第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件第3課時(shí)相似三角形的判定定理3基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)4相似三角形的判定定理31.有甲、乙兩個(gè)三角形木框,甲三角形木框的三邊長分別為

1,

,

,乙三角形木框的三邊長分別為5,

,

,則甲、乙兩個(gè)三角形

(

)A.一定相似

B.一定不相似C.不一定相似

D.全等A解析因?yàn)?/p>

=

=

=

,即甲、乙兩個(gè)三角形三邊成比例,所以甲、乙兩個(gè)三角形一定相似.故選A.2.若△ABC和△DEF滿足下列條件,其中能使△ABC與△DEF相似的是

(

)A.AB=3,BC=8,AC=9,DE=

,EF=2,DF=6B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=16C.AB=1,BC=

,AC=2,DE=

,EF=

,DF=

D.AB=1,BC=

,AC=3,DE=

,EF=2

,DF=

A解析

A中,∵

=

,

=

=

,

=

=

,∴

=

=

.∴△ABC與△DEF相似.易知B,C,D不正確,故選A.3.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E,F分別是CA,AB,BC的中點(diǎn).求證:△ABC∽△FDE.

證明∵點(diǎn)D,E,F分別是CA,AB,BC的中點(diǎn),∴DE,DF,EF是△ABC的中位線.∴

=

=

=

.∴△ABC∽△FDE.4.(2024吉林長春期末)圖①、圖②均為5×5的正方形網(wǎng)格,每

個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺,在圖①、圖②中各畫一個(gè)與△ABC相似(相似比不為1)的三角形.(要求

三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)

解析如圖,△DEF即為所求(答案不唯一).

5.(教材變式·P94隨堂練習(xí))如圖,某地四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)A,B,C,D之間建有公路,已知AB=14千米,AD=28千米,BD=21千米,BC=42千

米,DC=31.5千米,公路AB與CD平行嗎?說出你的理由.

解析公路AB與CD平行.理由:∵

=

=

,

=

=

,

=

=

,∴△ABD∽△BDC,∴∠ABD=∠BDC,∴AB∥DC.6.(教材變式·P94例3)如圖,在四邊形ABCD中,AC,BD相交于

點(diǎn)F,點(diǎn)E在BD上,且

=

=

.(1)∠1與∠2相等嗎?為什么?(2)判斷△ABE與△ACD是否相似,并說明理由.

解析

(1)∠1與∠2相等.理由如下:∵

=

=

,∴△ABC∽△AED.∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,即∠1=∠2.(2)△ABE與△ACD相似.理由如下:∵

=

,∴

=

.又∵∠1=∠2,∴△ABE∽△ACD.7.(分類討論思想)(2023河北保定一中月考)一個(gè)鋼筋三角形支架邊長分別是20cm,50cm,60cm,現(xiàn)在要做一個(gè)與其相似的鋼筋三角形支架,而只有長為30cm和50cm的兩根鋼筋,要求以其中一根為一邊,從另一根上截下兩段(允許有余料)作為兩邊,有幾種不同的截法?解析取30cm為一邊長,設(shè)另兩邊長為xcm、ycm(x<y).若3

0cm與20cm對應(yīng),則

=

=

,解得x=75,y=90.75+90>50,故此種情況不存在.若30cm與50cm對應(yīng),則

=

=

,解得x=12,y=36.12+36=48<50,故此種情況存在.若30cm與60cm對應(yīng),則

=

=

,解得x=10,y=25.10+25=35<50,故此種情況存在.當(dāng)取50cm作為一邊長時(shí),無法得到符合題意的三角形.綜上所述,有兩種不同的截法.能力提升全練8.(2024陜西西安二十六中期末,8,★★☆)如圖,點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是(1,1),(1,5),(5,1),(7,1),以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是

(

)A.(7,-2)

B.(5,-1)

C.(6,0)

D.(7,3)A解析∵點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(1,1),(1,5),(5,1),∴AB=AC=4,

∠BAC=90°,即△ABC為等腰直角三角形,∵D(7,1),∴CD=2,

∵以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,∴△CDE為等腰直角三角形,當(dāng)CD=CE=2時(shí),如圖,可知E1(5,3),E2(7,3),E3(5,-1),E4(7,-1);

當(dāng)CE=DE時(shí),過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F,如圖:

∵CE=DE,EF⊥CD,∴點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),∴CF=1,∵∠CED=90°,∴EF=

CD=1,∴E5(6,2),E6(6,0).綜上,點(diǎn)E的坐標(biāo)可能是(5,3)或(7,3)或(5,-1)或(7,-1)或(6,2)或

(6,0).故選A.9.(2024上海金山期末,6,★★☆)如圖,在4×1的方格圖中,每一

個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),以其中三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角

形稱為格點(diǎn)三角形,△ABC就是一個(gè)格點(diǎn)三角形,現(xiàn)從△ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)中選取兩個(gè)格點(diǎn),再從余下的格點(diǎn)中選取一個(gè)格

點(diǎn)連接成格點(diǎn)三角形,其中與△ABC相似的有

(

)

CA.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)解析設(shè)每個(gè)小正方形的邊長都為1,如圖,根據(jù)勾股定理得,AD=

=

,AC=

=

,BC=

=

,BE=

=

,CF=

=

,∵AB=2,CD=2,BF=1,∴

=1,

=1,

=1,

=

=

,

=

=

,

=

=

,

=

,

=

=

,

=

=

,∴

=

=

,

=

=

,

=

=

,∴△ABC∽△CDA,△ABC∽△BCE,△ABC∽△CBF,故選C.方法解讀判斷網(wǎng)格中三角形是否相似的方法對于網(wǎng)格中的三角形相似問題,一般先求出網(wǎng)格中三角形的

三邊長,按大小順序排列,然后利用三邊成比例或兩邊成比例

且夾角相等來判斷三角形是否相似.10.(情境題·中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化)(2024山東濟(jì)南槐蔭期中,13,★★☆)中國象棋是中國棋文化,也是中華民族的文化瑰寶,它源遠(yuǎn)流長,趣味濃厚,基本規(guī)則簡明易懂.如圖所示的是中國象棋的棋盤(各個(gè)小正方形的邊長均相等),根據(jù)“馬走日”的規(guī)則,“馬”應(yīng)該落在位置

(填序號)處,能使“馬”“炮”“兵”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形與“帥”“車”“相”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似.②解析設(shè)小正方形的邊長均為1,由題圖可知“帥”“車”

“相”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三邊的長分別為4,2,

2

,“兵”“炮”之間的距離為2,“炮”與②之間的距離為1,“兵”與②之間的距離為

,∵

=

=

=

,∴“馬”應(yīng)該落在②的位置,故答案為②.11.(2020江蘇南京中考節(jié)選,26,★★★)如圖,在△ABC和△A'B'C'中,D、D'分別是AB、A'B'上的點(diǎn),

=

.當(dāng)

=

=

時(shí),判斷△ABC與△A'B'C'是否相似,并說明理由.解析相似.理由:如圖,過點(diǎn)D、D'分別作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于E,D'E'交A'C'于E'.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

,同理,

=

=

,∵

=

,∴

=

,∴

=

,同理,

=

,∴

=

,即

=

,∴

=

,∵

=

=

,∴

=

=

,∴△DCE∽△D'C'E',∴∠CED=∠C'E'D',∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°,同理,∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°,∴∠ACB=∠A'C'B',又∵

=

,∴△ABC∽△A'B'C'.素養(yǎng)探究全練12.(推理能力)我們可以借助兩個(gè)直角三角形全等的條件,探

索兩個(gè)直角三角形相似的條件.(1)“對于兩個(gè)直角三角形,滿足一邊、一銳角分別相等或兩

直角邊分別相等,這兩個(gè)直角三角形全等.”類似地,可以得

到“滿足

或

的兩個(gè)直角三角形相似.”(2)“滿足斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.”類似地,可以得到“滿足

的兩個(gè)直角三角形相似.”(3)如圖,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°