《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

【課標(biāo)解讀】

本小節(jié)介紹了曲線與方程、坐標(biāo)法、軌跡方程的概念，理解曲線的方程和方

程的曲線的意義，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

【教材分析】

1、教材的地位和作用：

《曲線與方程的概念》是人教B版選修2-1《圓錐曲線與方程》的第一節(jié)，

是在必修2第二章學(xué)習(xí)了直線方程與圓的方程的概念基礎(chǔ)上來(lái)進(jìn)一步研究的，在

討論曲線的方程和方程的曲線的概念后，介紹了坐標(biāo)法和解析幾何的思想，以及

解析幾何的基本問(wèn)題，即由曲線的已知條件，求曲線方程；通過(guò)方程，研究曲線

的性質(zhì)。曲線的方程和方程的曲線，是解析幾何的重要概念?！稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教

學(xué)中要重視曲線上的點(diǎn)集與方程的解集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思

想方法。是在了解直線方程和圓方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圓錐曲線方程，因此

它具有承上啟下的重要地位。

2、教材處理：

結(jié)合中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和本校學(xué)生的實(shí)際情況，《曲線與方程的概念》的新

課教學(xué)我安排一個(gè)課時(shí)，讓學(xué)生理解曲線與方程的概念，理解坐標(biāo)法的思想，能

根據(jù)已知條件列方程組求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)。

3、教學(xué)重難點(diǎn)：

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和大綱的要求，通過(guò)對(duì)教材的分析，結(jié)合本班學(xué)生的實(shí)際情

況確定教學(xué)重點(diǎn)：是曲線的方程和方程的曲線的概念，教學(xué)難點(diǎn)是了解曲線與方

程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

【學(xué)情分析】

《曲線與方程的概念》是學(xué)生在高一學(xué)習(xí)了直線方程的概念后，又掌握了圓

方程的求法，初步了解了坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的基本思想.但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析

幾何的時(shí)間還不長(zhǎng)、學(xué)習(xí)程度較淺，且對(duì)坐標(biāo)法的運(yùn)用還不夠熟練，對(duì)概念的理

解還有欠缺，在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問(wèn)題的能力,合作交

流的意識(shí)等方面有待加強(qiáng).

【教學(xué)目標(biāo)】

(1)知識(shí)目標(biāo)：①理解曲線與方程的概念；

②了解坐標(biāo)法思想，會(huì)求兩曲線的交點(diǎn)；

(2)能力目標(biāo)：①培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問(wèn)題的能力；

②加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解；

(3)情感目標(biāo)：①培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、合作交流的意識(shí)；

②培養(yǎng)學(xué)生求真務(wù)實(shí)、思維嚴(yán)密的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

【評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)】

本節(jié)課我以百歲山廣告引入，講了解析幾何的創(chuàng)始人笛卡爾，從數(shù)學(xué)史的

角度讓同學(xué)們了解數(shù)學(xué)的發(fā)展，利用數(shù)學(xué)家的切身事例對(duì)學(xué)生進(jìn)行勵(lì)志教育，點(diǎn)

燃本節(jié)課的學(xué)習(xí)熱情。然后引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)直線方程、方程的直線的概念。整節(jié)課

以“問(wèn)題串”的形式，循序漸進(jìn)，從直線到曲線，螺旋上升，使學(xué)生在問(wèn)題情景

中學(xué)習(xí)，通過(guò)問(wèn)題探究激發(fā)潛能，通過(guò)合作交流深化理解，通過(guò)自主學(xué)習(xí)體驗(yàn)成

功。符合新課程改革的理念，符合數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平。

【教學(xué)過(guò)程】

1：課前講述百歲山廣告的故事，以故事為背景說(shuō)明數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)，另

外普及了一下數(shù)學(xué)史的部分，讓同學(xué)們?nèi)W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家那種科學(xué)認(rèn)真的治學(xué)精神！

另外也對(duì)鐘愛(ài)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的同學(xué)起到勵(lì)志作用。

2：復(fù)習(xí)引入，復(fù)習(xí)必修2中直線的方程、方程的直線的概念。從實(shí)例入手，設(shè)

置問(wèn)題串，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到直線的方程與方程的直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系。寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程，認(rèn)識(shí)圓與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將直線與方程的概念問(wèn)題延伸到曲線與方程

的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，形成本節(jié)課的概念。

3：概念形成，給出曲線的方程、方程的曲線的概念，對(duì)概念進(jìn)行三條說(shuō)明，從

集合的角度去總結(jié)曲線上的點(diǎn)集與方程的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而形成了對(duì)曲線方

程的純粹性和方程曲線的完備性的認(rèn)識(shí)。

4：例1設(shè)置了幾種曲線，從曲線去判斷方程，看方程是不是所給曲線的方程。

不是的話原因是什么？不滿足哪一條？例2給出了幾個(gè)方程，從方程去判斷曲線

的形狀。有問(wèn)題發(fā)動(dòng)學(xué)生積極交流，比起老師一味說(shuō)教效果更好?？梢宰寖?yōu)秀的

小組進(jìn)行典型發(fā)言。發(fā)現(xiàn)不同做法，體會(huì)差異，產(chǎn)生智慧的火花。做得好的小組

要給予掌聲鼓勵(lì)。

5：本節(jié)課的另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是求兩條曲線的交點(diǎn)。首先認(rèn)識(shí)到兩條曲線的交點(diǎn)坐

標(biāo)需要滿足兩條曲線對(duì)應(yīng)方程所組成的方程組，因此求兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化

為去解兩曲線方程所組成的方程組問(wèn)題。知識(shí)形成之后，通過(guò)例3對(duì)方法進(jìn)行

小試牛刀，例4是證明圓系方程問(wèn)題，分兩步，先要理解給出的方程一定過(guò)兩圓

的交點(diǎn)，另外要去證明給出的方程是一個(gè)圓的方程，方法是把方程整理成圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程的形式。

6：對(duì)本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)，知識(shí)和思想方法兩個(gè)方面。接著進(jìn)行課堂檢測(cè)。

6：分層布置作業(yè)，一句哲理性的話語(yǔ)結(jié)束本節(jié)課，給每位同學(xué)一個(gè)美好的祝福：

【板書(shū)設(shè)計(jì)】

板書(shū)設(shè)計(jì)如圖所示，層次分明，重點(diǎn)突出。

§2.1.1曲線與方程的概念

三、例4

一、直線的方程

二、曲線與方程

【鞏固練習(xí)】

1、判斷下列命題是否正確

(D到x軸距離等于1的點(diǎn)組成的直線方程為y=l；

(2)到兩坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是y=x；

2、如圖，MA和MB分別是動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)的連線，求NAMB

為直角的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

附《問(wèn)學(xué)案》

1.2.1曲線與方程的概念

課型：新授課課時(shí)：第一課時(shí)

【課標(biāo)要求】

了解曲線與方程、坐標(biāo)法、軌跡方程的概念，理解曲線的方程和方程的曲線

的意義，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系

【考綱要求】

了解曲線的方程方程的曲線的概念，體會(huì)點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會(huì)“曲線的方程”與“方

程的曲線”的概念及其關(guān)系，并能作簡(jiǎn)單的判斷與推理

情境導(dǎo)入

畫(huà)出平分第一、三象限的直線，寫(xiě)出直線方程

問(wèn)題1：為什么這條直線的方程是X-產(chǎn)0?

問(wèn)題2:能否用V-y2=o表示？為什么？

能否用yJx-^ly-O表示？能否用|x|-y=O表示？

問(wèn)題3：寫(xiě)出以(a,6)為圓心，以r為半徑的圓方程，為什么這個(gè)方程是所求的圓的方程？

問(wèn)題4：將曲線記為C,方程尸況力=0,曲線C與方程尸況力=0滿足什么關(guān)系時(shí)可認(rèn)為

廠應(yīng)力=0是C的方程？

自學(xué)

內(nèi)容

給定曲線C與二元方程下應(yīng)力力，若滿足

(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)

那么這個(gè)方程F(x,y)=0叫做這條曲線C的方程，這條曲線C叫做這個(gè)方程的曲線

說(shuō)明：

1.曲線的方程一一反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系(代數(shù)形式)

方程的曲線一一反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形(幾何形式)

2.“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”，闡明曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn),

也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無(wú)例外.(點(diǎn)不比解多)

“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”，闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫

無(wú)遺漏.(解不比點(diǎn)多)

3.兩者間的關(guān)系：

點(diǎn)在曲線上0點(diǎn)的坐標(biāo)適合于此曲線的方程，曲線上的點(diǎn)與方程的解一一對(duì)應(yīng)。

要求

理解概念

互學(xué)'展學(xué)

內(nèi)容

完成例1,例2

要求

例1.判斷下列結(jié)論的正誤，并說(shuō)明理由.

(1)過(guò)點(diǎn)火3,0)且垂直于x軸的直線的方程為年3;

(2)到x軸距離為2的點(diǎn)的直線方程為尸-2

(3)到兩坐標(biāo)軸的距離乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為x尸1;

(4)ZU8C的頂點(diǎn)4(0,-3)、8(1,0)、C(-1,0),〃為況1中點(diǎn)，則中線AD的方程為x=0

變式訓(xùn)練：寫(xiě)出下列半圓的方程

例2.下列方程表示的曲線分別是什么？

⑴無(wú)一2=();

(2)(2x+3y-5)(7X-3-1)=0;

⑶|x|-l=1尸

展學(xué)、點(diǎn)學(xué)

內(nèi)容

怎樣求兩條曲線的交點(diǎn)？

由兩條曲線的方程，可求出這兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)。比如：已知兩條曲線C1和C2的方

程分別為

C]:F(,x,y)=0C2:G(x,y)=0

交點(diǎn)坐標(biāo)必須同時(shí)滿足上面的兩個(gè)方程。所以求這兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要求方程組

,("=0的解

G(x,y)=Q

要求

例3.求直線/：x+4y+7=0與曲線c：4x-V=o的交點(diǎn)坐標(biāo)

222

例4.已知兩圓G：x+y+6x-16=?,C2：X+/-4X-5=O,求證：對(duì)任一不等于

-1的實(shí)數(shù)A,方程x2+/+6x-16+2(x2+y2-4x—5)=。是通過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程。

思考與討論:：當(dāng)入=-1時(shí)，方程還是圓嗎？如果不是，應(yīng)表示什么圖形？與兩個(gè)已知圓有

什么關(guān)系？

課堂小結(jié)

1、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義；

2、曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來(lái)研究，即幾何問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.體現(xiàn)“以數(shù)論形”

的思想.

當(dāng)堂檢測(cè)

1、判斷下列命題是否正確

(1)到x軸距離等于1的點(diǎn)組成的直線方程為y=l：

(2)到兩坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是y=x；

2、如圖，MA和MB分別是動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)的連線，求NAMB

為直角的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

1.A層次完成課本35頁(yè)A組1-4題,

2.B層次完成課本35頁(yè)A組1-4題,課本36頁(yè)B組1-3題

學(xué)后反思

收獲

不足

改進(jìn)措施

學(xué)情分析

《曲線與方程概念》是學(xué)生在高一學(xué)習(xí)了直線方程的概念和圓的方程后，對(duì)

直線的方程、方程的直線有一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的.但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解

析幾何的時(shí)間還不長(zhǎng)、學(xué)習(xí)程度較淺，且對(duì)坐標(biāo)法的運(yùn)用還不夠熟練，在學(xué)習(xí)

過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問(wèn)題的能力,合作交流的意識(shí)等方面有

待加強(qiáng).

由于采取的是先學(xué)后教的“143”教學(xué)模式，應(yīng)該留給學(xué)生充分的時(shí)間做問(wèn)

學(xué)案。學(xué)案前一天自習(xí)結(jié)束上交，要當(dāng)天批改，摸清學(xué)生底細(xì)，以便教學(xué)中做到

有的放矢。切實(shí)掌握好學(xué)情。

效果分析

本節(jié)課是《曲線與方程的概念》，課前對(duì)教材、課標(biāo)和大綱進(jìn)行

了細(xì)致的研究，并對(duì)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維水平進(jìn)行了重點(diǎn)考查，確

定了本節(jié)的重點(diǎn)是曲線方程的概念.教學(xué)難點(diǎn)是了解曲線與方程的對(duì)

應(yīng)關(guān)系。

本節(jié)課采取了先學(xué)后教的“143教學(xué)模式”，學(xué)生課前先做問(wèn)學(xué)

案，學(xué)生通過(guò)自學(xué)，互學(xué)，展學(xué)獲取知識(shí)，實(shí)在不會(huì)的才通過(guò)老師的

點(diǎn)學(xué)來(lái)進(jìn)行指導(dǎo)。這正是我們平陰一中所倡導(dǎo)的自主學(xué)習(xí)。授之以魚(yú)

不如授之以漁。

數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題及創(chuàng)造能

力的載體。問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，是學(xué)生主動(dòng)探索的動(dòng)力.新課程倡導(dǎo)：

強(qiáng)調(diào)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)，把“數(shù)學(xué)

發(fā)現(xiàn)的權(quán)利”還給學(xué)生。本節(jié)課重視學(xué)生的親身體驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生主體

參與,讓學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)，真正成為學(xué)習(xí)的主人。通過(guò)設(shè)計(jì)“問(wèn)題串”，

讓學(xué)生在問(wèn)題情景中學(xué)習(xí)，通過(guò)問(wèn)題探究激發(fā)潛能，通過(guò)合作交流深

化理解，通過(guò)自主學(xué)習(xí)體驗(yàn)成功。從復(fù)習(xí)直線方程的概念到利用具體

例子總結(jié)出曲線方程滿足的條件，從而形成了曲線的方程、方程的曲

線的概念。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮,

極大的激勵(lì)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提高了他們提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的

能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新意識(shí)，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念。

正所謂“教無(wú)定法，貴在得法?！陛p松愉快的課堂是學(xué)生思維

發(fā)展的天地，是合作交流、探索創(chuàng)新的主陣地，是思想教育的好場(chǎng)所。

新課標(biāo)下的課堂是學(xué)生和教師共同成長(zhǎng)的舞臺(tái)！

教材分析

1、教材的地位和作用：

《曲線與方程的概念》是人教B版選修2T第二章《圓錐曲線與方程》中的

第一節(jié)，是在高一所學(xué)《平面解析幾何初步》的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究曲線與方程

的關(guān)系，是對(duì)坐標(biāo)法研究幾何的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，是解析幾何思想的進(jìn)一步應(yīng)用。通

過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)2《平面解析幾何初步》一章的學(xué)習(xí)，我們初步掌握了在直角坐標(biāo)系中

確定直線和圓的方程，并用方程研究直線和圓的幾何性質(zhì)的方法?，F(xiàn)在，我們以

此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步明確曲線與方程的概念。

2、教材處理：

結(jié)合中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和本校學(xué)生的實(shí)際情況，《曲線與方程的概念》的新

課教學(xué)我安排一個(gè)課時(shí)，讓學(xué)生了解曲線和方程、坐標(biāo)法、軌跡方程的概念，理

解曲線的方程和方程的曲線的意義，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3、教學(xué)重難點(diǎn)：

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和大綱的要求，通過(guò)對(duì)教材的分析，結(jié)合本班學(xué)生的實(shí)際情

況確定教學(xué)重點(diǎn)：曲線的方程、方程的曲線概念，教學(xué)難點(diǎn)是了解曲線與方程的

對(duì)應(yīng)關(guān)系。

《曲線與方程的概念》評(píng)測(cè)試題

1.如果曲線。上的點(diǎn)滿足方程產(chǎn)（x,力=0,則以下說(shuō)法正確的是（）

A.曲線。的方程是尸（x,y）=0B.方程/（x,y）=0的曲線是。

C.坐標(biāo)滿足方程F（x,力=0的點(diǎn)在曲線。上

D.坐標(biāo)不滿足方程F（x,力=0的點(diǎn)不在曲線。上

2.方程/+砂=》表示的曲線是（）

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條直線C.兩條直線D.一個(gè)點(diǎn)和一條直線

3.以（5,0）和（0,5）為端點(diǎn)的線段的方程是（）

A.x+y=5B.%+y=5（x>0）C.x+y=5（yNO）D.x+y=5（O?xK5）

4.直線y=x+2與曲線到=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為

5、點(diǎn)根（3,-4）,加2（-2遍,2）是否在方程/+：/=25表示的圓上？

6、已知方程/+y2=&的圓過(guò)點(diǎn)加3（77,加），求m的值.

思考題：7.曲線y=-石二區(qū)與曲線y+kW=0（awR）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一定是（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.0個(gè)D.與。的值有關(guān)

8.若曲線/一芍+2x+Z=0過(guò)點(diǎn)(。,一〃)(〃eR)求〃的取值范圍

《曲線與方程的概念》教學(xué)反思

這節(jié)課主要內(nèi)容是曲線與方程的概念。概念課是抽象枯燥的，為

了增強(qiáng)學(xué)生的思修延續(xù)性，首先復(fù)習(xí)了高一所學(xué)的直線方程、方程直

線的概念，又從具體的例子出發(fā)，讓學(xué)生的思考有著入點(diǎn)，遵循一一

般到特殊的認(rèn)知規(guī)律。如果學(xué)生掌握得好，后面的學(xué)習(xí)“圓錐曲線與

方程”會(huì)輕松許多。

概念形成之后，對(duì)概念進(jìn)行了思維辯析。從三個(gè)方面進(jìn)行了說(shuō)

明，首先是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，一個(gè)不多。其次是以方程

的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，毫無(wú)遺漏。最后說(shuō)明曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與

方程的解是一一對(duì)應(yīng)的。又從集合的角度加深理解。

例題教學(xué)的設(shè)計(jì)，主要加深對(duì)曲線方程的理解及一些簡(jiǎn)單的應(yīng)

用。例題安排不多，由淺入深，比較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這樣學(xué)生

接受起來(lái)比較容易。課堂檢測(cè)，是對(duì)本節(jié)課目標(biāo)落實(shí)情況的檢測(cè)，讓

學(xué)生明確本節(jié)課應(yīng)該到達(dá)什么樣的目標(biāo)。下面從四個(gè)方面反思本節(jié)課

的教學(xué)。

1、采取先學(xué)后教的“143教學(xué)模式”，大大提高教學(xué)效率。

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