專(zhuān)題12.6二次根式全章五類(lèi)必考?jí)狠S題【蘇科版】1．已知x、y為實(shí)數(shù)，且y=x?2023+2023?xA．2022 B．2023 C．2024 D．20252．已知x?11?7?x+x?92A．22 B．20 C．18 D．163．已知﹣1＜a＜0，化簡(jiǎn)(a+14．若實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足關(guān)系式a?199+199?a=5．已知整數(shù)x，y滿(mǎn)足xy+yx6．已知實(shí)數(shù)x，y，m滿(mǎn)足等式3x+5y?3?m+2x+3y?m2=x+y?2?1．若A=1+112+122+A．2019 B．2020 C．2021 D．20222．已知T1=1+112+122=94=3A．202220222023 B．202320222023 C．3．將一組數(shù)據(jù)3，6，3，23，15，…，310，按下面的方法進(jìn)行排列：3，6，3，2332，21，26，33?；若23的位置記為1，4，26的位置記為2，A．6，4 B．5，3 C．4．觀察下列各式：1+11+11+1請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律1+1n2(2)計(jì)算1+1(3)如果1+1125．觀察下面的式子：S1=1+112+122，S2=1+122（1）計(jì)算：S1=

，S3=

；猜想Sn（2）計(jì)算：S=S11．材料：如何將雙重二次根式a±2b(a>0，b>0，a±2b>0)化簡(jiǎn)呢？如能找到兩個(gè)數(shù)m，n(m>0,n>0)，使得(m)2+(n)2=a例如化簡(jiǎn)：3±22因?yàn)?=1+2且2=1×2，∴3±22由此對(duì)于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成a±2b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m?n=b請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：(1)填空：5±26=___________，12±2(2)化簡(jiǎn)：9±62(3)計(jì)算：3?5+2±2．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22若設(shè)a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a(1)若a+b7=m+n72，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b(2)若a+63=m+n32，且a、m(3)化簡(jiǎn)下列格式：①5+2②7?2③4?10+23．小明在做二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了比較復(fù)雜的二次根式5?265?26＝2＝2?=2=3(1)結(jié)合以上化簡(jiǎn)過(guò)程，請(qǐng)你動(dòng)手嘗試化簡(jiǎn)4?23(2)善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)a，b，m，n為正整數(shù)時(shí)，若a+2b=m+n2，則a+2b=(m+n)+2mn，所以a=m+n,b=mn，若a+217=m+n2，且a4．閱讀材料：材料一:數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方式及二次根式的性質(zhì)化去一層(或多層)根號(hào),如：(材料二：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式,利用完全平方式來(lái)解決問(wèn)題，它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、化簡(jiǎn)根式、因式分解等方面都經(jīng)常用到．如：x∵(x+2)2≥0∴x2+2閱讀上述材料解決下面問(wèn)題：（1）4?23=，5+2（2）求x2（3）已知x=3?13?435．閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如：3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2n2請(qǐng)你仿照康康的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分別表示a、b(2)若7?43=e?f32，且e(3)化簡(jiǎn)：7+21?1．已知x(x?2．已知x=110?3（1）求x2（2）求x23．已知a=3?1（1）求a2（2）若a的小數(shù)部分為m，b的小數(shù)部分為n，求m+nm－n4．已知x=3?12，y=3+1（1）求m,n的值；（2）若a?b=n+2，ab5．正數(shù)m,n滿(mǎn)足m+4mn?2m1．在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰到形如25，53，255312對(duì)于以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化，1212(1)請(qǐng)參照方法④化簡(jiǎn)：27(2)化簡(jiǎn)：56(3)化簡(jiǎn)：13+1+2．閱讀材料，回答問(wèn)題：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：因?yàn)閍×a=a，2+12?1=1，所以a(1)3?2的有理化因式是________；化簡(jiǎn)：3(2)化簡(jiǎn)：1(3)拓展應(yīng)用：已知，a=2020?2019，b=試比較a，b，c的大小，并說(shuō)明理由．3．先閱讀下面的材料，再解答問(wèn)題．因?yàn)閍+所以a?b=a特別地，14+所以114當(dāng)然，也可以利用14?13=1，得1=14?13，所以114=14=14這種變形也是將分母有理化．利用上述的思路方法，計(jì)算：(1)12(2)34?4．【材料閱讀】材料一：在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到形如23+1的式子，可以通過(guò)分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算．如化簡(jiǎn)：方法一：23方法二：23材料二：我們?cè)趯W(xué)習(xí)分式時(shí)知道，對(duì)于公式ba+c【問(wèn)題解決】（1）化簡(jiǎn)：310（2）計(jì)算：12（3）計(jì)算：12+5．閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：在進(jìn)行類(lèi)似于二次根式13方法1：13方法2：13請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ獯鹑缦聠?wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：23（2）若a=15?4，b=16?5，（3）已知m為正整數(shù)，a=m+1?mm+1+m，6．我們將(a+b)、(a?b)稱(chēng)為一對(duì)“對(duì)偶式”，因?yàn)?a+b)(a?b（1）比較大小17?2________16?3（用“>（2）已知x=5+25?2，（3）計(jì)算：2專(zhuān)題12.6二次根式全章五類(lèi)必考?jí)狠S題【蘇科版】1．已知x、y為實(shí)數(shù)，且y=x?2023+2023?xA．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求出x的值，代入求得y的值，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵x?2023≥0，2023?x≥0，∴x?2023=0，∴x=2023，∴y=1，∴x+y=2023+1=2024，故選：C．2．已知x?11?7?x+x?92A．22 B．20 C．18 D．16【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)將已知化簡(jiǎn)，再將原式變形求出答案．【詳解】解：解：∵x?11一定有意義，∴x≥11，∴x?11?x?11+7?x+x?9=3y?2整理得：x?11=3y∴x?11=9y則2x?18y故答案為：22．3．已知﹣1＜a＜0，化簡(jiǎn)(a+1【分析】根據(jù)題意得到a?1a>0【詳解】解：原式=a2∵?1<a<0，∴0<a∴a>1a，∴a?1a>0原式=故答案為：?24．若實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足關(guān)系式a?199+199?a=【分析】根據(jù)二次根式有意義條件求得a＝199，然后由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得b、c的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得a?199=0199?a=0解得a＝199，則2a+b?c+所以2×199+b?c=0b?6=0解得b=6c=404故答案為：404．5．已知整數(shù)x，y滿(mǎn)足xy+yx【分析】原式可變形為xy(x+y)?x=337，y=6，則答案可得．【詳解】解：xy變形為xy(∴(x∴xy?∴xy=2022=2×3×337，∵x，y均為整數(shù)，x?y?7>0，∴x?y?7最小值時(shí)x=337，y=6，∴x?y?7最小值為337?6?7=故答案為：18．6．已知實(shí)數(shù)x，y，m滿(mǎn)足等式3x+5y?3?m+2x+3y?m2=x+y?2?【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分別計(jì)算等式的左右兩邊，根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0，列三元一次方程組，進(jìn)而求得m的值，再將m代入求解即可．【詳解】依題意得：x+y?2≥0又∵3x+5y?3?m≥0得3x+5y?3?m=0解得x=1，y=1，m=5，∴m+41．若A=1+112+122+A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】根據(jù)1+1n2+1【詳解】解：對(duì)于正整數(shù)n，有1+1∴1+1∴A===2022?1因此，不超過(guò)A的最大整數(shù)為2021，故C正確．故選：C．2．已知T1=1+112+122=94=3A．202220222023 B．202320222023 C．【分析】根據(jù)數(shù)字間的規(guī)律探索列式計(jì)算即可獲得答案．【詳解】解：由題意，可得T1T2T3……Tn∴S=1+(1?=1×2022+(1?=2022+(1?=20222022故選：A．3．將一組數(shù)據(jù)3，6，3，23，15，…，310，按下面的方法進(jìn)行排列：3，6，3，2332，21，26，33?；若23的位置記為1，4，26的位置記為2，A．6，4 B．5，3 C．【分析】由題意可知，每行5個(gè)數(shù)，數(shù)的被開(kāi)方的規(guī)律是3n，由此可得87是第29個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷87是第6行的第4個(gè)數(shù)．【詳解】解：一組數(shù)據(jù)的排列變形為3×1，3×2，3×3，3×4，3×5；3×6，3×7，3×8，3×9，3×10；?；由題意可知，每行5個(gè)數(shù)，∵87=3×29，∴87是第29個(gè)數(shù)，∵29÷5=5…4，∴87是第6行的第4個(gè)數(shù)，∴87的位置記為6，故選：A．4．觀察下列各式：1+11+11+1請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律1+1n2(2)計(jì)算1+1(3)如果1+112【分析】（1）觀察前三個(gè)式子特點(diǎn)，找出規(guī)律即可解答；（2）利用（1）的規(guī)律解答即可；（3）利用（1）的規(guī)律解答即可．【詳解】（1）解：∵1+11+11+1∴1+1故答案為：n2（2）解：原式=1+=2022+1?=2022+=20222022故答案為：20222022（3）解：根據(jù)題意，得1+1∴n?1+1?∴n?1∴n=5，經(jīng)檢驗(yàn)得n=5是原方程的解．故答案為：n=5．5．觀察下面的式子：S1=1+112+122，S2=1+122（1）計(jì)算：S1=

，S3=

；猜想Sn（2）計(jì)算：S=S1【分析】（1）分別求出S1，S2，…的值，再求出其算術(shù)平方根即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行拆項(xiàng)得出1+12+1+112+…【詳解】（1）∵S1=1+112+∵S2=1+122+∵S3=1+132+∵Sn=1+1n2+（2）解：S=3=1+=n==n1．材料：如何將雙重二次根式a±2b(a>0，b>0，a±2b>0)化簡(jiǎn)呢？如能找到兩個(gè)數(shù)m，n(m>0,n>0)，使得(m)2+(n)2=a例如化簡(jiǎn)：3±22因?yàn)?=1+2且2=1×2，∴3±22由此對(duì)于任意一個(gè)二次根式只要可以將其化成a±2b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m?n=b請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：(1)填空：5±26=___________，12±2(2)化簡(jiǎn)：9±62(3)計(jì)算：3?5+2±【分析】（1）仿照閱讀材料，把被開(kāi)方數(shù)變形成完全平方式，即可得答案；（2）把62變形成2（3）將5變形成254，3變形成【詳解】（1）解：5±2612±2故答案為：3±2，（2）9±62（3）3?====10同理可得3?52．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22若設(shè)a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a(1)若a+b7=m+n72，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b(2)若a+63=m+n32，且a、m(3)化簡(jiǎn)下列格式：①5+2②7?2③4?10+2【分析】（1）利用完全平方公式展開(kāi)可得到用m、n表示出a、b；（2）利用（1）中結(jié)論得到6=2mn，利用a、m、n均為正整數(shù)得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3（3）設(shè)4?10+25+4+10+25=t，兩邊平方得到t2=4?10+25【詳解】（1）設(shè)a+b7=m+n72=m2+7則有a=m2+7故答案為：m2+7n（2）∵6=2mn，∴mn=3，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m=1，n=3或m=3，n=1，當(dāng)m=1，n=3時(shí)，a=m當(dāng)m=3，n=1時(shí)，a=m即a的值為12或28；（3）①5+2②7?2③設(shè)4?10+2則t2=4?10+25=8+2=8+2=8+2=6+2=5∴t=53．小明在做二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，遇到了比較復(fù)雜的二次根式5?265?26＝2＝2?=2=3(1)結(jié)合以上化簡(jiǎn)過(guò)程，請(qǐng)你動(dòng)手嘗試化簡(jiǎn)4?23(2)善于動(dòng)腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)a，b，m，n為正整數(shù)時(shí)，若a+2b=m+n2，則a+2b=(m+n)+2mn，所以a=m+n,b=mn，若a+217=m+n2，且a【分析】（1）根據(jù)閱讀材料和完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)解答；（2）先將m+n2展開(kāi)，然后與a+217對(duì)邊得到a=m+n、17=mn，再根據(jù)a，m，n為正整數(shù)，m>n確定【詳解】（1）解：4?2=1?2×=（=（=1?=3?1（2）解：∵a+217=∴a=m+n，17=mn∵a，m，n∴m=17，n=1，a=m+n=17+1=18．4．閱讀材料：材料一:數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方式及二次根式的性質(zhì)化去一層(或多層)根號(hào),如：(材料二：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式,利用完全平方式來(lái)解決問(wèn)題，它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、化簡(jiǎn)根式、因式分解等方面都經(jīng)常用到．如：x∵(x+2)2≥0∴x2+2閱讀上述材料解決下面問(wèn)題：（1）4?23=，5+2（2）求x2（3）已知x=3?13?43【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性質(zhì)即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；（3）先化簡(jiǎn)x,再代入代數(shù)式化簡(jiǎn)，最后求出其最值即可求解.【詳解】（1）4?23=(故答案為：3?1；（2）∵x2+43x+11=∴x2+43（3）∵x=3?13?4∴?=?=?=?(y?1)故?15．閱讀材料：康康在學(xué)習(xí)二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如：3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2n2請(qǐng)你仿照康康的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分別表示a、b(2)若7?43=e?f32，且e(3)化簡(jiǎn)：7+21?【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算進(jìn)行求解；（2）將7?43變?yōu)?（3）將7+21?80化為【詳解】（1）解：∵c+d3∴a=c故答案為：c2（2）∵7?43∴7?43（3）7+======1+51．已知x(x?【分析】先根據(jù)所給的式子進(jìn)行因式分解求出x=3【詳解】解：∵x(∴x2∴x2∴x+5∴x+5y=0當(dāng)x+5y=0∴x?3∴x=3∴x=9y∴2x?xy2．已知x=110?3（1）求x2（2）求x2【分析】（1）先將x、y進(jìn)行分母有理化，再代入式子計(jì)算可得；（2）先將式子化簡(jiǎn)再代入x、y進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）∵x=1y=1∴x+y=210，x?y=6∴x（2）∵x=10+3，∴x?2>0，y+1>0，∴=====?6．3．已知a=3?1（1）求a2（2）若a的小數(shù)部分為m，b的小數(shù)部分為n，求m+nm－n【分析】（1）利用二次根式的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算求得a+b和ab，對(duì)所求式子利用完全平方公式變形，進(jìn)而整體代入求出即可；（2）首先利用分母有理化法則求出a，b的值，根據(jù)1<3<2，可得m，【詳解】（1）a+b=3ab=3a===13；（2）a=3?13∵1<3<2，∴2?2<2?3<2?1，即0<2?3<1∴2?3的整數(shù)部分是0，小數(shù)部分是2?3，即2+3的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是3?1，即∴m+n==3?234．已知x=3?12，y=3+1（1）求m,n的值；（2）若a?b=n+2，ab【分析】（1）由x和y的值求出xy，y－x和x2+y2，將m和n分別變形，從而求值；（2）根據(jù)（1）中m和n的值，將a?b變形，求出a+b的值，再根據(jù)(a【詳解】解：（1）∵x=3?1∴xy=322∴x2∴m=y?xxy=2（2）∵a?∴a+b?2ab∵ab=m=2∴a+b?4=36，即a+b=40，∴(a又∵a+∴a+5．正數(shù)m,n滿(mǎn)足m+4mn?2m【分析】由已知m+4mn?2m?4n【詳解】原式可變形為m+4mm+2又∵m，n為正數(shù)，∴m∴m1．在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰到形如25，53，255312對(duì)于以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化，1212(1)請(qǐng)參照方法④化簡(jiǎn)：27(2)化簡(jiǎn)：56(3)化簡(jiǎn)：13+1+【分析】（1）分子、分母都乘以7?（1）先化為最簡(jiǎn)二次根二次根式，再相加即可；（3）先將各式分母有理化，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】（1）2====7（2）5===（3）原式==2．閱讀材料，回答問(wèn)題：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：因?yàn)閍×a=a，2+12?1=1，所以a(1)3?2的有理化因式是________；化簡(jiǎn)：3(2)化簡(jiǎn)：1(3)拓展應(yīng)用：已知，a=2020?2019，b=試比較a，b，c的大小，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題目中的例子分別確定它們有理化因式即可；（2）先對(duì)分母進(jìn)行有理化，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)即可；（3）先分別求出1a【詳解】（1）解：∵3∴3?2的有理化因式是3∴3+2故答案為3+2；?7?4（2）解：1==?=8．（3）解：a>b>c，理由如下：111∵1∴a>b>c．3．先閱讀下面的材料，再解答問(wèn)題．因?yàn)閍+所以a?b=a特別地，14+所以114當(dāng)然，也可以利用14?13=1，得1=14?13，所以114=14=14這種變形也是將分母有理化．利用上述的思路方法，計(jì)算：(1)12(2)34?【分析】（1）根據(jù)題意，先把每一部分分母有理化，化簡(jiǎn)后合并同類(lèi)二次根式即可；（2）根據(jù)題意，先把每一部分分母有理化，化簡(jiǎn)后合并同類(lèi)二次根式即可．【詳解】（1）解：原式=2?1===2023?1=2022；（2）解：原式====4+=1．4．【材料閱讀】材料一：在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到形如23+1的式子，可以通過(guò)分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算．如化簡(jiǎn)：方法一：23方法二：23材料二：我們?cè)趯W(xué)習(xí)分式時(shí)知道，對(duì)于公式ba+c【問(wèn)題解決】（1）化簡(jiǎn)：310（2