7.4.1二項(xiàng)分布第七章

§7.4

二項(xiàng)分布與超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.理解n重伯努利試驗(yàn)的概念.2.掌握二項(xiàng)分布.3.能利用n重伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE1.n重伯努利試驗(yàn)的概念將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).2.n重伯努利試驗(yàn)的共同特征(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)

做n次.(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果

.知識(shí)點(diǎn)一n重伯努利試驗(yàn)及其特征重復(fù)相互獨(dú)立思考在相同條件下，有放回地抽樣試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)嗎？答案是.其滿足n重伯努利試驗(yàn)的共同特征.一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，n.稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作

.知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)分布X～B(n，p)若X～B(n，p)，則E(X)＝

，D(X)＝

.知識(shí)點(diǎn)三二項(xiàng)分布的均值與方差npnp(1－p)1.設(shè)X為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X～B(n，p).(

)2.在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒(méi)有影響.(

)3.對(duì)于n重伯努利試驗(yàn)，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同.(

)4.如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n重伯努利試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×√1.設(shè)X為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X～B(n，p).(

)2.在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒(méi)有影響.(

)3.對(duì)于n重伯努利試驗(yàn)，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同.(

)4.如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n重伯努利試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×√2題型探究PARTTWO一、n重伯努利試驗(yàn)的判斷例1判斷下列試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn)：(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；解由于試驗(yàn)的條件不同(質(zhì)地不同)，因此不是n重伯努利試驗(yàn).(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；解某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是n重伯努利試驗(yàn).(3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球.解每次抽取，試驗(yàn)的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是n重伯努利試驗(yàn).反思感悟n重伯努利試驗(yàn)的判斷依據(jù)(1)要看該試驗(yàn)是不是在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行.(2)每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，互不影響.(3)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件發(fā)生，不發(fā)生.跟蹤訓(xùn)練1

(多選)下列事件不是n重伯努利試驗(yàn)的是A.運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒(méi)

射中目標(biāo)”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)√√√解析AC符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨(dú)立事件；D是n重伯努利試驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練1

(多選)下列事件不是n重伯努利試驗(yàn)的是A.運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒(méi)

射中目標(biāo)”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)√√√解析AC符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互獨(dú)立事件；D是n重伯努利試驗(yàn).二、n重伯努利試驗(yàn)的概率例2

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是

，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響.(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答)(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；解記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當(dāng)于3重伯努利試驗(yàn)，(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.解記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，延伸探究1.在本例(2)的條件下，求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率.解記“甲擊中目標(biāo)1次”為事件A3，“乙擊中目標(biāo)1次”為事件B3，2.在本例(2)的條件下，求甲未擊中，乙擊中2次的概率.解記“甲未擊中目標(biāo)”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，反思感悟n重伯努利試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟(1)判斷：依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn).(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆.(3)計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練2

甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)勝的概率為

，沒(méi)有平局.(1)若進(jìn)行三局兩勝制比賽，先勝兩局者勝，甲獲勝的概率是多少？解甲第一、二局勝，或第二、三局勝，或第一、三局勝，(2)若進(jìn)行五局三勝制比賽，甲獲勝的概率為多少？解甲前三局勝，或甲第四局勝，而前三局僅勝兩局，或甲第五局勝，而前四局僅勝兩局，三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用例3一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是

.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的均值；故ξ的分布列為(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)η的分布列；解η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個(gè)是綠燈，k＝0,1,2,3,4,5，故η的分布列為(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.解所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)反思感悟概率綜合問(wèn)題的求解策略(1)定模型：準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問(wèn)題歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、n重伯努利試驗(yàn)中的某一種.(2)明事件：判斷事件是A＋B還是AB.(3)套公式：選擇相應(yīng)公式求解即可.跟蹤訓(xùn)練3

某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為

，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問(wèn)題詢問(wèn)該服務(wù)中心.且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列，并求E(X).∴X的分布列為3隨堂演練PARTTHREE12345√123452.一頭豬服用某藥品后被治愈的概率是90%，則服用這種藥的5頭豬中恰有3頭被治愈的概率為A.0.93 B.1－(1－0.9)3C.C×0.93×0.12 D.C×0.13×0.92√12345√解析設(shè)此射手的命中概率為x，則不能命中的概率為1－x，123454.從次品率為0.1的一批產(chǎn)品中任取4件，恰有兩件次品的概率為_______.0.0486123455.已知小明投10次籃，每次投籃的命中率均為0.7，記10次投籃中命中的次數(shù)為X，則D(X)＝_____.2.1解析由題意，知X～B(10,0.7)，則D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1.1.知識(shí)清單：(1)n重伯努利試驗(yàn)的概念及特征.(2)二項(xiàng)分布的概念及表示.2.方法歸納：數(shù)學(xué)建模.3.常見誤區(qū)：二項(xiàng)分布的判斷錯(cuò)誤.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.設(shè)X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.4解析∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故選D.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才算通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.31212345678910111213141516√解析根據(jù)題意，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的兩種情況分別為投中2次和投中3次，3.有n位同學(xué)參加某項(xiàng)選拔測(cè)試，每位同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率都是p(0<p<1)，假設(shè)每位同學(xué)能否通過(guò)測(cè)試是相互獨(dú)立的，則至少有1位同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為A.(1－p)n B.1－pnC.pn D.1－(1－p)n123456789101112131415解析所有同學(xué)都不能通過(guò)測(cè)試的概率為(1－p)n，則至少有1位同學(xué)能通過(guò)測(cè)試的概率為1－(1－p)n.16√√解析當(dāng)甲以3∶1的比分獲勝時(shí)，說(shuō)明甲乙兩人在前三場(chǎng)比賽中，甲只贏了兩局，乙贏了一局，第四局甲贏，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516解析如圖，由題意可知，質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)3次才能位于點(diǎn)(2,3)，問(wèn)題相當(dāng)于5次重復(fù)試驗(yàn)中向右恰好發(fā)生2次的概率，1234567891011121314156.一個(gè)學(xué)生通過(guò)某種英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率是

，他連續(xù)測(cè)試n次，要保證他至少有一次通過(guò)的概率大于0.9，那么n的最小值為____.1647.將一枚均勻的硬幣拋擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為____.12345678910111213141516解析正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多，則正面可以出現(xiàn)4次、5次或6次，8.某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，該市的4位申請(qǐng)人中恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為____.12345678910111213141516解析每位申請(qǐng)人申請(qǐng)房源為一次試驗(yàn)，這是4重伯努利試驗(yàn)，設(shè)申請(qǐng)A片區(qū)的房源記為事件A，1234567891011121314159.某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)：(1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；16解記“預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確”為事件A，則P(A)＝0.8，5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5重伯努利試驗(yàn).因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.123456789101112131415(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率.16解“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”.所以所求概率為1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.12345678910111213141510.某廣場(chǎng)上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是

，出現(xiàn)綠燈的概率都是

.記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為ξ，當(dāng)這4盞裝飾燈閃爍一次時(shí)：(1)求ξ＝2時(shí)的概率；16解依題意知，ξ＝2表示4盞裝飾燈閃爍一次時(shí)，恰好有2盞燈出現(xiàn)紅燈，123456789101112131415(2)求ξ的均值.16123456789101112131415解方法一ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，16∴ξ的分布列為12345678910111213141516綜合運(yùn)用12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，1234567891011121314151612.箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為√解析由題意知前3次取出的均為黑球，第4次取得的為白球.12345678910111213141513.在4重伯努利試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是A.[0.4,1) B.(0,0.4]C.(0,0.6] D.[0.6,1]16√解得p≥0.4，又∵0<p<1，∴0.4≤p<1，故選A.12345678910111213141516解析S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，拓廣探究12345678910111213141516√12345678910111213141516∴當(dāng)k＝3時(shí)，P(X＝k)取得最大值.1234567891011121314151616.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；12345678910111213141516解設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.123456789101112131415(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，均值E(X)及方差D(X).1612345678910111213141516解X可能取的值為0,1,2,3，則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.備用工具&資料123456789101112131415(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于10