第二章一元二次方程*5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.(2023天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的兩個根,則

(

)A.x1+x2=6

B.x1+x2=-6C.x1x2=

D.x1x2=7A解析∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的兩個根,∴x1+x2=-

=6,x1x2=

=-7,故選A.2.(2023西藏中考)已知一元二次方程x2-3x+2=0的兩個根為x1、x2,則

+

的值為

(

)A.-3

B.-

C.1

D.

D解析由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=3,x1x2=2,∴

+

=

+

=

=

,故選D.3.(2023云南玉溪期中)已知α、β是一元二次方程x2-5x-2=0的

兩個不相等的實數(shù)根,則α+β+αβ的值為

(

)A.-1

B.5

C.3

D.-2C解析根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得α+β=5,αβ=-2,所以α+β+αβ=5-

2=3.故選C.4.(2023湖南懷化中考)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-2=0

的一個根為-1,則m的值為

,另一個根為

.-12解析將x=-1代入原方程可得1-m-2=0,解得m=-1,∵方程的

兩根之積為

=-2,∴方程的另一個根為-2÷(-1)=2.故答案為-1;2.5.(新課標(biāo)例67變式)不解方程,求下列方程的兩根之和與兩

根之積:(1)x2-3x-5=0.(2)3x2+5x+2=0.(3)x2+

x-3=0.解析

(1)∵a=1,b=-3,c=-5,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-5)=9+20=29>0,∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2

=-

=3,x1x2=

=-5.(2)∵a=3,b=5,c=2,∴Δ=b2-4ac=52-4×3×2=25-24=1>0,∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2

=-

=-

,x1x2=

=

.(3)∵a=1,b=

,c=-3,∴Δ=b2-4ac=(

)2-4×1×(-3)=2+12=14>0,∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2

=-

=-

,x1x2=

=-3.6.(2023四川南充中考)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-

3m2+m=0.(1)求證:無論m為何值,方程總有實數(shù)根.(2)若x1,x2是方程的兩個實數(shù)根,且

+

=-

,求m的值.解析

(1)證明:∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1=(4m-1)2≥0,∴方程總有實數(shù)根.(2)由題意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m,∵

+

=

=

-2=-

,∴

-2=-

,整理得5m2-7m+2=0,解得m=1或m=

.能力提升全練7.(2023四川樂山中考,7,★★☆)若關(guān)于x的一元二次方程x2-8x+m=0的兩根為x1、x2,且x1=3x2,則m的值為

(

)A.4

B.8

C.12

D.16C解析∵一元二次方程x2-8x+m=0的兩根為x1,x2,∴x1+x2=8,又∵x1=3x2,∴x1=6,x2=2,∴m=x1x2=6×2=12.故選C.8.(2024河南洛陽偃師實驗中學(xué)月考,15,★★☆)解關(guān)于x的一

元二次方程x2+px+q=0時,小紅看錯了常數(shù)項q,得到方程的兩

個根是-3,1,小明看錯了一次項系數(shù)p,得到方程的兩個根是5,

-4,則原來的方程是

.x2+2x-20=0解析設(shè)此方程的兩個根是α、β,根據(jù)題意得α+β=-p=-2,αβ=q=-20,∴p=2,q=-20,則以α、β為根的一元二次方程是x2+2x-20=0.9.(易錯題)(2022山東日照中考,15,★★☆)關(guān)于x的一元二次

方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根x1,x2,且

+

=

,則m=

.易錯警示

本題容易忽略根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用的前提是方

程有解,從而因忽略m的取值范圍而出錯.

解析根據(jù)題意得x1+x2=-2m,x1x2=

,∵

+

=

,∴(x1+x2)2-2x1x2=

,∴4m2-m=

,∴m1=-

,m2=

,當(dāng)m=-

時,Δ=16m2-8m=

>0,滿足題意;當(dāng)m=

時,Δ=16m2-8m=-

<0,不符合題意.所以m=-

.10.(2023湖北天門中考,20,★★☆)已知關(guān)于x的一元二次方

程x2-(2m+1)x+m2+m=0.(1)求證:無論m取何值時,方程都有兩個不相等的實數(shù)根.(2)設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為a,b,若(2a+b)·(a+2b)=20,求m的

值.解析

(1)證明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=

1>0,∴無論m取何值時,方程都有兩個不相等的實數(shù)根.(2)∵該方程的兩個實數(shù)根為a,b,∴a+b=-

=2m+1,ab=

=m2+m,∵(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+

ab,∴2(a+b)2+ab=20,∴2(2m+1)2+m2+m=20,整理得m2+m-2=0,解得m1=-2,m2=1,∴m的值為-2或1.素養(yǎng)探究全練11.(運(yùn)算能力)(新獨(dú)家原創(chuàng))在□處填寫一個整數(shù),使得方程x2+□x+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根,則□可以為

.-3(答案不唯一)解析設(shè)填寫的一個整數(shù)為b,則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得,x1x2=-b,x1+x2=1.當(dāng)x1x2>0,x1+x2>0,Δ>0時,方程有兩個不相等的正實數(shù)根,此時-b>0,即b<0,Δ=b2-4ac=b2-4×1×1>0,解得b>2或b<-2,∴b<-2,∴b可以為-3(答案不唯一).12.(推理能力)(新考向·代數(shù)推理)閱讀理解:材料一:若三個非零實數(shù)x,y,z滿足:只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等

于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和,就稱這三個實數(shù)x,y,z構(gòu)成“和諧

三數(shù)組”.材料二:若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分

別為x1,x2,則有x1+x2=-

,x1x2=

.問題解決:(1)請你寫出三個能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實數(shù):

.(2)若x1,x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不為0)的兩根,x3

是關(guān)于x的方程bx+c=0(b,c均不為0)的解.求證:x1,x2,x3可以構(gòu)

成“和諧三數(shù)組”.解析

(1)∵

+

=

,∴

,2,3能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”,故答案為

,2,3(答案不唯一).(2)證明:∵x1,x2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不為0)的兩

根,∴x1+x2=-

,x1x2=

,∴

+

=

=

=-

,∵x3是關(guān)于x的方程bx+c=0(b,c均不為0)的解,∴x3=-

,∴

=-

,∴

+

=

,∴x1,x2,x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.微專題已知一元二次方程的一根求另一根及字母系數(shù)方法指引方法1(利用根與系數(shù)的關(guān)系):(1)若字母系數(shù)在一

次項中,可先用兩根積的關(guān)系求出另一根,再用兩根和的關(guān)系

求字母系數(shù)的值;(2)若字母系數(shù)在常數(shù)項中,可先用兩根和

的關(guān)系求出另一根,再用兩根積的關(guān)系求字母系數(shù)的值.方法2(利用根的定義):先把已知根代入一元二次方程中,求

出字母系數(shù)的值,再解一元二次方程,求出另一根.1.(2022湖南益陽中考)若x=-1是關(guān)于x的方程x2+x+m=0的一

個根,則此方程的另一個根是

(

)A.-1

B.0

C.1

D.2B解析解法一:設(shè)x2+x+m=0的另一個根是α,根據(jù)根與系數(shù)的

關(guān)系得-1+α=-1,∴α=0.故選B.解法二:∵x=-1是方程x2+x+m=0的一個根,∴(-1)2-1+m=0,∴m=0,∴原方程為x2+x=0,∴x(x+1)=0,∴x1=0,x2=-1.故選B.2.(2022青海中考改編)已知關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根

為x=1,則實數(shù)m與另一根的值分別為

(

)A.4,3

B.-4,3

C.3,3

D.-3,3B解析解法一:因為關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根為x=1,

所以1+m+3=0,解得m=-4.所以原方程為x2-4x+3=0,所以(x-1)(x

-3)=0,所以x1=1,x2=3,即方程的另一根為3.故選B.解法二:設(shè)x2+mx+3=0的另一個根是α,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得1×α=3,所以α=3,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得1+3=-m,所以m=-4,故選B.3.(2022四川樂山中考)關(guān)于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有兩

根,其中一根為x=1,則這兩根之積為

(

)A.

B.

C.1

D.-

D解析∵方程的一個根是1,∴3-2+m=0,解得m=-1,∴兩根之積為-

,故選D.4.(2022貴州黔東南州中考)已知關(guān)于x的一元二