第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定(第一課時(shí))

1.矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（

A

）A.對(duì)角線相等B.對(duì)角相等C.對(duì)邊相等D.對(duì)角線互相平分A

A.

AF

＝

CF

B.∠

FAC

＝∠

EAC

C.

AB

＝4D.

AC

＝2

AB

（第2題圖）D3.（2023·蘭州）如圖，在矩形

ABCD

中，點(diǎn)

E

為

BA

延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，點(diǎn)

F

為

CE

的中點(diǎn)，以點(diǎn)

B

為圓心，

BF

長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)

AD

與

CE

的交點(diǎn)

G

，連接

BG

.

若

AB

＝4，

CE

＝10，則

AG

＝

（

C

）A.2B.2.5C.3D.3.5（第3題圖）C4.（2023·湘西）如圖，在矩形

ABCD

中，已知點(diǎn)

E

在邊

BC

上，

點(diǎn)

F

是

AE

的中點(diǎn)，

AB

＝8，

AD

＝

DE

＝10，則

BF

的長(zhǎng)為

?

?.2

5.（2023·內(nèi)江）出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一.

最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建.“將一個(gè)幾何圖形，任意切

成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的

小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝5，

AD

＝12，對(duì)角線

AC

與

BD

交于點(diǎn)

O

，點(diǎn)

E

為

BC

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

EF

⊥

AC

，

EG

⊥

BD

，垂足分別為

F

，

G

，則

EF

＋

EG

＝

?.

（第5題圖）6.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝2，

BC

＝4，點(diǎn)

A

，

B

分別在

y

軸、

x

軸的正半軸上，點(diǎn)

C

在第一象限.若∠

OAB

＝30°，則點(diǎn)

C

的坐標(biāo)是

?.（第6題圖）

7.如圖，在矩形

ABCD

中，已知點(diǎn)

E

在

DC

上，

AE

＝2

BC

，

AE

＝

AB

，求∠

CBE

的度數(shù).

∴∠

CBE

＝∠

ABC

－∠

ABE

＝90°－75°＝15°.8.如圖，在矩形

ABCD

中，已知點(diǎn)

E

在

BC

上，

AE

＝

AD

，

DF

⊥

AE

，垂足為

F

.

（1）求證：

DF

＝

AB

；

（2）若∠

FDC

＝30°，且

AB

＝6，求

AD

的長(zhǎng).（2）解：∵∠

FAD

＋∠

ADF

＝90°，∠

FDC

＋∠

ADF

＝90°，∴∠

FAD

＝∠

FDC

＝30°.∴

AD

＝2

DF

.

由（1），得

DF

＝

AB

，∴

AD

＝2

DF

＝2

AB

＝2×6＝12.

9.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

AD

＝4，點(diǎn)

E

，

F

分別是邊

BC

，

CD

上一點(diǎn)，連接

AE

，

EF

.

若

EF

⊥

AE

，將△

ECF

沿

EF

翻折得到△

EC

'

F

，連接

AC

'，當(dāng)

BE

＝

時(shí)，△

AEC

'是

以

AE

為腰的等腰三角形.

（第9題圖）

10.（2023·南通）如圖，已知四邊形

ABCD

的兩條對(duì)角線

AC

，

BD

互相垂直，

AC

＝4，

BD

＝6，則

AD

＋

BC

的最小值是

?.（第10題圖）2

11.如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AD

＝

BC

＝6，

AB

＝

CD

＝

10，點(diǎn)

E

為射線

DC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△

ADE

與△

AD

'

E

關(guān)于直線

AE

對(duì)稱(chēng)，連接

BD

'.當(dāng)△

AD

'

B

為直角三角形時(shí)，求

DE

的長(zhǎng).

②當(dāng)點(diǎn)

E

在線段

DC

的延長(zhǎng)線上，且

ED

″經(jīng)過(guò)點(diǎn)

B

時(shí)，如圖所示.∵∠

ABD

″＋∠

CBE

＝∠

ABD

″＋∠

BAD

″＝90°，∴∠

CBE

＝∠

BAD

″.

∴△

ABD

″≌△

BEC

（ASA）.∴

BE

＝

AB

＝10.

∴

DE

＝

D

″

E

＝

BD

″＋

BE

＝8＋10＝18.綜上所述，

DE

的長(zhǎng)為2或18.12.如圖，在矩形

ABCD

中，已知∠

BAD

的平分線交

BC

于點(diǎn)

E

，

AE

＝

AD

，過(guò)點(diǎn)

D

作

DF

⊥

AE

于點(diǎn)

F

.

（1）求證：

AB

＝

AF

；證明：（1）∵四邊形

ABCD

為矩形，∴

AD

∥

BC

，∠

DAB

＝∠

ABE

＝90°.∴∠

DAE

＝∠

AEB

.

∵

AE

平分∠

BAD

，∴∠

BAE

＝∠

DAE

＝45°.∴∠

BAE

＝∠

AEB

＝45°.∴

AB

＝

EB

.

（2）連接

BF

并延長(zhǎng)交

DE

于點(diǎn)

G

，求證：

EG

＝

DG

.

證明：（2）∵

AE

＝

AD

，∠

EAD

＝45°，∴∠

AED

＝∠

ADE

＝67.5°.又∵∠

FDA

＝45°，∴∠

FDG

＝∠

ADE

－∠

FDA

＝22.5°.∵

AB

＝

AF

，∠

BAF

＝45°，∴∠

AFB

＝67.5°.∴∠

EFG

＝67.5°.∴∠

EFG

＝∠

AED

.

∴

FG

＝

EG

.

又∵∠

DFG

＝∠90°－∠

EFG

＝22.5°，∴∠

DFG

＝∠

FDG

.

∴

FG

＝

DG

.

∴

EG

＝

DG

.

13.（選做）如圖，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝5，

AD

＝3，點(diǎn)

P

是

AB

邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)

A

，

B

重合），連接

CP

，過(guò)點(diǎn)

P

作

PQ

⊥

CP

交邊

AD

于點(diǎn)

Q

，連接

CQ

.

（1）當(dāng)△

CDQ

≌△

CPQ

時(shí)，求

AQ

的長(zhǎng)；

（2）取

CQ

的中點(diǎn)

M

，連接

MD

，

MP

，若

MD

⊥

MP

，求

AQ

的長(zhǎng).

（方法二）∵點(diǎn)

M

是Rt△

CDQ

的斜邊

CQ

的中點(diǎn)，∴

DM

＝

CM

.

∴∠

DMQ

＝2∠

DCQ

.

∵點(diǎn)

M

是Rt△

CPQ

的斜邊的中點(diǎn)，∴

MP

＝

CM

.

∴∠

PMQ

＝2∠

PCQ

.

∵∠

DMP

＝90°，∴2∠

DCQ

＋2∠

PCQ

＝90°.∴∠

PCD

＝45°，∠

BCP

＝9