第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件第1課時(shí)相似三角形的有關(guān)概念及判定定理1基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的概念1.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,則

=(

)A.2

B.

C.3

D.

B解析∵△ABC∽△A'B'C',∴

=

=

=

.故選B.2.(新獨(dú)家原創(chuàng))如圖,△ABC∽△ACP.(1)若∠A=75°,∠APC=65°,則∠BCP的大小為

度.(2)若△ABC與△ACP的相似比為

,AP=6,則AC=

,BP=

.25

10解析

(1)∵∠A=75°,∠APC=65°,∴∠ACP=40°,∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°,∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=25°.(2)∵△ABC∽△ACP,相似比為

,AP=6,∴

=

=

,∴AC=

AP=10,AB=

AC,∴AB=

,∴BP=AB-AP=

-6=

.知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的判定定理13.如圖所示的三個(gè)三角形,相似的是

(

)A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③A解析分別求出三個(gè)三角形中第三個(gè)角的度數(shù),①②兩個(gè)三

角形滿足兩角分別相等,故①②相似,故選A.4.(2023陜西西安交大附中月考)如圖,△ABC中,CE⊥AB,垂足

為點(diǎn)E,BD⊥AC,垂足為點(diǎn)D,CE與BD交于點(diǎn)F,則下列選項(xiàng)中

與△BEF不相似的三角形是

(

)

A.△ABD

B.△CDF

C.△BCD

D.△ACEC解析∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°,∵∠FBE=∠ABD,∴△FBE∽△ABD,∵∠BFE=∠CFD,∴△BFE∽△CFD,∵∠FCD=∠ACE,∴△CFD∽△CAE,∴△BFE∽△CAE,故△BCD與△BEF不相似.故選C.5.下列各組圖形中有可能不相似的是

(

)A.各有一個(gè)角是50°的兩個(gè)等腰三角形B.各有一個(gè)角是60°的兩個(gè)等腰三角形C.各有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形D.兩個(gè)等腰直角三角形A解析選項(xiàng)A,當(dāng)一個(gè)等腰三角形中50°的角為頂角,底角為65°,另一個(gè)等腰三角形中50°的角為底角,頂角為80°時(shí),這兩個(gè)等腰三角形不相似,故選A.6.(2023陜西師大附中月考)如圖,在?ABCD中,G是AB延長(zhǎng)線

上一點(diǎn),連接DG交BC于點(diǎn)E,則圖中相似三角形共有

(

)

A.2對(duì)

B.3對(duì)

C.4對(duì)

D.5對(duì)B解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,DC∥AB,∴△GBE∽△GAD∽△DCE,∴相似三角形共有3對(duì).故選B.7.如圖,已知AD是△ABC的角平分線,AD=BD,求證:△ABC∽

△DAC.

證明∵AD是△ABC的角平分線,∴∠BAD=∠CAD,∵AD=BD,∴∠BAD=∠B,∴∠CAD=∠B,又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.8.(2024廣東深圳期中)如圖,四邊形ABCD為菱形,點(diǎn)E在AC的

延長(zhǎng)線上,∠ACD=∠ABE.(1)求證:△ABC∽△AEB.(2)當(dāng)AD=4,AC=3時(shí),求AE的長(zhǎng).

解析

(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形,∴∠ACD=∠BCA,∵∠ACD=∠ABE,∴∠BCA=∠ABE,又∵∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB.(2)∵△ABC∽△AEB,∴

=

,∵AB=AD=4,AC=3,∴

=

,∴AE=

.能力提升全練9.(一線三等角模型)(2023山東東營(yíng)中考,7,★★☆)如圖,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AB上,∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,則AD的長(zhǎng)為

(

)

A.1.8

B.2.4

C.3

D.3.2C解析∵△ABC是等邊三角形,∴BC=AC,∠B=∠C=60°,∴∠CAD+∠ADC=120°,∵∠ADE=60°.∴∠BDE+∠ADC=120°,∴∠CAD=∠BDE,∴△ADC∽△DEB,∴

=

,∵BD=4DC,∴設(shè)DC=x,則BD=4x,∴BC=AC=5x,∴

=

,∴AD=3,故選C.10.(2024湖南郴州期末,9,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,G為CD邊的中點(diǎn),連接AG并延長(zhǎng)交BC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,對(duì)角線BD交AG于點(diǎn)F.已知AF=4,則線段AE的長(zhǎng)度為

(

)

A.6

B.8

C.10

D.12D解析∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴

=

=2,∴FG=

AF=2,∴AG=6.∵CG∥AB,∴△ECG∽△EBA,∴

=

,∵AB=2CG,∴AE=2EG=2AG=12.故選D.11.(2023四川內(nèi)江中考,10,★★☆)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn),點(diǎn)F、G在邊BC上,AC∥DG∥EF,點(diǎn)H為

AF與DG的交點(diǎn).若AC=12,則DH的長(zhǎng)為

(

)

A.1

B.

C.2

D.3C解析∵點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn),∴AD=DE=EB,AB=3BE,∴AE=2AD,∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴EF∶AC=BE∶AB,∵AC=12,AB=3BE,∴EF∶12=BE∶3BE,∴EF=4.∵DG∥EF,∴△ADH∽△AEF,∴DH∶EF=AD∶AE,∵EF=4,AE=2AD,∴DH∶4=AD∶2AD,∴DH=2.故選C.12.(新考法·綜合實(shí)踐)(2023黑龍江大慶中考,13,★★☆)在綜合與實(shí)踐課上,老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形紙片ABCD如圖所示,點(diǎn)N在邊AD上.現(xiàn)將矩形折疊,折痕為BN,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M,若點(diǎn)M恰好落在邊DC上,則圖中與△NDM一定相似的三角形是

.△MCB解析∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠DNM+∠DMN=90°,由折疊的性質(zhì)可知,∠BMN=∠A=90°,∴∠DMN+∠CMB=90°,∴∠DNM=∠CMB,∴△NDM∽△MCB,故答案為△MCB.13.(2024內(nèi)蒙古包頭昆都侖期末,16,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)B作BD⊥CB,BD=3,連接CD,與AB相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥CB,垂足為N.若AC=2,則MN的長(zhǎng)為

.解析∵∠ACB=90°,BD⊥CB,MN⊥CB,∴AC∥MN∥BD,∠CNM=∠CBD,∴∠MAC=∠MBD,∠MCA=∠MDB=∠CMN,

∴△MAC∽△MBD,△CMN∽△CDB,∴

=

=

,

=

,∴

=

,∴

=

,∴MN=

.素養(yǎng)探究全練14.(推理能力)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E是BC邊的中

點(diǎn),點(diǎn)P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F.(1)求證:△PFA∽△ABE.(2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)PA=x,是否存在實(shí)數(shù)x,使以P,

F,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似?若存在,請(qǐng)求出x的值;若

不存在,說明理由.解析

∵四邊形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∠B=90°.(1)證明:∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠B=90°,∴△PFA∽△ABE.(2)∵PF⊥AE,∴∠PFE=90°=∠B.∴當(dāng)以P,F,E為頂點(diǎn)的三角

形與△ABE相似時(shí),有兩種情況:如圖①,若△EFP∽△ABE,則

∠PEF=∠EAB,∴PE∥AB.∴四邊形ABE