+X?)(1+XT)(1+A^)

*.*—\<X]<X2<1,.*.X]—X2<0,(1+J?)(1+A^)>0,

X|X2<1,1—XlX2>0,

，yu】)一yuovo,即XXI)<A%2),

?????=卡在定義域內(nèi)是增函數(shù)?

20.(12分)已知函數(shù)火x)=a'+以a>0,a#l),其中a,6均為實數(shù).

(1)若函數(shù)?r)的圖象經(jīng)過點A(0,2),8(1,3),求函數(shù))=六

的值域;

(2)如果函數(shù)7U)的定義域和值域都是r-l,U,求a+b的值.

解⑴函數(shù)危)的圖象經(jīng)過點A(0,2),5(1,3).

所[*以+6=2,解得(a=言2,所以所…

因為2*>0,2*+1>1,即為)>1,所以丁=六￡(0,1),

故的值域為(0,1).

J\^)

(2)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于a,〃的方程組求解.

當(dāng)時，函數(shù)汽%)=〃+/?在[-1,1J上單調(diào)遞增，

a~l+b=—1,。=也+1,

由題意得?解得，a+b=\,

a+b=\,b=一色,

當(dāng)(x〃<i時，函數(shù)式工)=爐+〃在r-i,u上單調(diào)遞減,

由題意叱+QT,a—yl2—1,

解得，

,=一隹

綜上，a+h=±l.

21.(12分)如圖，在半徑為小，圓心角為60。的扇形的弧上任取一點P,作扇形的內(nèi)接矩形

PNMQ,使點、Q在OA上，點N,M在08上，設(shè)矩形PNM。的面積為y

(1)按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式:

①設(shè)PN=x,將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)/尸08=