5．2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【題型歸納目錄】題型一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)題型三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點(diǎn)處與過點(diǎn)處）題型六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點(diǎn)坐標(biāo)問題題型七：與切線有關(guān)的綜合問題題型八：切線平行、垂直問題題型九：最值問題題型十：公切線問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），，這樣的形式．要點(diǎn)詮釋：1、常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）．其幾何意義是曲線（C為常數(shù)）在任意點(diǎn)處的切線平行于x軸．2、有理數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的次冪的乘積，即（）．特別地，．3、正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù)，即．4、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù)，即．5、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．6、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．有時(shí)也把記作：以上常見函數(shù)的求導(dǎo)公式不需要證明，只需記住公式即可．知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）要點(diǎn)詮釋：1、上述法則也可以簡(jiǎn)記為：（?。┖停ɑ虿睿┑膶?dǎo)數(shù)：，推廣：．（ⅱ）積的導(dǎo)數(shù)：，特別地：（c為常數(shù)）．（ⅲ）商的導(dǎo)數(shù)：，兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則的特例，當(dāng)時(shí)，．這是一個(gè)函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則．2、兩函數(shù)積與商求導(dǎo)公式的說明（1）類比：，，注意差異，加以區(qū)分．（2）注意：且．3、求導(dǎo)運(yùn)算的技巧在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡(jiǎn)（可能化去了商或積），然后進(jìn)行求導(dǎo)，可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量．知識(shí)點(diǎn)三：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、復(fù)合函數(shù)的概念對(duì)于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復(fù)合函數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常把稱為“內(nèi)層”，稱為“外層”．2、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，，函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并且，或?qū)懽鳎?、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（1）分層：將復(fù)合函數(shù)分出內(nèi)層、外層．（2）各層求導(dǎo)：對(duì)內(nèi)層，外層分別求導(dǎo)．得到，（3）求積并回代：求出兩導(dǎo)數(shù)的積：，然后將，即可得到的導(dǎo)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：1、整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分層——求導(dǎo)——回代，熟練以后，可以省略中間過程．若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量．2、選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵．求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏．求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．【典型例題】題型一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1．(2023·湖南·株洲市淥口區(qū)第三中學(xué)高二期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2)；(3)；(4)；(5).例2．(2023·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1);(2);(3)；(4).例3．(2023·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(1)，；(2)，．變式1．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結(jié)】（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)．（2）若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．題型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例4．(2023·陜西·延安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2)；(3)；(4).例5．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．例6．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，…，，，試求．變式2．(2023·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二階段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．變式3．(2023·全國·高二專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的策略（1）分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定所需的求導(dǎo)法則和基本公式．（2）如果求導(dǎo)式比較復(fù)雜，則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等．（3）利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．題型三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7．(2023·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（理））求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）（為常數(shù)）；（2）.例8．(2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二階段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)；(2)；(3)；(4).例9．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．變式4．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．變式5．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結(jié)】（1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔．題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例10．(2023·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（理））若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C． D．例11．(2023·湖北·武漢市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．例12．(2023·新疆·霍城縣第二中學(xué)高二期末（文））已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C．1 D．變式6．(2023·吉林·高二期末）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C． D．2變式7．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法是利用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，再利用求導(dǎo)公式來求解即可．題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點(diǎn)處與過點(diǎn)處）例13．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)作曲線（）的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為________．例14．(2023·陜西·西安中學(xué)高二階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，且.(1)求、的值；(2)設(shè)函數(shù)，求曲線在處的切線方程.例15．(2023·浙江·寧波市李惠利中學(xué)高二期中）已知函數(shù).(1)求導(dǎo)函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程.變式8．(2023·全國·高二期末）已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)函數(shù)；(2)設(shè)是的零點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.變式9．(2023·全國·高二專題練習(xí)）計(jì)算：(1)求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)．(2)已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍變式10．(2023·全國·高二專題練習(xí)）（1）P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最小值；（2）已知函數(shù)，求函數(shù)過點(diǎn)的切線方程.變式11．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線.（1）求曲線S在點(diǎn)處的切線方程；（2）求過點(diǎn)并與曲線S相切的直線方程.變式12．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x3．（1）求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)A(1，f（1）)的曲線f(x)的切線方程．變式13．(2023·廣東·高州市長(zhǎng)坡中學(xué)高二階段練習(xí)）求曲線過點(diǎn)的切線方程．變式14．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求這個(gè)函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)若過點(diǎn)的直線l與這個(gè)函數(shù)圖象相切，求l的方程．變式15．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求過點(diǎn)且與曲線在點(diǎn)處的切線平行的直線方程．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況①若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；②若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．（2）求過點(diǎn)與曲線相切的直線方程的三個(gè)步驟題型六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點(diǎn)坐標(biāo)問題例16．(2023·天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高二階段練習(xí)）已知曲線的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______例17．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））設(shè)為曲線上的點(diǎn),且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為__________．例18．(2023·甘肅·蘭州一中高二期中（理））在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.變式16．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＝________.變式17．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點(diǎn)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算．（2）結(jié)合圖象，利用公式計(jì)算求解，體現(xiàn)了直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．題型七：與切線有關(guān)的綜合問題例19．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與曲線相切，則的最大值為___________.例20．(2023·河南·鄭州市第二高級(jí)中學(xué)高二期中（理））設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.例21．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象為曲線C．(1)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線（均不與x軸垂直），求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)證明：不存在與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)的直線．變式18．(2023·全國·高二期末）（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求；（2）設(shè)是函數(shù)圖象的一條切線，證明：與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積與切點(diǎn)無關(guān)．變式19．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，從點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再從作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：，；，；；，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（）(1)試求與的關(guān)系（）(2)求變式20．(2023·浙江·效實(shí)中學(xué)高二期中）已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為__________．變式21．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值.【方法技巧與總結(jié)】（1）求切線的關(guān)鍵要素為切點(diǎn)，若切點(diǎn)已知便直接使用，切點(diǎn)未知?jiǎng)t需先設(shè)再求．兩直線平行與垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進(jìn)而成為解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)鍵條件．（2）在考慮函數(shù)問題時(shí)首先要找到函數(shù)的定義域．在解出自變量的值或范圍時(shí)也要驗(yàn)證其是否在定義域內(nèi)．題型八：切線平行、垂直問題例22．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象為曲線，若曲線存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.例23．(2023·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，且點(diǎn)在第三象限．(1)求的坐標(biāo)；(2)若直線，且l也過切點(diǎn)，求直線l的方程．例24．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求曲線的與直線平行的切線方程.變式22．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（，﹣1），B（2，1），函數(shù)f（x）＝log2x．（1）過原點(diǎn)O作曲線y＝f（x）的切線，求切線的方程；（2）曲線y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在點(diǎn)P，使得過P的切線與直線AB平行？若存在，則求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，則請(qǐng)說明理由．變式23．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx的導(dǎo)數(shù)為，（1）求；（2）若曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式24．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．變式25．(2023·湖北武漢·高二期末）已知函數(shù)．如果曲線的某一切線與直線垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程．【方法技巧與總結(jié)】切線平行可得斜率相等，切線垂直可得斜率之積為．題型九：最值問題例25．(2023·江西·臨川一中高二期末（文））若動(dòng)直線分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為______．例26．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，其中，點(diǎn)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值．例27．(2023·湖南郴州·高二期末）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.變式26．(2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在函數(shù)，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為______．變式27．(2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)（文））已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為____________．變式28．(2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，在直線上，則的最小值________.【方法技巧與總結(jié)】轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線距離題型十：公切線問題例28．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與曲線（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）和曲線都相切，則直線l的斜率為______．例29．(2023·全國·高二專題練習(xí)）若函數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線與，的圖象都相切，求實(shí)數(shù)的值.例30．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，求實(shí)數(shù)的值．變式29．(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知直線為曲線的切線，若直線l與曲線也相切，則實(shí)數(shù)m的值為__________．變式30．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)），直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則的值為_______.變式31．(2023·遼寧·鳳城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)若直線l與曲線，都相切，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·四川省蘆山中學(xué)高二期中（理）），則（

）A．6 B．5 C．3 D．22．(2023·貴州六盤水·高二期末（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．3．(2023·陜西·咸陽市高新一中高二期中（理））曲線（）在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則它在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．5．(2023·陜西·西安中學(xué)高二期中）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．6．(2023·河南南陽·高二期末（理））曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（

）A．2 B． C． D．7．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，……，，，則（

）A． B． C． D．8．(2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C．4 D．二、多選題9．(2023·山東煙臺(tái)·高二期末）設(shè)，為曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，且垂足為P，則下列說法正確的有（

）A．A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為定值 B．A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值C．直線AB的斜率為定值 D．P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（0，1）10．(2023·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）下列選項(xiàng)正確的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則11．(2023·山東東營·高二期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，直線能作為曲線的切線，則曲線的方程可以為（

）A． B．C． D．12．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在，使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．(2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍是__．14．(2023·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則當(dāng)時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)為________15．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求曲線在點(diǎn)處的切線與x軸、直線x＝2所圍成的三角形的面積是______．16．(2023·遼寧錦州·高二期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則______．四、解答題17．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．18．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4).19．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，試比較與的大小關(guān)系.20．(2023·浙江金華第一中學(xué)高二期中）（1）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；（2）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，求．21．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在①，；②，的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為1；③的圖像在點(diǎn)處的切線方程為這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并求解.已知函數(shù)，且___________.(1)求，的值；(2)求的圖像在點(diǎn)處的切線方程及切線與直線，軸圍成圖形的面積.22．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，，且.(1)若，求使成立的的取值范圍；(2)若，求函數(shù)的取值范圍.5．2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【題型歸納目錄】題型一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)題型三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點(diǎn)處與過點(diǎn)處）題型六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點(diǎn)坐標(biāo)問題題型七：與切線有關(guān)的綜合問題題型八：切線平行、垂直問題題型九：最值問題題型十：公切線問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8），，這樣的形式．要點(diǎn)詮釋：1、常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即（C為常數(shù)）．其幾何意義是曲線（C為常數(shù)）在任意點(diǎn)處的切線平行于x軸．2、有理數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的次冪的乘積，即（）．特別地，．3、正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù)，即．4、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù)，即．5、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．6、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，．有時(shí)也把記作：以上常見函數(shù)的求導(dǎo)公式不需要證明，只需記住公式即可．知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）和差的導(dǎo)數(shù)：（2）積的導(dǎo)數(shù)：（3）商的導(dǎo)數(shù)：（）要點(diǎn)詮釋：1、上述法則也可以簡(jiǎn)記為：（?。┖停ɑ虿睿┑膶?dǎo)數(shù)：，推廣：．（ⅱ）積的導(dǎo)數(shù)：，特別地：（c為常數(shù)）．（ⅲ）商的導(dǎo)數(shù)：，兩函數(shù)商的求導(dǎo)法則的特例，當(dāng)時(shí)，．這是一個(gè)函數(shù)倒數(shù)的求導(dǎo)法則．2、兩函數(shù)積與商求導(dǎo)公式的說明（1）類比：，，注意差異，加以區(qū)分．（2）注意：且．3、求導(dǎo)運(yùn)算的技巧在求導(dǎo)數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡(jiǎn)（可能化去了商或積），然后進(jìn)行求導(dǎo)，可避免使用積、商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量．知識(shí)點(diǎn)三：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、復(fù)合函數(shù)的概念對(duì)于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復(fù)合函數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常把稱為“內(nèi)層”，稱為“外層”．2、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，，函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并且，或?qū)懽鳎?、掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（1）分層：將復(fù)合函數(shù)分出內(nèi)層、外層．（2）各層求導(dǎo)：對(duì)內(nèi)層，外層分別求導(dǎo)．得到，（3）求積并回代：求出兩導(dǎo)數(shù)的積：，然后將，即可得到的導(dǎo)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：1、整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分層——求導(dǎo)——回代，熟練以后，可以省略中間過程．若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量．2、選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵．求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，逐層求導(dǎo)，不遺漏．求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．【典型例題】題型一：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1．(2023·湖南·株洲市淥口區(qū)第三中學(xué)高二期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】（1）（2）（3）（4）（5）例2．(2023·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1);(2);(3)；(4).【解析】(1)解:因?yàn)?，所?(2)解:因?yàn)?，所以，?(3)解:因?yàn)?，所以，?(4)解:因?yàn)?，所?例3．(2023·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(1)，；(2)，．【解析】(1)因?yàn)?，所以，所?(2)因?yàn)?，所以，所?變式1．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】(1)由，得，所以(2)由，得，所以(3)由，得，(4)由，得【方法技巧與總結(jié)】（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)．（2）若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式要化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo)．題型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)例4．(2023·陜西·延安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2)；(3)；(4).答案：(1)(2)(3)(4)分析：利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)規(guī)則去求導(dǎo)即可（1）由，可得（2）由，可得（3）由，可得（4）由，可得例5．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）．例6．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，…，，，試求．【解析】，，，，，，…，，可知周期為，又，∴．變式2．(2023·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二階段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）因?yàn)椋?，即；?）因?yàn)?，則.（3）因?yàn)?，所?變式3．(2023·全國·高二專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；【解析】（1）．（2）因?yàn)?，所以【方法技巧與總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的策略（1）分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定所需的求導(dǎo)法則和基本公式．（2）如果求導(dǎo)式比較復(fù)雜，則需要對(duì)式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等．（3）利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．題型三：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7．(2023·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（理））求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）（為常數(shù)）；（2）.【解析】（1）由可得；（2）由可得例8．(2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二階段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例9．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴.（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（4）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（5）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（6）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．變式4．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【解析】（1），.（2），，.（3），.（4），.（5），．變式5．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．答案：(1)(2)(3)(4)分析：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo).（1）設(shè)，，則．（2）設(shè)，，，則．（3）設(shè)，，，則．（4）設(shè)，，則【方法技巧與總結(jié)】（1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔．題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例10．(2023·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（理））若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由，得，令，則，解得，所以，.故選：D.例11．(2023·湖北·武漢市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋?，所以，解得；故選：B例12．(2023·新疆·霍城縣第二中學(xué)高二期末（文））已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C．1 D．答案：B【解析】由，可得，所以，則.故選：B.變式6．(2023·吉林·高二期末）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C． D．2答案：B【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得．故選：B變式7．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：A【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本方法是利用函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，再利用求導(dǎo)公式來求解即可．題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程（在點(diǎn)處與過點(diǎn)處）例13．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)作曲線（）的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為________．答案：【解析】由（），則，化簡(jiǎn)得，則，設(shè)切點(diǎn)為，顯然不在曲線上，則，得，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.例14．(2023·陜西·西安中學(xué)高二階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，且.(1)求、的值；(2)設(shè)函數(shù)，求曲線在處的切線方程.【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，所以，，解得.（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以，，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，函數(shù)在處的切線方程為.例15．(2023·浙江·寧波市李惠利中學(xué)高二期中）已知函數(shù).(1)求導(dǎo)函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程.【解析】(1)由題意，函數(shù)，可得.(2)當(dāng)時(shí)，可得，由（1）得，所以，所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程，即.變式8．(2023·全國·高二期末）已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)函數(shù)；(2)設(shè)是的零點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.【解析】(1)由，得(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，，即，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即變式9．(2023·全國·高二專題練習(xí)）計(jì)算：(1)求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)．(2)已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍【解析】（1）由題意得：；（2）,由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，則P處的切線的斜率，由為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角可得，由于，故的取值范圍為：.變式10．(2023·全國·高二專題練習(xí)）（1）P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最小值；（2）已知函數(shù)，求函數(shù)過點(diǎn)的切線方程.【解析】（1）當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時(shí)，切點(diǎn)Q(即為點(diǎn)P)到直線的距離最小，由，而，解得，此時(shí)，即切點(diǎn)，則切點(diǎn)Q到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線距離的最小值為4.（2）設(shè)過點(diǎn)的曲線的切線對(duì)應(yīng)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得：，有，切線方程為，而切線過點(diǎn)，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程，所以所求切線方程為或.變式11．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線.（1）求曲線S在點(diǎn)處的切線方程；（2）求過點(diǎn)并與曲線S相切的直線方程.【解析】（1）∵，則，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線斜率，而，整理得：∴，則，即有，解得，當(dāng)時(shí)：，直線方程為；當(dāng)時(shí)，，直線方程為；當(dāng)時(shí)，，直線方程為.變式12．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x3．（1）求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)A(1，f（1）)的曲線f(x)的切線方程．【解析】(1)由，得，故切線斜率，又因，所以切線方程為，即.(2)當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，由(1)知，切線方程為；當(dāng)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則切線斜率，故切線方程為，又因切線過點(diǎn)，所以，解得(舍)或，因此切線方程為.綜上，過點(diǎn)的切線方程為或.變式13．(2023·廣東·高州市長(zhǎng)坡中學(xué)高二階段練習(xí)）求曲線過點(diǎn)的切線方程．【解析】設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率為，切線的方程為，點(diǎn)在切線上，，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為.綜上，曲線過點(diǎn)的切線方程是：或.變式14．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求這個(gè)函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)若過點(diǎn)的直線l與這個(gè)函數(shù)圖象相切，求l的方程．【解析】（1）令，則，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，又，所以函?shù)在處的切線方程為；（2）設(shè)切點(diǎn)為，由(1)知，，又直線l的斜率為，有，解得，所以，所以直線l的方程為.變式15．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求過點(diǎn)且與曲線在點(diǎn)處的切線平行的直線方程．【解析】∵，∴曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，過點(diǎn)且與切線平行的直線方程為，即．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況①若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；②若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解．（2）求過點(diǎn)與曲線相切的直線方程的三個(gè)步驟題型六：利用導(dǎo)數(shù)公式求切點(diǎn)坐標(biāo)問題例16．(2023·天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高二階段練習(xí)）已知曲線的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______答案：1【解析】設(shè)出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由.故答案為：1例17．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））設(shè)為曲線上的點(diǎn),且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為__________．答案：【解析】由于曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是，則切線斜率的取值范圍是，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，即，解不等式，得或；解不等式，即，解得.所以，不等式組的解集為.因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.例18．(2023·甘肅·蘭州一中高二期中（理））在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.答案：.【解析】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.變式16．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則＝________.答案：【解析】,當(dāng)時(shí)，，故切線方程為，令，得：，則×××…×=.故答案為：變式17．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________.答案：【解析】設(shè)切點(diǎn)，則由得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點(diǎn)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算．（2）結(jié)合圖象，利用公式計(jì)算求解，體現(xiàn)了直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．題型七：與切線有關(guān)的綜合問題例19．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與曲線相切，則的最大值為___________.答案：1【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得，因直線與曲線相切，則，解得，則，而切點(diǎn)在直線上，即，于是得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取最大值1.故答案為：1例20．(2023·河南·鄭州市第二高級(jí)中學(xué)高二期中（理））設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，得，∵，則，又直線的斜率為，于是，解得，故；（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，由(1)知，，則，，∴在點(diǎn)的切線方程為，即，令，得，從而得出切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為B，聯(lián)立，解得，從而切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A.∴曲線在點(diǎn)處的切線與直線、所圍成的三角形的面積為.故曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線、所圍成的三角形的面積為定值且此定值為4.例21．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象為曲線C．(1)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線（均不與x軸垂直），求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)證明：不存在與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)的直線．【解析】(1)，由題，設(shè)其中一條切線的斜率為，則另一條切線的斜率為，由題意得①與②均有解，若①有解，即有解，則，解得，若②有解，即有解，則，解得或．所以或，即或，解得．(2)證明：假設(shè)存在在點(diǎn)的切線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為，則切線方程是，化簡(jiǎn)得．同理可得過的切線方程是，由于兩切線是同一直線，故，得，易知，即，即，即，即，即，解得，當(dāng)時(shí)，，這與矛盾．所以不存在與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)的直線．變式18．(2023·全國·高二期末）（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，求；（2）設(shè)是函數(shù)圖象的一條切線，證明：與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積與切點(diǎn)無關(guān)．【解析】（1），則，所以；（2）設(shè)切點(diǎn)為，∵，，∴切線的斜率，∴切線的方程為：，令，得，令，得，所以與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，因此與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積與切點(diǎn)無關(guān)．變式19．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，從點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再從作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：，；，；；，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（）(1)試求與的關(guān)系（）(2)求【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，∵，∴，∴，在點(diǎn)處的切線方程是，令，則（）．（2）∵，，∴，∴，于是有，即．變式20．(2023·浙江·效實(shí)中學(xué)高二期中）已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為__________．答案：【解析】依題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由求導(dǎo)得：，于是得，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的值為.故答案為：變式21．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值.【解析】（1）由，得；（2）因?yàn)榍悬c(diǎn)既在曲線上，又在切線上，于是將代入切線方程，得，又，則，解得，而切線的斜率為，即，又，則，解得，所以，.【方法技巧與總結(jié)】（1）求切線的關(guān)鍵要素為切點(diǎn)，若切點(diǎn)已知便直接使用，切點(diǎn)未知?jiǎng)t需先設(shè)再求．兩直線平行與垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進(jìn)而成為解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)鍵條件．（2）在考慮函數(shù)問題時(shí)首先要找到函數(shù)的定義域．在解出自變量的值或范圍時(shí)也要驗(yàn)證其是否在定義域內(nèi)．題型八：切線平行、垂直問題例22．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象為曲線，若曲線存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.答案：【解析】，若曲線存在與直線平行的切線，即有解，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.例23．(2023·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，且點(diǎn)在第三象限．(1)求的坐標(biāo)；(2)若直線，且l也過切點(diǎn)，求直線l的方程．【解析】（1）由求導(dǎo)得：，設(shè)切點(diǎn)，而點(diǎn)在第三象限，即，依題意，，解得：，此時(shí)，，顯然點(diǎn)不在直線上，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）直線，而的斜率為4，則直線l的斜率為，又l過切點(diǎn)，于是得直線l的方程為，即，所以直線l的方程為：.例24．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求曲線的與直線平行的切線方程.【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€的切線與直線平行，所以，解得，又點(diǎn)在曲線上，則，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以曲線的與直線平行的切線方程為：，即變式22．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（，﹣1），B（2，1），函數(shù)f（x）＝log2x．（1）過原點(diǎn)O作曲線y＝f（x）的切線，求切線的方程；（2）曲線y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在點(diǎn)P，使得過P的切線與直線AB平行？若存在，則求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，則請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，函數(shù)導(dǎo)數(shù)為由題意可得，解得，則切線方程為；（2）的斜率為，設(shè)，假設(shè)存在點(diǎn)P，使得過P的切線與直線AB平行，可得.可得則曲線上存在點(diǎn)P，使得過P的切線與直線AB平行，且P的橫坐標(biāo)為.變式23．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx的導(dǎo)數(shù)為，（1）求；（2）若曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）依題意，f(x)=ax2+lnx的定義域?yàn)?0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求導(dǎo)得：，于是得，而，所以；（2）因曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線，則此時(shí)切線斜率為0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，方程在內(nèi)有解，于是得方程，即在內(nèi)有解，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.變式24．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．答案：（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).【解析】分析：試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍；（2）根據(jù)（1）可知k與﹣的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍.解析：(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)變式25．(2023·湖北武漢·高二期末）已知函數(shù)．如果曲線的某一切線與直線垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程．【解析】由得，因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以切線斜率為．設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以或，即切點(diǎn)坐標(biāo)為或.所以切線方程為或，即或．【方法技巧與總結(jié)】切線平行可得斜率相等，切線垂直可得斜率之積為．題型九：最值問題例25．(2023·江西·臨川一中高二期末（文））若動(dòng)直線分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為______．答案：【解析】設(shè)曲線的切點(diǎn)為，由，所以曲線的切線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)切線與平行時(shí)，即，即切點(diǎn)為，當(dāng)直線過切點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，此時(shí)，解方程組：，，故答案為：例26．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，其中，點(diǎn)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值．【解析】當(dāng)與平行的直線與相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離取得最小值；由題意得：定義域?yàn)椋?，令得：或，又，，切點(diǎn)分別為，，點(diǎn)到的距離；點(diǎn)到的距離；，，點(diǎn)到直線距離的最小值為.例27．(2023·湖南郴州·高二期末）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.【解析】（1）∵函數(shù)，∴的定義域?yàn)?，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點(diǎn)為，而切點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；（2）由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.變式26．(2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在函數(shù)，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為______．答案：【解析】如題圖，兩個(gè)函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，在定義域上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以函數(shù)遞增的速度由慢到快，遞增的速度由快到慢，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足：時(shí)，取得最小值，由圖象的示意圖不難發(fā)現(xiàn)，該方程組有唯一一組，，所以，，所以的最小值為．故答案為：.變式27．(2023·江西·上高二中高二階段練習(xí)（文））已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為____________．答案：【解析】如下圖所示：若使得取值最小值，則曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，，解得．故答案為：.變式28．(2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，在直線上，則的最小值________.答案：【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，最小，最小值為切線與直線之間的距離，即切點(diǎn)到直線的距離.設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，解得（舍去），故切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離所以的最小值為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線距離題型十：公切線問題例28．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與曲線（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）和曲線都相切，則直線l的斜率為______．答案：【解析】對(duì)求導(dǎo)得，對(duì)求導(dǎo)得，設(shè)直線與兩曲線的切點(diǎn)分別為，，則切線的方程可表示為；切線的方程也可表示為，所以，消去整理得即，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以的解為，所以直線l的斜率．故答案為：.例29．(2023·全國·高二專題練習(xí)）若函數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線與，的圖象都相切，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）由已知，則，又，所以函數(shù)在處的切線為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，又解得；（2）由已知，，設(shè)直線與，的圖象相切的切點(diǎn)分別為則，，所以，可得直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，，解得.例30．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，求實(shí)數(shù)的值．【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則切線的斜率或，若，此時(shí)切線的方程為，由消去，可得，其中，即，解可得；若，其切線方程為，由消去可得，又由，即，解可得．故或．變式29．(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知直線為曲線的切線，若直線l與曲線也相切，則實(shí)數(shù)m的值為__________．答案：4或【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由，得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線l的方程為．又由直線l與曲線相切，聯(lián)立方程，消去y得：，化簡(jiǎn)得，因?yàn)橹本€l與曲線也相切，所以解得或．故答案為：4或.變式30．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)），直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則的值為_______.答案：【解析】因?yàn)樗栽儆膳袆e式為零得考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義變式31．(2023·遼寧·鳳城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)若直線l與曲線，都相切，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)直線l的斜率為k，則，解得，切點(diǎn)為；且，解得，切點(diǎn)為；因?yàn)閘與曲線，都相切，所以，解得．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·四川省蘆山中學(xué)高二期中（理）），則（

）A．6 B．5 C．3 D．2答案：C【解析】，則.故選：C.2．(2023·貴州六盤水·高二期末（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，故曲線在處的切線方程為，整理得，故選：B3．(2023·陜西·咸陽市高新一中高二期中（理））曲線（）在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵，∴，∴，即切線斜率為，又∵曲線（）在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，即．故選：A．4．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)其圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則它在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．答案：A【解析】∵在點(diǎn)處的切線方程為，∴，且，又，∴，且，∴點(diǎn)為，在處切線斜率為，∴所求切線方程為，即．故選：A．5．(2023·陜西·西安中學(xué)高二期中）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解得，故選：A6．(2023·河南南陽·高二期末（理））曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（

）A．2 B． C． D．答案：D【解析】由題知：，再令得，故與直線平行的切線的切點(diǎn)為，所以所求的距離為：．故選：D．7．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，……，，，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意得，，，，，，……，又因?yàn)?，故，故選：B．8．(2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C．4 D．答案：C【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：