類型一二次函數(shù)與線段問題第八節(jié)二次函數(shù)綜合題微技能——動點坐標及線段表示一階

例1如圖①，已知拋物線y＝－x2＋x＋2與x軸交于點A，點B，與

y軸交于點

C，點

P是直線BC上方拋物線上一點．設點

P的橫坐標為

t.一題多設問例1題圖①(1)①點P的坐標可表示為___________________，t的取值范圍為____________；②過點P作PQ⊥x軸于點Q，交線段BC于點H，則點Q的坐標可表示為________，PQ的長可表示為______________，點H的坐標可表示為_____________，PH的長可表示為_____________；例1題圖①0＜t＜4(t，－

t2＋

t＋2)(t，0)－

t2＋

t＋2(t，－

t＋2)－

t2＋2t③過點P作PN⊥y軸交直線BC于點D，則點D的坐標可表示為______________________________，PD的長可表示為__________；(2)將拋物線先向上平移3個單位長度，再向左平移4個單位長度，則點P的對應點P1的坐標可表示為______________________，PP1的長可表示為________；(t2－3t，－

t2＋

t＋2)4t－t2(t－4，－

t2＋

t＋5)5例1題圖①(3)若點P′與點P關于拋物線的對稱軸對稱，則點P′的坐標可表示為_____________________，PP′的長可表示為________；(4)如圖②，過點P作PM⊥BC于點M，則點M的坐標可表示為_______________________，PM的長可以表示為___________．例1題圖①例1題圖②(3－t，－

t2＋

t＋2)2t－3一題多設問二階例2如圖①，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝－x＋2交于點B、C，點B在x軸上，點C在y軸上，拋物線與x軸的另一個交點為A，對稱軸為直線l.一題多設問例2題圖①(1)求拋物線的解析式；例2題圖①解：(1)由直線解析式得點B的坐標為(4，0)，點C的坐標為(0，2)，∵拋物線y＝x2＋bx＋c與直線交于B、C兩點，∴點B(4，0)，C(0，2)在拋物線上，將點B(4，0)，C(0，2)代入拋物線解析式，得解得∴拋物線的解析式為y＝x2－x＋2；(2)若點E為x軸上一點，當BE＝CE時，求點E的坐標；在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝22＋e2＝4＋e2，∵BE＝CE，∴(4－e)2＝4＋e2，解得e＝，∴點E的坐標為(，0)；E(2)如解圖①，由點E在x軸上，可設點E的坐標為(e，0)，連接CE，則BE＝4－e.例2題圖①(3)如圖②，設P為直線BC下方拋物線上一點．過點P作y軸的平行線交直線BC于點H.①求當PH值最大時，點P的坐標；例2題圖②【思維教練】設出點P橫坐標為p，可表示出PH的長，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求出最值；①解：設點P(p，p2－p＋2)，則H(p，－p＋2)，∴PH＝－p＋2－p2＋p－2＝－p2＋2p＝－(p－2)2＋2，∵－＜0，0＜p＜4，∴當p＝2時，PH值最大，最大值為2，此時，點P的坐標為(2，－1)；例2題圖②【拓展設問】如圖③，過點P作PD⊥BC于點D，求PD的最大值；【思維教練】根據(jù)三角函數(shù)表示出PD與PH的關系，從而表示出PD，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出最值．例2題圖③由①知，PH＝－(p－2)2＋2，∵PH∥OC，∴∠PHD＝∠OCB.∵OC＝2，OB＝4，∴，∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCB＝，例2題圖③∴，∵＜0，0＜p＜4，∴當p＝2時，PD有最大值，最大值為；②設PH交AB于點M，設點P(p，p2－p＋2)，則H(p，－p＋2)，M(p，0)，∴HM＝－p＋2，BM＝4－p，∴HB2＝HM2＋BM2＝(－p＋2)2＋(4－p)2＝，解得p＝3或p＝5(舍去)，∴點P的坐標為(3，－1)；【思維教練】根據(jù)點P的坐標可表示出點H的坐標，從而表示出BH的長，再解方程即可求解；②若BH＝，求點P的坐標；例2題圖③③若點P到直線BC的距離為時，過點P作PF∥BC，與拋物線的另一個交點為F，求點F的坐標；【思維教練】點P到直線BC的距離即為PD的長，列方程即可求出此時點P的坐標，PF∥BC，即PF可以由BC平移得到，設出PF的直線解析式，代入點P坐標即可求出PF的解析式，聯(lián)立方程組，即可求出直線PF與拋物線的另一個交點的坐標．例2題圖③③解：PD＝(p－2)2＋，由題意知PD＝

，解得p＝3或p＝1，此時點P的坐標為(3，－1)，(1，0)，∵直線BC的解析式為y＝－x＋2，∴設直線PF的解析式為y＝－x＋m，當直線過點P(3，－1)時，直線PF的解析式為y＝－x＋，此時點F的坐標為(1，0)；例2題圖③當直線過點P(1，0)時，直線PF的解析式為y＝－x＋，此時點F的坐標為(3，－1)，綜上可知，點F的坐標為(1，0)或(3，－1)；例2題圖③(4)在拋物線對稱軸l上是否存在一點F，使得△ACF的周長最小，若存在，求出點F的坐標及△ACF周長的最小值；若不存在，請說明理由．【思維教練】根據(jù)對稱性可確定點F的位置，求出點F的坐標，再利用勾股定理即可求解．(4)存在．要使△ACF的周長最小，即AC＋AF＋CF的值最小，如解圖，連接AC、AF.∵AC為定值，且點A與點B關于對稱軸直線l對稱，∴BC與對稱軸l的交點即為所求的點F.例2題圖F∵拋物線的解析式為y＝x2－x＋2，∴拋物線對稱軸為直線，A(1，0)．∴將x＝代入y＝－x＋2，得y＝－×＋2＝，∴點F的坐標為(，)．例2題圖F∵在Rt△OAC中，OA＝1，OC＝2，由勾股定理得AC＝，在Rt△OBC中，∵OB＝4，OC＝2，由勾股定理得BC＝，∴△ACF周長的最小值為AC＋AF＋CF＝AC＋BC＝＋2＝3.例2題圖F綜合訓練三階1.(2021沈陽25題12分)如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x

軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，點B坐標是(3，0)．拋物線與y

軸交于點C(0，3)，點P是拋物線的頂點，連接PC.第1題圖(1)求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出頂點P的坐標．第1題圖解：(1)∵y＝－x2＋bx＋c過B(3，0)，C(0，3)，∴解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3，頂點P的坐標為(1，4)；【一題多解】y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以P點坐標為(1，4)．(2)直線BC與拋物線對稱軸交于點D，點Q為直線BC上一動點．①當△QAB的面積等于△PCD面積的2倍時，求點Q的坐標；①設直線BC的解析式為y＝kx＋n，將點B(3，0)，點C(0，3)分別代入，得∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.∵直線BC與拋物線對稱軸交于點D，∵點D在對稱軸上，∴點D的橫坐標為1.把x＝1代入y＝－x＋3得y＝2.∴點D的坐標為(1，2)．∴PD＝4－2＝2.第1題圖方法一：∴S△PCD＝2×1×＝1.∴S△PAB＝2S△PCD＝2×1.由拋物線的對稱性可得A(－1，0)，∴AB＝4.設Q(m，－m＋3)，∴×4·(－m＋3)＝2，或×4·(m－3)＝2.∴m＝2或m＝4.∴Q(2，1)或Q(4，－1)；第1題圖第1題圖∴S△ABQ＝2S△PCD＝2.過點Q作CG⊥AB，垂足為點G.方法二：如解圖，過點C作CH⊥PD，垂足為點H，S△PCD＝PD·CH＝×2×1＝1.由拋物線的對稱性可得A(－1，0)，∴AB＝4.S△ABQ＝AB·QG＝×4×QG＝2.∴QG＝1.∴點Q的縱坐標為1或－1.把y＝1和－1分別代入y＝－x＋3中，解得x＝2或x＝4.∴點Q的坐標為(2，1)或(4，－1)；GH②在①的條件下，當點Q在x

軸上方時，過點Q作直線l垂直于AQ，直線y＝x－

交直線l于點F，點G在直線y＝x－上，且AG

＝AQ時，請直接寫出GF的長．【解法提示】如解圖③，第1題解圖③第1題解圖③∵當點Q在x軸上方時，點Q的坐標為(2，1)，點A的坐標為(－1，0)，∴直線AQ的解析式為y＝x＋，AQ＝.∵點G在直線y＝x－上，∴設G(x，x－)．∵AG＝AQ＝，則AG2＝(x＋1)2＋(x－)2＝10.解得x1＝－2，x2＝.∴G1(－2，－3)，G2(，－)．∵l⊥AQ，直線AQ的解析式為y＝x＋，∴設直線l的解析式為y＝－3x＋m，把點Q(2，1)代入，得m＝7.直線QF的解析式為y＝－3x＋7.聯(lián)立解得∴F(，－)．∴FG1＝，F(xiàn)G2＝.②GF的長是.第1題解圖③2.(2023沈陽大東區(qū)一模)如圖①，在平面直角坐標系中，直線BC分別與x軸，y軸交于B(3，0)，C兩點，拋物線y＝ax2＋bx－經(jīng)過B，C兩點，與x軸交于A(－1，0)．第2題圖(1)求該拋物線的表達式，并直接寫出直線BC的表達式_____________；【解法提示】將A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－中得，

解得∴拋物線的解析式為y＝x2－x－.令x＝0，則y＝－.∴C(0，－)．第2題圖第2題圖設直線BC的表達式為y＝kx＋n，得解得∴直線BC的表達式為y＝

－(1)(2)點D是x軸下方拋物線上的一點，過點D作y軸的平行線交直線BC于點E，當DE＝時，設點D的橫坐標為m，求m的值；第2題圖(2)∵D是x軸下方拋物線上的一點，點D的橫坐標為m，－1＜m＜3，∴D(m，m2－m－)．∵點E在直線BC上且直線DE∥y軸，∴E(m，m－)．則EF＝－(m－)＝－m＋，DF＝－m2－m－)＝－m2＋m＋.∴DE＝DF－EF＝－m2＋m＋－(－m＋)＝－m2＋m.∵DE＝，∴－m2＋m＝.解得m1＝m2＝；當0＜m＜3時，設直線DE交x軸于點F，如解圖，EFD第2題圖當－1＜m＜0，設直線DE交x軸于點F，如解圖，則EF＝－(m－)＝－m＋，DF＝－(m2－m－)＝－m2＋m＋.∴DE＝EF－DF＝－m＋－(－m2＋m＋)＝m2－m.∵DE＝，∴m2－m＝.解得m＝(不合題意，舍去)或m＝.EFD第2題圖∴m＝.綜上所述，m的值為或；EFD第2題圖【解法提示】∵B(3，0)，∴OB＝3.∵C(0，－)，∴OC＝.在Rt△OBC中，∵tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝60°.(3)如圖②，在y軸的正半軸上取點M，在射線CB上取點N，連接MN，點P為MN的中點，且CP＝，請直接寫出CM＋CN的最大值____．第2題圖∵點P為MN的中點，且CP＝，∴點P的軌跡是在∠OCB內(nèi)部，以點C為圓心，為半徑的圓弧，不含與邊CO，CB的交點．觀察圖形可以得出，當點P接近邊CO和CB時，CM＋CN接近2，由對稱性可知，當CP為∠OCB的平分線時，CM＋CN的值最大，∴當△CMN為等邊三角形時，CM＋CN最大．∵△CMN為等邊三角形，點P為MN的中點，∴CM＝CN，CP⊥MN，∠CNM＝60°.第2題圖在Rt△CPN中，sin∠CNM＝.∵CP＝，∴CN＝＝2，∴CM＋CN的最大值為4.第2題圖(3)4類型二二次函數(shù)與面積問題

微技能——面積表示一階例1

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝－x2－3x＋4與x軸交于點A，B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，頂點為D，連接AD、DC、AC，點P是直線AC上方的拋物線上一點，且點P的橫坐標為m.連接PA，PB，PC，BC.一題多設問例1題圖(1)AB的長為________，OC的長為________，對稱軸為直線________，頂點D的坐標為________；(2)S△ABC為________，S△AOC為________，S△ADC為________，S四邊形AOCD為________，S四邊形ABCD為________；例1題圖54108(3)S△PAB可表示為_________________；S△PAC可表示為___________；S四邊形ABCP可表示為______________．例1題圖一題多設問二階例2如圖①，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B(1，0)，與y軸交于點C，且對稱軸為直線x＝－1，頂點為D，連接AC，BC.點P是直線AC下方拋物線上一點，連接PA，連接PB交AC于點F.一題多設問例2題圖①(1)求二次函數(shù)的解析式；例2題圖①解：(1)∵拋物線與x軸交于B(1，0)，且對稱軸為直線x＝－1.∴拋物線與x軸另一個交點坐標為A(－3，0)，∴二次函數(shù)的解析式為y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3；(2)若△PAB的面積為8，求點P的坐標；例2題圖①(2)∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，設P(p，p2＋2p－3)(－3＜p＜0)，∴S△PAB＝AB·|yP|＝×4×|p2＋2p－3|＝2|p2＋2p－3|＝8，∴p2＋2p－3＝±4，∴p＝－1或p＝2－1(舍去)或p＝－2－1(舍去)，∴p＝－1，∴點P的坐標為(－1，－4)；(3)如圖②，若S△AFP＝S△FBC，請求出點P的坐標；【思維教練】要求點P的坐標，已知S△AFP＝S△FBC，但兩個三角形的面積都不易直接求得，可利用S△PAB－S△ABF＝S△ABC－S△AFB，設出點P坐標，分別表示出S△PAB，S△ABC，代入等量關系即可求解．例2題圖②(3)設P(p，p2＋2p－3)，如解圖，過點P作PH⊥x軸于點H，∴H(p，0)，－3＜p＜0，∴S△PAB＝AB·|yP|＝×4×|p2＋2p－3|＝2|p2＋2p－3|，∵S△AFP＝S△FBC，∴S△APF＋S△ABF＝S△PBC＋S△ABF，即S△PAB＝S△ABC，∴2|p2＋2p－3|＝AB·OC＝6，∴p2＋2p－3＝±3，∴p＝0(舍去)或p＝－2或p＝－1＋(舍去)，p＝－1－(舍去)，∴P(－2，－3)；例2題圖②H【思維教練】要求△PAC面積S的最大值，先設點P坐標，表示出△PAC面積S，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值及此時點P的坐標．△PAC的面積不易直接求得，可作PM∥y軸交直線AC于M，利用S△PAC＝S△PAM＋S△PCM求得．(4)如圖③，連接PC，求△PAC面積S的最大值，并求出對應的點P的坐標；例2題圖③(4)點A(－3，0)，C(0，－3)，∴直線AC的解析式為y＝－x－3，如解圖，作PM∥y軸交直線AC于點M，M設P(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，則M(x，－x－3)，∴PM＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，∴S＝S△PAM＋S△PCM＝PM·OA＝－x2－x＝－(x＋)2＋，例2題圖③∵－＜0，－3＜x＜0，∴當x＝－時，S有最大值，最大值為，此時P點坐標為(－，－)；M例2題圖③【拓展設問】求四邊形ABCP的面積S的最大值并寫出此時點P的坐標．如解圖，過點P作PR⊥AB于點R，PT⊥y軸于點T，連接OP.S△OBC＝OB·OC＝×1×3＝，S△AOP＝AO·PR＝×3×(－x2－2x＋3)＝－x2－3x＋，S△POC＝OC·PT＝×3×|x|＝－x，則S＝S△OBC＋S△AOP＋S△OCP＝－x2－3x＋－x＝－x2－x＋6，例2題圖③RT∴S關于x的函數(shù)解析式為S＝－x2－x＋6(－3＜x＜0)，∵S＝－x2－x＋6＝－(x＋)2＋，∵－＜0，－3＜x＜0，∴當x＝－時，四邊形ABCP的面積S有最大值，最大值為.此時點P坐標為(－，－)；例2題圖③RT【思維教練】先設點P坐標，表示出△PAC的面積，利用面積之間的關系表示出S，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值及此時點P的坐標．(5)如圖④，△PAC與△PBC重合部分的面積為S，若△PAC與△PBC重合部分的面積是△PAC面積的，求S的最大值并寫出此時點P的坐標；例2題圖④例2題圖④(5)設P(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，由(4)知，S△APC＝－x2－x，∵△PAC與△PBC重合部分的面積是△PAC面積的，∴S＝S△APC＝(－x2－x)＝－x2－x＝－(x＋)2＋，∵－

＜0，－3＜x＜0，∴當x＝－時，S有最大值，最大值為，此時點P的坐標為(－，－)；【思維教練】要求點P的坐標，已知過點P且平行于y軸的直線將△PAC分成面積比為1∶3的兩部分，可先設點P的坐標，設過點P且平行于y軸的直線交AC于點Q，表示出△PQC和△PQA的面積，再代入比例關系式S△PQC∶S△PQA＝1∶3或S△PQA∶S△PQC＝1∶3，即可求解．(6)如圖⑤，過點P且平行于y軸的直線將△PAC分成面積比為1∶3的兩部分，求此時點P的坐標．例2題圖⑤(6)設過點P且平行于y軸的直線交AC于點Q，∵直線PQ將△PAC分成面積比為1∶3的兩部分，∴設點P的坐標為(x，x2＋2x－3)(－3＜x＜0)，則S△PQC＝PQ·|x|＝－PQ·x，S△PQA＝PQ·|－3－x|＝PQ·(x＋3)，例2題圖⑤①當時，，解得x＝－，此時點P的坐標為(－，－)．②當時，，解得x＝－，此時點P的坐標為(－，－)．綜上可得，當過點P且平行于y軸的直線將△PAC分成面積比為1∶3的兩部分時，點P的坐標為(－，－)或(－，－

)．例2題圖⑤綜合訓練三階1.如圖①，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，且OB＝2OA＝4.動點M從點B出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向終點C運動，運動時間為t秒．(1)求二次函數(shù)的表達式；第1題圖第1題圖解：(1)∵OB＝2OA＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)，把A(－2，0)，B(4，0)分別代入y＝

x2＋bx＋c得解得∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2－x－4；(2)過點M作PM⊥BC交y軸于點P，當t＝3時，求點P的坐標；∵點B(4，0)，C(0，－4)，∴BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，當t＝3時，BM＝3，∴CM＝BC－BM＝，∵PM⊥BC，∴CP＝2，OP＝OC－CP＝2，∴點P(0，－2)；(2)如解圖，PM第1題圖(3)如圖②，若點E是線段AC的中點，點M運動的同時，動點N從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點B運動，當點M運動到終點時點N停止運動，設△EMN的面積是S，請直接寫出S取最小值時，點N的坐標．第1題圖∵EG∥y軸，∴△AGE∽△AOC，∵點E是線段AC的中點，∴，【解法提示】如解圖，過點E作EG⊥x軸于點G，G由A(－2，0)，C(0，－4)，得E(－1，－2)，則G(－1，0)，點N從點A運動到點B的時間為[4－(－2)]÷1＝6秒，點M從點B運動到點C的時間為÷＝4秒，∴0≤t≤4，過點M作MF⊥x軸于點F，依題意得AN＝t，BM＝t，∵OC＝OB＝4，∠OBC＝45°，∴MF＝FB＝t，∴NG＝|1－t|，GE＝2，GF＝6－1－t＝5－t，NF＝6－t－t＝6－2t，第1題圖G當0≤t<1時，NG＝1－t，∴S△EMN＝S△NEG＋S四邊形GEMF－S△NMF＝×2×(1－t)＋×(t＋2)×(5－t)－t×(6－2t)＝t2－t＋6；當1≤t≤4時，NG＝t－1，∴S△EMN＝S四邊形GEMF－S△NEG－S△NMF＝×(t＋2)×(5－t)－×2×(t－1)－)t×(6－2t)＝t2－t＋6.第1題圖G∵＞0，且0≤t≤4，當t＝時，S取得最小值，此時AN＝，點A的坐標是(－2，0)，∴點N的坐標為(，0)．∴t2－t＋6＝(t－)2＋，(3)S取最小值時，點N的坐標為(，0)．第1題圖G2.(2023葫蘆島龍港區(qū)一模)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，連接BC.(1)求拋物線的解析式；解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點，∴解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3；第2題圖(2)P是線段BC上一點，射線AP交拋物線于點F.①連接FC，F(xiàn)B，若S△FPC＝2S△FPB，求點F的坐標；①過點P作PM⊥x軸于點M，如解圖，∵S△FPC＝2S△FPB，∴PC＝2PB，即BC＝3PB，∴由y＝－x2＋2x＋3可得C(0，3)，CO＝3，∴解得PM＝1，同理可得BM＝1，∴OM＝OB－BM＝2，即M(2，0)，∴P(2，1)，第2題圖M設直線AP的解析式為y＝kx＋b，將A(－1，0)，P(2，1)代入得，，解得∴直線AP的解析式為y＝x＋，聯(lián)立解得(舍)，∴點F的坐標為(，)；第2題圖M②拋物線的頂點為D，當DP＋BP有最小值時，將△ADP沿x軸正方向平移t個單位長度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，設△A′D′P′與△BOC重疊部分的面積記為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關系式．【解法提示】如解圖，過點P作PE⊥x軸于點E，∵B(3，0)，C(0，3)，∴△BCO為等腰直角三角形，直線BC的解析式是y＝－x＋3，∴△BEP為等腰直角三角形，∴PE＝BP，D備用圖PE∵拋物線y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴頂點D的坐標為(1，4)，∴DP＋BP最小時點P的坐標為(1，2)，∴DP＋BP最小值即是DP＋PE最小值，此時D、P、E三點共線，將△ADP沿x軸正方向平移t個單位長度(0≤t≤4)得到△A′D′P′，分兩種情況：D備用圖PE情況一：當0≤t≤1時，A′D′與OC、BC分別交于H、M，A′P′與OC、BC分別交于點G、N，如解圖③，由A(－1，0)，D(1，4)可得直線AD解析式為y＝2x＋2，∵△ADP沿x軸正方向平移t個單位長度，∴A′(－1＋t，0)，A′D′∥AD，∴直線A′D′解析式為y＝2x＋2－2t，∴令x＝0得y＝2－2t，即H(0，2－2t)，∴CH＝OC－OH＝1＋2t，第2題解圖③聯(lián)立直線A′D′與直線BC，得

解得∴M，∴S△CHM＝CH·xM＝(1＋2t)2，由A(－1，0)，P(1，2)得直線AP解析式為y＝x＋1，而A′(－1＋t，0)，A′P′∥AP得A′P′解析式為y＝x＋1－t，∴A′P′與y軸交點G(0，1－t)，同理可得與直線BC交點N(1＋t，2－t)，第2題解圖③∴OG＝1－t，S△CGN＝CG·xN＝(2＋t)2，∴S＝S△CGN－S△CHM＝(2＋t)2－(1＋2t)2＝－t2＋t＋；情況二：當1＜t≤4時，A′D′交BC于點R，A′P′交BC于點Q，如解圖④，∵直線AD解析式為y＝2x＋2，A′D′∥AD，A′(t－1，0)，∴直線A′D′解析式為y＝2x＋2－2t，同理可得點R的坐標為(t＋，－t＋)，∵直線AP的解析式為y＝x＋1，而A′(t－1，0)，A′P′∥AP得直線A′P′解析式為y＝x＋1－t，第2題解圖④第2題解圖④同理可得點Q坐標為(t＋1，－t＋2)，∴S