第四章第二課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值及應(yīng)用能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究12.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值最大最小最小最大1.思考辨析，判斷正誤×(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn都可以寫成二次函數(shù)Sn＝An2＋Bn.(

)提示當(dāng)公差為0時(shí)，Sn為一次函數(shù).×(3)若等差數(shù)列{an}的公差d>0，則{an}的前n項(xiàng)和一定有最小值.(

)√×2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是(

) A.5 B.6 C.7 D.8

解析依題意得2a6＝4，2a7＝－2，所以a6＝2>0，a7＝－1<0.

又?jǐn)?shù)列{an}是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起，以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，

于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝6.B2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是(

) A.5 B.6 C.7 D.8

解析依題意得2a6＝4，2a7＝－2，所以a6＝2>0，a7＝－1<0.

又?jǐn)?shù)列{an}是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起，以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，

于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝6.BC∴當(dāng)n＝7或8時(shí)，Sn有最大值.4.設(shè)an＝14－3n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最________(填“大”或“小”)值為________.解析

由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值.大26課堂互動(dòng)題型剖析2題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題的判斷【例1】

(多選題)在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1>0，公差d≠0，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，則下列命題正確的是(

) A.若S3＝S11，則必有S14＝0 B.若S3＝S11，則S7是{Sn}中的最大項(xiàng) C.若S7>S8，則必有S8>S9 D.若S7>S8，則必有S6>S8ABC思維升華思維升華又S8>S7>…>S1>0，a1>a2>…>a8>0，B【例2】

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；題型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的計(jì)算解法一(公式法)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝32＝34－2×1，滿足an＝34－2n.故{an}的通項(xiàng)公式為an＝34－2n.解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)求{an}的前多少項(xiàng)和最大？解法一(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項(xiàng)大于或等于零.又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0，當(dāng)n≥18時(shí)，an＜0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大.【遷移】

(變條件)將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n項(xiàng)和Sn的最大值.解∵S9＝S17，a1＝25，解得d＝－2.＝－(n－13)2＋169.∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.法二由S9＝S17，得a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.因?yàn)閐＝－2<0，a1>0，所以a13>0，a14<0.故當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169.在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值的方法(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)值.(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值.思維升華解

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.(2)求Tn的最小值.∴當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，(Tn)min＝－5.故Tn的最小值為T4＝T5＝－5.【例3】

7月份，有一新款服裝投入某市場(chǎng).7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當(dāng)日銷售量達(dá)到最大(只有1天)后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當(dāng)天剛好售出3件. (1)問7月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？題型三等差數(shù)列求和的實(shí)際應(yīng)用解

設(shè)7月n日售出的服裝件數(shù)為an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件.∴7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件.(2)按規(guī)律，當(dāng)該市場(chǎng)銷售此服裝達(dá)到200件時(shí)，社會(huì)上就開始流行，而日銷售量連續(xù)下降并低于20件時(shí)，則不再流行.問該款服裝在社會(huì)上流行幾天？解

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∵S13＝273>200，∴當(dāng)1≤n≤13時(shí)，由Sn>200，得12≤n≤13，當(dāng)14≤n≤31時(shí)，日銷售量連續(xù)下降，由an<20，得23≤n≤31，∴該款服裝在社會(huì)上流行11天(從7月12日到7月22日).應(yīng)用等差數(shù)列解決實(shí)際問題的一般思路：思維升華【訓(xùn)練3】

某單位用分期付款的方式為職工購買40套公寓，共需1150萬元，購買當(dāng)天先付150萬元，以后每月這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150萬元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，則全部按期付清后，買這40套公寓實(shí)際花了多少錢？解由于購房時(shí)先付150萬元，則欠款1000萬元.依題意分20次付款，則每次付款金額順次構(gòu)成數(shù)列{an}，∴實(shí)際共付1105＋150＝1255(萬元).故全部按期付清后，買這40套公寓實(shí)際花了1255萬元.1.熟記等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.2.掌握2種求Sn最大(小)值的方法. (1)通項(xiàng)公式法；(2)函數(shù)性質(zhì)法.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

由于n取正整數(shù)，所以Sn不一定是在頂點(diǎn)處取得最值，而可能是在離頂點(diǎn)最近的橫坐標(biāo)取整數(shù)的點(diǎn)處取得最值.課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.已知數(shù)列{an}滿足an＝26－2n，則使其前n項(xiàng)和Sn取最大值的n的值為(

) A.11或12 B.12 C.13 D.12或13D解析

∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列.又a1＝24，d＝－2，∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大.2.若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n的值為(

) A.6 B.7 C.8 D.9B因?yàn)閗∈N*，所以k＝7.故滿足條件的n的值為7.3.在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安四百二十里，良馬初日行九十七里，日增一十五里；駑馬初日行九十二里，日減一里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.問：幾日相逢？(

) A.4日

B.3日 C.5日

D.6日A解析

由題意，可知良馬第n日行程記為an，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為97，公差為15的等差數(shù)列，駑馬第n日行程記為bn，則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為92，公差為－1的等差數(shù)列，則an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢.4.若在數(shù)列{an}中，an＝43－3n，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝(

) A.13 B.14 C.15 D.14或15B5.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長(zhǎng)排來差三歲，共年二百又零七，借問長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則a1＝(

) A.35 B.32 C.23 D.38A二、填空題6.在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)，Sn取得最大值，則公差d的取值范圍是___________.7.若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大.8解析

∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0.故前8項(xiàng)的和最大.8.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10＝40，則a3·a8的最大值為________.16當(dāng)且僅當(dāng)a3＝4時(shí)取等號(hào).三、解答題9.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范圍；解∵a3＝12，∴a1＝12－2d.∵S12＞0，S13＜0，(2)問前幾項(xiàng)的和最大？并說明理由.解∵S12＞0，S13＜0，又由(1)知d＜0.∴數(shù)列前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起為負(fù).∴數(shù)列前6項(xiàng)和最大.10.流行性感冒(簡(jiǎn)稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感.據(jù)統(tǒng)計(jì)，11月1日該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人.到11月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病毒的患者總共8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù).依題設(shè)構(gòu)建方程有Sn＋Tn＝8670，即25n2－5n＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670.化簡(jiǎn)，得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49(舍去)，第12天的新患者人數(shù)為20＋(12－1)×50＝570(人).故11月12日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多，這一天的新患者人數(shù)為570人.11.《張邱建算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個(gè)圈.頭節(jié)高五寸①，頭圈一尺三②，逐節(jié)多三分③，逐圈少分三④.一蟻往上爬，遇圈則繞圈.爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)？”(注釋：①第一節(jié)的高度為0.5尺；②第一圈的周長(zhǎng)為1.3尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；④每圈周長(zhǎng)比其下面的一圈少0.013尺)

問：此民謠提出的問題的答案是(

) A.61.395尺

B.61.905尺 C.72.705尺

D.73.995尺A8或9即n＝8或9時(shí)，Tn有最大值；若當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時(shí)，Tn有最大值，13.某電站沿一條公路豎立電線桿，相鄰兩根電線桿的距離都是50m，最遠(yuǎn)一根電線桿距離電站1550m，一汽車每次從電站運(yùn)出3根電線桿供應(yīng)施工.若該汽車往返運(yùn)輸總行程為17500m，共豎立多少根電線桿？第一根電線桿距離電站多少米？解由題意知汽車逐趟(由近及遠(yuǎn))往返運(yùn)輸行程組成一個(gè)等差數(shù)列，記為{an}，則an＝1550×2＝3100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17500.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，由①得a1＝3400－300n.代入②得n(3400－300n)＋150n(n－1)－17500＝0，整理得3n2－65n＋350＝0，所以a1＝3400－300×10＝400.故汽車?yán)?0趟，共拉電線桿3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400m，所以共豎立了30根電線桿，第一根電線桿距離電站100m.14.(多選題)首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，現(xiàn)有下列四個(gè)命題，其中正確的命題有(

) A.若S10＝0，則S2＋S8＝0 B.若S4＝S12，則使Sn>0的n的最大值為15 C.若S15>0，S16<0，則{Sn}中S8最大

D.若S7<S8，則S8<S9BC對(duì)于C，若S15>0，S16<0，則有a8>0，a9<0，故{Sn}中S8最大，故C正確；對(duì)于D，若S7<S8，即a8＝S8－S7>0，而S9－S8＝a9，不能確定其符號(hào)，D錯(cuò)誤.備用工具&資料14.(多選題)首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，現(xiàn)有下列四個(gè)命題，其中正確的命題有(

) A.若S10＝0，則S2＋S8＝0 B.若S4＝S12，則使Sn>0的n的最大值為15 C.若S15>0，S16<0，則{Sn}中S8最大