第2節(jié)基本不等式高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀1.掌握基本不等式

(a,b>0).2.結(jié)合具體實(shí)例,能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問題.3.理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理(1)基本不等式成立的條件:

.

(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí),等號(hào)成立.

(3)其中

稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),

稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

也叫均值不等式

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)

a>0,b>0a=b微點(diǎn)撥可借助平面圖形中線段長(zhǎng)度的關(guān)系直觀表示基本不等式:2.基本不等式的變形及重要不等式(1)a2+b2≥

(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.

(2)a+b≥(a>0,b>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.(3)ab≤()2(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí),用來求它們和的最小值

當(dāng)兩個(gè)實(shí)數(shù)的和為定值時(shí),用來求它們積的最大值

2ab3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0.(1)如果積xy等于定值P,那么當(dāng)

時(shí),和x+y有最小值

(簡(jiǎn)記:積定和最小).

(2)如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)

時(shí),積xy有最大值

(簡(jiǎn)記:和定積最大).

微點(diǎn)撥應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某個(gè)條件,就有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤.x=yx=y常用結(jié)論

自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)×××√題組二回源教材5.(人教B版必修第一冊(cè)2.2.4節(jié)例4改編)已知x∈(-1,3),則y=(1+x)(3-x)的最大值為

.

6.(人教A版必修第一冊(cè)2.2節(jié)練習(xí)第5題改編)已知直角三角形的面積等于50cm2,當(dāng)兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為

、

時(shí),兩條直角邊的和最小,且最小值為

.

4解析

由基本不等式得y=(1+x)(3-x)≤()2=4,當(dāng)且僅當(dāng)1+x=3-x,即x=1時(shí),等號(hào)成立,所以y的最大值為4.101020題組三連線高考7.(多選題)(2022·新高考Ⅱ,12)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1,則(

)A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1BC8.(2021·天津,13)若a>0,b>0,則+b的最小值為

.

2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一利用基本不等式求最值(多考向探究預(yù)測(cè))考向1直接運(yùn)用基本不等式求最值例1(1)(2024·上海寶山檢測(cè))若實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=1,則2x+4y的最小值為

.

1(3)(2024·河南洛陽模擬)已知x>0,y>0,且=4,則xy的最大值是

.

4考向2通過配湊利用基本不等式求最值例2(1)(2024·貴州貴陽模擬)若x>0,則x+的最小值為

.

3(2)(2024·山東濰坊檢測(cè))若正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+3b=1,則ab的最大值是

.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024·陜西榆林模擬)若a>1,則

的最小值為

.

7(2)已知0<x<2,則

的最大值為

.

2考向3通過常數(shù)代換利用基本不等式求最值例3(2024·遼寧沈陽模擬)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足=1,則2x+y的最小值為(

)A.2 B.4

C.8

D.9C變式探究1(變結(jié)論)本例中,若條件不變,試求xy的最小值為

.

8變式探究2(變條件)本例中,若將條件改為“x+2y=4xy”,試求2x+y的最小值為

.

變式探究3(變結(jié)論)若本例條件不變,試求2xy-2x-y的最小值為

.

8考向4通過構(gòu)建不等式利用基本不等式求最值例4(多選題)(2024·河南濮陽模擬)已知a,b為正實(shí)數(shù),且ab+a+b=8,則下列說法正確的是(

)A.ab的最大值為4B.a+b的最小值為4C.2a+b的最小值為3ABD變式探究(變條件)本例中,若將條件改為“ab+2a+b=8”,(1)如何求ab的最值?(2)如何求2a+b的最值?考向5通過消元利用基本不等式求最值例5(2024·重慶南開中學(xué)檢測(cè))已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,則x+y的最小值為(

)D[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·天津南開模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2-2ab+9b2-c=0,則

的最大值為

.

考點(diǎn)二基本不等式與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用例6(2024·山西太原聯(lián)考)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a3-a1=2,則a4+a3的最小值是(

)A.4 B.9C.6 D.8D[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·山東淄博模擬)已知F1,F2是橢圓C:=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M,N在C上,若|MF2|+|NF2|=6,則|MF1||NF1|的最大值為(

)A.9 B.20C.25 D.30C解析

根據(jù)橢圓定義可得|MF1|+|MF2|=8,|NF1|+|NF2|=8,因?yàn)閨MF2|+|NF2|=6,所以8-|MF1|+8-|NF1|=6,即|MF1|+|NF1|=10≥2,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|NF1|=5時(shí),等號(hào)成立,所以|MF1|·|NF1|≤25,則|MF1||NF1|的最大值為25,故選C.考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例7(2024·湖南郴州聯(lián)考)某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉,已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形ABCD,為了方便居民觀賞,在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道,則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是(

)A.1208平方米 B.1448平方米C.1568平方米 D.1698平方米CS≤-240+1

808=1

568,即當(dāng)|