項(xiàng)目四

控制系統(tǒng)的頻域分析4.0概述

時(shí)域分析信號(hào)不只和時(shí)間有關(guān)，還和頻率有關(guān)；則信號(hào)隨著不同頻率是如何變化？x(t)=50*sin(2*pi*50*t)+100*sin(2*pi*120*t);

時(shí)域分析時(shí)域內(nèi)要解微分方程，而頻域內(nèi)變成了求解代數(shù)方程；系統(tǒng)響應(yīng)性能不滿足工程要求時(shí)，如何調(diào)整系統(tǒng)？系統(tǒng)無(wú)法解析建模時(shí)，不能研究系統(tǒng)性能？時(shí)間、頻率和幅度的三維坐標(biāo)

頻域分析頻域分析：以輸入信號(hào)的頻率為變量，在頻域內(nèi)研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能關(guān)系的一種方法。系統(tǒng)的頻率特性又很容易和它的結(jié)構(gòu)、參數(shù)聯(lián)系起來(lái)；無(wú)需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向。頻域分析的優(yōu)點(diǎn)：可由微分方程或傳遞函數(shù)求得，也易于實(shí)驗(yàn)分析;可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。教學(xué)重點(diǎn)：頻率特性的基本概念，表達(dá)方法，頻率特性的繪制，系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷及相對(duì)穩(wěn)定性的衡量。教學(xué)難點(diǎn)：開(kāi)環(huán)幅相頻率特性圖的畫(huà)法，閉環(huán)頻率特性的求法，頻率特性和時(shí)間響應(yīng)的關(guān)系1、理解頻率特性的概念；熟練掌握Nyquist圖和Bode圖的一般繪制方法；熟記典型環(huán)節(jié)的頻率特性曲線。2、熟練運(yùn)用Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；熟練運(yùn)用Bode圖分析系統(tǒng)性能。3、掌握閉環(huán)頻率特性的概念，頻域中的性能指標(biāo)，穩(wěn)定裕度的概念。4、了解最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)的概念；并能用開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5、掌握用頻率特性實(shí)驗(yàn)法辯識(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。教學(xué)目的：任務(wù)4.1頻率特性

系統(tǒng)的頻率特性指系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所輸入正弦信號(hào)頻率之間的依賴(lài)關(guān)系。一、頻率特性的概念

設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，由勞斯判據(jù)知當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定。K0＜K＜30

給系統(tǒng)輸入正弦信號(hào)，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=1【FZ1】曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號(hào)，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=2曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號(hào)，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=3曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號(hào)，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=5曲線如下:

給系統(tǒng)輸入正弦信號(hào)，保持幅值不變，增大頻率Ar=5ω=10曲線如下:

結(jié)論：給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個(gè)正弦信號(hào)，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。

對(duì)于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和y(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點(diǎn)。一般系統(tǒng)正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸入輸出

若：則：拉氏反變換為：

若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：式中，分別為：

而式中：Rm

、Ym分別為輸入、輸出信號(hào)的幅值。

上述分析表明，對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個(gè)正弦信號(hào)，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移動(dòng)了。和 都是頻率的函數(shù)。正弦輸入曲線頻率響應(yīng)曲線定義1：

系統(tǒng)或環(huán)節(jié)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入函數(shù)之比為頻率特性。x=Asinωt

G(s)y(t)

A是幅值，ω是角頻率.穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是頻率的函數(shù)。二、頻率特性的定義

由于這種簡(jiǎn)單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。定義2：線性定常系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，定義為系統(tǒng)的頻率特性，即從數(shù)學(xué)意義上，頻率特性與傳遞函數(shù)存在下列簡(jiǎn)單的關(guān)系或者幅角形式頻率特性一般是復(fù)變函數(shù)，所以可以表示為指數(shù)形式

記，稱(chēng)為幅頻特性，，稱(chēng)為相頻特性。頻率特性也可以表示為代數(shù)形式

還可將寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式，即

這里和分別稱(chēng)為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。

對(duì)于一般線性定常系統(tǒng)，在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是一個(gè)同頻率的正弦信號(hào)。據(jù)此，在控制理論中，可得到更具有明顯物理意義的頻率特性定義。

幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：

線性定常系統(tǒng)在正弦輸入作用下，輸出量的穩(wěn)態(tài)分量的復(fù)相量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)相量之比，定義為系統(tǒng)的頻率特性，即定義3：實(shí)驗(yàn)測(cè)定頻率特性

用頻率或超低頻信號(hào)發(fā)生器，作為輸入信號(hào)加在系統(tǒng)的輸入端，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，同時(shí)記錄系統(tǒng)輸入和輸出數(shù)據(jù)。找到在此刻頻率下的幅值比和相位差。然后改變?chǔ)兀鹨挥涗汢、A(ω)和φ(ω)，就獲得了頻率特性。

直接用頻率特性測(cè)試儀測(cè)取，直接在X-Y記錄儀上顯示或。φ方法①方法②

頻率特性的性質(zhì)①

與傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定了，則系統(tǒng)的頻率特性也完全確定。

②

頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)則無(wú)法直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的穩(wěn)態(tài)分量（從全解的形式中理解）總可以分離出來(lái)，而且其規(guī)律并不依賴(lài)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來(lái)分析研究系統(tǒng)，包括它的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。系統(tǒng)微分方程的全解＝齊次通解+穩(wěn)態(tài)特解這個(gè)穩(wěn)態(tài)特解就是穩(wěn)態(tài)分量，即頻率特性定義中要用到的量。③

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。當(dāng)輸入量頻率

改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（

）和它們的相位移

（

）也隨之改變。所以A（

）和

（

）都是

的函數(shù)。這是由于系統(tǒng)中的儲(chǔ)能元件引起的。④

實(shí)際系統(tǒng)的輸出量都隨頻率的升高而出現(xiàn)失真，幅值衰減。所以，可將實(shí)際系統(tǒng)看成一個(gè)“低通”濾波器。⑤

頻率特性可應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)的分析中去。⑥

頻率特性有明確的物理意義，可以用實(shí)驗(yàn)的手段準(zhǔn)確地得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)未知時(shí)，可以通過(guò)測(cè)量頻率響應(yīng)來(lái)推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；⑦頻率特性正好是線性系統(tǒng)的富立葉變換。

微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

到此，我們給全了線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的三大表示體系。實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性三、頻率特性的幾種表示方法1、頻率特性的數(shù)學(xué)表示極坐標(biāo)系（一）解析表示（二）圖示（幾何）表示1、極坐標(biāo)圖——Nyquist圖（又叫幅相頻率特性、或奈奎斯特圖，簡(jiǎn)稱(chēng)奈氏圖）2、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖——Bode圖（伯德圖）3、復(fù)合坐標(biāo)圖——Nichocls圖（尼柯?tīng)査箞D，或尼氏圖），一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。三、頻率特性的幾種表示方法它是在復(fù)平面上用一條曲線表示由時(shí)的頻率特性。即用矢量的端點(diǎn)軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線上的任意一點(diǎn)可以確定實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性。四、頻率特性的圖像（1）極坐標(biāo)圖（乃奎斯特圖或簡(jiǎn)稱(chēng)乃氏圖）

極坐標(biāo)圖是以開(kāi)環(huán)頻率特性的實(shí)部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以w為參變量畫(huà)出幅值與相位之間的關(guān)系。注意：這個(gè)圖表示的是G(jw)平面，而不是s平面。

乃氏圖的優(yōu)點(diǎn)：它可以在一張圖上描繪出整個(gè)頻域的頻率響應(yīng)。

不足：計(jì)算非常繁瑣；不直觀，無(wú)法明顯地看出每個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的影響；增添了新的零點(diǎn)或極點(diǎn)時(shí)，只能重新計(jì)算；看不出ω的變化速度。由于幅頻特性是w的偶函數(shù)，而相頻特性是w的奇函數(shù)，所以當(dāng)w從0→∞的頻率特性曲線和w從－∞→0的頻率特性曲線是對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸的。

極坐標(biāo)圖（乃氏圖）為偶函數(shù)；為奇函數(shù)。

………………極坐標(biāo)圖（乃氏圖）的繪制（1）基本法（幅值與相角法）作表格在復(fù)平面上找到相應(yīng)的點(diǎn)，用光滑曲線連起來(lái)。表1

幅相表………………

（3）找特殊點(diǎn)找到幾個(gè)特殊點(diǎn)繪制大致圖形若存在漸近線，找出漸近線，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖。

（2）求實(shí)部、虛部（實(shí)部虛部法）分別計(jì)算的實(shí)部和虛部，在復(fù)平面上找到相應(yīng)點(diǎn)，用光滑曲線連起來(lái)。

對(duì)數(shù)幅相圖又稱(chēng)為尼氏圖，對(duì)數(shù)幅相圖采用直角坐標(biāo)系，其中取幅頻特性的對(duì)數(shù)為縱坐標(biāo)，單位為分貝（dB），線性分度，取相頻特性做橫坐標(biāo)單位為度（），線性分度，對(duì)數(shù)幅相圖是以頻率為參變量的。一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析中。

（2）對(duì)數(shù)幅相圖(Nichols)退出

對(duì)數(shù)幅頻特性曲線以頻率為橫坐標(biāo)，并采用對(duì)數(shù)分度；縱坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅頻特性的函數(shù)，單位為分貝（dB），線性分度，對(duì)數(shù)相頻特性曲線的橫坐標(biāo)與對(duì)數(shù)幅頻特性曲線相同；縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值單位為度（）線性分度，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，稱(chēng)之為伯德圖，簡(jiǎn)稱(chēng)伯氏圖。（3）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖【伯德（Bode）圖】

Bode圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性?xún)蓷l曲線組成。波德圖坐標(biāo)的分度橫坐標(biāo)(稱(chēng)為頻率軸)分度：它是以頻率w

的對(duì)數(shù)值logw

進(jìn)行線性分度的。但為了便于觀察仍標(biāo)以w

的值，因此對(duì)w

而言是非線性刻度。w

每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長(zhǎng)度，稱(chēng)為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類(lèi)似地，頻率w

的數(shù)值變化一倍，橫坐標(biāo)就變化0.301單位長(zhǎng)度，稱(chēng)為“倍頻程”，用oct表示。（3）對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖【伯德（Bode）圖】

對(duì)數(shù)相頻特性的縱軸是線性分度：對(duì)數(shù)幅頻特性的縱軸按下式線性分度:半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。

對(duì)數(shù)分度方法：ω110100100010000…lgω

0

1

2

3

4

…ω123456789

10lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1

對(duì)數(shù)幅頻特性曲線L(

)

由于w以對(duì)數(shù)分度，所以零頻率點(diǎn)在－∞處。

縱坐標(biāo)分度：對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)以L(w)=20logA(w)表示。其單位為分貝(dB)。直接將20logA(w)值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。

相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。

一般將幅頻特性和相頻特性畫(huà)在一張圖上，使用同一個(gè)橫坐標(biāo)（頻率軸）。

當(dāng)幅頻特性值用分貝值表示時(shí)，通常將它稱(chēng)為增益。幅值和增益的關(guān)系為：增益=20log(幅值)

幅值A(chǔ)(w)1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000對(duì)數(shù)幅值20lgA(w)02468101520406080幅值A(chǔ)(w)1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001對(duì)數(shù)幅值20lgA(w)0-2-4-6-8-10