2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期末抽測高一年級數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為π的扇形，則該圓錐的高為（

）A．1 B． C．2 D．3．已知一組數(shù)據(jù)4，8，9，3，3，5，7，9，則（

）A．這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為8 B．這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)C．這組數(shù)據(jù)的極差為5 D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為64．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則使得成立的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．將撲克牌4種花色的K，Q共8張洗勻，若甲已抽到了2張K后未放回，則乙抽到2張Q的概率為（

）A． B． C． D．6．以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形”．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點在上，且，則（

）A． B． C． D．7．已知，，，，，則（

）A． B． C． D．8．在矩形中，，，將沿對角線折起，使到，形成三棱錐，則異面直線與所成角的范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．盒子里有3個紅球和2個白球，從中不放回地依次取出2個球，設(shè)事件“兩個球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個球顏色不同”．則（

）A．與互為對立事件 B．與互斥 C．A與B相互獨立 D．10．已知，，，，則下列說法正確的是（

）A．為純虛數(shù) B．C．的最大值為 D．若，則11．在正四棱臺中，，，，點E在內(nèi)部（含邊界），則（

）A．平面 B．二面角的大小為C．該四棱臺外接球的體積為 D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，則．13．已知，且，則．14．在中，，分別在邊上，且平分，平分，若，則，．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知向量，．(1)若，求；(2)若，且，求．16．2024年4月25日，搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，航天員葉光富、李聰、李廣蘇開始了他們的太空征程．為紀念中國航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國航天精神，某市隨機抽取2000名學(xué)生進行了航天知識競賽，將成績（滿分：150分）整理后分成五組，從左到右依次記為[50,70），[70,90），[90,110），[110,130），[130,150]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)補全頻率分布直方圖，并估計這2000名學(xué)生成績的平均數(shù)、求85%分位數(shù)（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績的平均數(shù)為94，方差為1，第四組中被抽取的學(xué)生成績的平均數(shù)為124，方差為2，求這200人中分數(shù)在區(qū)間[90,130）的學(xué)生成績的方差．17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若點D在邊BC上，且，，求的值．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面平面，，，，點E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點，點G在線段AF上．(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離；(3)設(shè)直線與平面，平面，平面所成的角分別為，，，求的最大值．19．在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列：，，，…，與；，，，…，，其中，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同；②，其中，2，3，…，，則稱與互為正交點列．(1)求：，，的正交點列；(2)判斷：，，，是否存在正交點列？并說明理由；(3)證明：，，都存在整點列無正交點列．1．A【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再求出共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.2．B【分析】求出圓錐底面圓半徑，再利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征求出高.【詳解】依題意，圓錐的母線長，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，依題意，，解得，所以圓錐的高.故選：B3．D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合上四分位數(shù)、眾數(shù)、極差、平均數(shù)的意義依次判斷即得.【詳解】對于A，給定數(shù)據(jù)由小到大排列為3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，A錯誤；對于B，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3和9，B錯誤；對于C，這組數(shù)據(jù)的極差為6，C錯誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確.故選：D4．C【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或若，又，則與可能平行、相交（不垂直）、異面（不垂直）、相交垂直、異面垂直，若，又，則與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故A錯誤；對于B：若，，，則，故B錯誤；對于C：若，，則，又，所以，故C錯誤；對于D：若，，則與可能平行或相交（不垂直）或垂直或，又，此時不能保證成立，如，此時與可能平行、異面（不垂直）、異面垂直，故D錯誤；故選：C5．B【分析】根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法，結(jié)合古典概率求解即得.【詳解】甲抽到了2張K后未放回，則乙從余下6張牌中任取2張有種方法，抽到2張Q有種方法，所以乙抽到2張Q的概率為.故選：B6．A【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量的坐標運算求解.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，垂直于方向為軸，建立平面直角坐標系，因為，，所以，即，且,所以,所以.故選：A.7．C【分析】把兩個方程移項平方以后再相加即可判斷AB，然后再根據(jù)三角函數(shù)值以及角的范圍計算出和即可判斷CD.【詳解】由得，兩邊平方得：，①由得，兩邊平方得：，②①+②得：，因為，所以，由可得：，即，所以，又，所以，所以，故A錯誤；由，兩邊平方得，③由得，兩邊平方得：，④

③+④得：，因為，所以，故，由，，可得，故C正確，D錯誤；綜上不是定值，故B錯誤.

故選：C8．C【分析】根據(jù)題意，可知初始狀態(tài)時直線與直線所成的角為，由于，可得異面直線與不垂直，翻折過程中當平面與平面重合時，與所成銳角為異面直線與所成角的臨界值，求出.，即可得到答案.【詳解】由題可知，四邊形是矩形，，所以初始狀態(tài)時直線與直線所成的角為，已知矩形中，，，，翻折過程中，如下圖，因為，所以，則與平面不垂直，因為，，所以異面直線與不垂直，翻折過程中，當平面與平面重合時，與所成銳角為異面直線與所成角的臨界值，如下圖：因為矩形中，,，，，所以，同理，所以，即異面直線與所成角的臨界值為,所以異面直線與所成角的范圍為；故選：C9．AD【分析】依次列出樣本空間，事件、、、包含的基本事件，由事件的基本關(guān)系及概率公式一一判定選項即可.【詳解】依題意可設(shè)個紅球為，，，2個白球為，，則樣本空間為：，共個基本事件.事件，共個基本事件.事件，共個基本事件.事件，共個基本事件.事件，共個基本事件.對于A，顯然、不可能同時發(fā)生，且與中一定有一個會發(fā)生，所以與互為對立事件，故A正確；對于B：注意到，則與不互斥，故B錯誤；對于C：因為，則，故與不獨立，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD10．BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷C，設(shè)所對應(yīng)的向量為，所對應(yīng)的向量為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，故A錯誤；對于B：因為，，所以，故B正確；對于C：設(shè)，則，又，所以，所以點為以為圓心，為半徑的圓上的點所以，表示點與點的距離，因為，所以，故C正確；對于D：設(shè)所對應(yīng)的向量為，所對應(yīng)的向量為，因為，則，所以，所以，所以，所以，即，故D錯誤.故選：BC11．ABD【分析】對于A，為中點，證明證得平面；對于B，幾何法求二面角的大小；對于C，先假設(shè)球心的位置，利用勾股定理與半徑相等建立方程組進而確定的位置，可求得球的半徑并計算體積；對于D，先判斷落在上，再進一步判斷與重合時，取得最小值.【詳解】對于A，如圖1，設(shè)底面對角線交于點，由棱臺的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長線必交于一點，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由，，，得，，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，所以平面，故A正確；對于B，正四棱臺中，為中點，，則，由，則有，所以二面角的平面角為，，，為正三角形，所以二面角的大小為，故B正確；對于C，如圖2，設(shè)為的中點，為正四棱臺外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，在等腰梯形中，易得，為方便計算，不妨設(shè)，則由，即，得，又，解得，即與重合，故，故球的體積為，故C錯誤；對于D，由圖2易得，，，面，故面，不妨設(shè)落在圖3(在外)處，過作，交于，則面，面，故，故在中，（直角邊小于斜邊）；同理，，所以，故動點只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由AB選項可知，，，和都為正三角形，關(guān)于的對稱點為，可知，即與重合時，有最小值，故D正確；故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項為難點，關(guān)鍵點在于確定點的位置，先假設(shè)在外(記為)，由勻股邊小于斜邊推得，進而得到只有落在上，再利用推得與重合時，有最小值；對于動點，我們一般要考慮特殊位置，可提高我們做題速度.12．1【分析】利用向量線性運算的坐標表示，結(jié)合向量模的坐標表示求解即得.【詳解】向量，，則，所以.故答案為：113．或【分析】把代入方程解方程即可.【詳解】，解得：或，因為，所以或.故答案為：或.14．【分析】使用角平分線定理直接計算出，即可得到的值；根據(jù)條件，結(jié)合余弦定理，即可得到.【詳解】設(shè)三個內(nèi)角所對的邊的長度分別為，則由角平分線定理可得，結(jié)合知，；同理有，.故.而，故，.故由可得，即.從而.故.由于題目中的條件和所求的量均只涉及線段間的長度比，故可以不妨設(shè)，從而.展開，合并同類項，即得.由于，故，從而.所以.同時，之前得到的又等價于，故，所以.從而，這就得到，故.假設(shè)，則，矛盾，故.從而由上面已經(jīng)得到的，就有.故，結(jié)合和就有.這就得到.所以.這就得到.最后，設(shè)，則，且.故，所以，即，從而或.而，故，所以，即.由于，故.而，故，從而.又因為，故.所以，故，從而，這得到，故，從而由知.將弧度轉(zhuǎn)換為角度，就得到.故答案為：，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對角平分線定理和余弦定理的使用.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標表示求出，再由二倍角公式計算可得；（2）由數(shù)量積的坐標表示、兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出，即可求出，最后根據(jù)兩角和的余弦公式計算可得.【詳解】（1）因為，且，所以，則，所以.（2）因為，且，所以，則，所以，則，所以，又，所以，所以，所以.16．(1)平均數(shù)是88；85%分位數(shù)是120(2)217.4【分析】（1）利用所有數(shù)據(jù)頻率之和為1算出的頻率，再根據(jù)平均數(shù)和分位數(shù)的概念直接計算即可.（2）直接利用分層抽樣方差公式計算即可.【詳解】（1）頻率為，所以該組數(shù)據(jù)的縱坐標為，補齊的直方圖如圖：平均數(shù)為，因為前三組的頻率之和，而前四組的頻率之和，所以第分位數(shù)為第四組數(shù)據(jù)的中點即.（2）設(shè)第三組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，設(shè)第四組的平均數(shù)是，權(quán)重為，方差為，兩組的平均數(shù)是，方差為，由直方圖可知則，，則，根據(jù)分層抽樣方差公式得：.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助三角恒等變換求解即得；（2）由向量關(guān)系式，平方得邊的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）在中，因為，所以，所以，因為，,結(jié)合題意知，所以，所以，因為，所以（2）因為，所以，所以，所以，所以，化簡得，因為，所以，所以.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接，取的中點，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，即可得證；（2）利用等體積法求出點到平面的距離；（3）連接，，取的中點，連接，確定直線與平面，平面，平面所成的角，再根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，設(shè)，，利用換元法求出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）連接，取的中點，連接，因為底面為菱形，且，所以、為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，，又，，，所以，所以，又，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，即，解得，即點到平面的距離.（3）連接，，則且，又平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，即，所以，取的中點，連接，則且，又為中點，所以，又，所以，由平面，平面，所以，，又，平面，所以平面，則平面，又，平面，所以平面，連接，，則為直線與平面所成的角，即，所以，為直線與平面所成的角，即，所以，所以，又，設(shè)，，所以，所以，令，則，所以，因為，所以，所以當時取得最