第9課時正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例[考試要求]能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.測量中的幾個常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是[0，2π)方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向． ()(2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°． ()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系． ()(4)方位角大小的范圍是[0，2π)，方向角大小的范圍一般是0，π2[答案](1)√(2)×(3)√(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊P49例9改編)如圖，在河岸AC測量河的寬度，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是()A．a(chǎn)，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ[答案]D2．(人教A版必修第二冊P51練習(xí)T1改編)一艘輪船以18nmile/h的速度沿北偏東40°的方向直線航行，在行駛到某處時，該輪船南偏東20°方向上10nmile處有一燈塔，繼續(xù)行駛20min后，輪船與燈塔的距離為()A．17nmile B．16nmileC．15nmile D．14nmileD[記輪船行駛到某處的位置為A，燈塔的位置為B，20分鐘后輪船的位置為C，如圖所示．則AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×?12＝196，所以BC＝13．(人教A版必修第二冊P50例10改編)如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A．10m B．53mC．5(3－1)m D．5(3＋1)mD[法一：設(shè)AB＝x，則BC＝x.∴BD＝10＋x.∴tan∠ADB＝ABDB＝x10+解得x＝5(3＋1)．∴A點(diǎn)離地面的高AB等于5(3＋1)m.法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝CDsin∠CAD·sin＝10sin15°·∴AB＝ACsin45°＝5(3＋1)m.]4．(人教A版必修第二冊P53T8改編)如圖，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個點(diǎn)C和D，測得CD＝200m，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，則塔高AB＝________m.200[在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.設(shè)AB＝h，則BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝3h.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即40000＝h2＋3h2－2h·3h·32所以h＝200，所以塔高AB＝200m．]考點(diǎn)一測量距離問題[典例1]如圖，線段CD是某鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點(diǎn)A，B，在四邊形ABCD中，測得AB＝50m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°.(1)試求B，D之間的距離及B，C之間的距離；(2)求應(yīng)開鑿的隧道CD的長．[解](1)在△ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，∴△ABD為等腰三角形，∴AB＝AD＝50m.由余弦定理可得BD2＝502＋502－2×50×50cos120°＝502×3，∴BD＝503m.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝30°＋75°＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理可得50sin30°∴BC＝502m.(2)在△BCD中，∠DBC＝75°，BC＝502m，BD＝503m，根據(jù)余弦定理可得CD＝BD2+距離問題的解題思路這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．提醒：①基線的選取要恰當(dāng)；②選取的三角形及正弦、余弦定理要恰當(dāng)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2024·河南鄭州模擬)如圖，為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上的B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則AC的長為________km.7[∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對角和為π，∴B＋D＝π，∴由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝52＋32－2×5×3cosD＝34－30cosD，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝52＋82－2×5×8cosB＝89－80cosB，∵B＋D＝π，即cosB＝－cosD，∴89?AC280＝－34?AC2考點(diǎn)二測量高度問題[典例2](2024·青島模擬)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設(shè)計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測得CD的高度為h，并從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點(diǎn)E處測得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點(diǎn)共線)．該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60m，則CD的高h(yuǎn)約為()(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)A．11m B．20.8mC．25.4m D．31.8mC[由題意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，則∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°.在Rt△ABE中，AE＝ABsin75°在△ACE中，由正弦定理得AEsin∠ACE＝所以CE＝206所以CD＝12CE＝10又sin75°＝sin(45°＋30°)＝6+所以CD＝4066≈60－20×1.73＝25.4(m)．]解決高度問題的三個注意事項(1)要理解仰角、俯角的定義．(2)在實際問題中可能會遇到空間與平面(底面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形．(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(2024·湖南長郡中學(xué)模擬)如圖，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在A，B，C三處測得道路一側(cè)山頂P的仰角依次為30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，則此山的高度為()A．122aba+C．125aba+D[如圖，設(shè)點(diǎn)P在地面上的正投影為點(diǎn)O，則∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，設(shè)山高PO＝h，則AO＝3h，BO＝h，CO＝3?3，在△AOC中，cos∠ABO＝－cos∠由余弦定理的推論，得a2+?整理得h2＝3aba+b23b?a故選D.]考點(diǎn)三測量角度問題[典例3]一艘游輪航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°方向上，距離為126nmile，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為123nmile，該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向上，則此時燈塔C位于游輪的()A．正西方向 B．南偏西75°方向C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向C[如圖，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，則AD＝126×2232＝24．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos30°，因為AC＝123，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得CDsin30因為AD＞AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60°，即此時燈塔C位于游輪的南偏西60°方向上．]解決角度問題的三個注意事項(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中要注意體會正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn)．提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正確畫圖是解題的關(guān)鍵．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量．已知AB＝60m，BC＝120m，于A處測得水深A(yù)D＝120m，于B處測得水深BE＝200m，于C處測得水深CF＝150m，則cos∠DEF＝________．(2)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為________．(1)－1665(2)2114[(1)如圖，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，則DF＝MF2+DE＝D＝602EF＝BE?FC2+B在△DEF中，由余弦定理的推論得cos∠DEF＝DE2+EF(2)由題圖知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝207，由正弦定理得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21由∠BAC＝120°知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝27故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114課時分層作業(yè)(三十一)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例一、單項選擇題1．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A．502m B．503mC．252m D．252A[由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB∴AB＝ACsin∠ACBsinB＝2．如圖，航空測量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650mB[如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)A，經(jīng)過420s后的位置為點(diǎn)B，山頂為點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000，由正弦定理得ABsin∠ACB＝則BC＝2100012×sin15°＝105006?2，因為CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(6?2)3．(2023·黑龍江哈爾濱二模)火箭造橋技術(shù)是我國首創(chuàng)在陡峭山區(qū)建橋的一種方法．由兩枚火箭牽引兩條足夠長的繩索精準(zhǔn)的射入對岸的指定位置，是建造高空懸索橋的關(guān)鍵．位于湖北省的四渡河大橋就是首次用這種技術(shù)建造的懸索橋．工程師們需要測算火箭攜帶的引導(dǎo)索的長度(引導(dǎo)索比較重，過長會影響火箭發(fā)射)，如圖，已知工程師們在建橋處C看對岸目標(biāo)點(diǎn)D的正下方地面上一高為h的標(biāo)志物AB的高為h，從點(diǎn)C處看點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為α，β.則一枚火箭應(yīng)至少攜帶引導(dǎo)索CD的長度為()A．?sinαcosβC．?cosαcosβC[在Rt△BCD中，BC＝CDcos∠BCD＝在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，A＝π2－α由正弦定理可得：ABsin∠ACB＝即?sinα?β＝CDcos所以CD＝?cos4．(2024·江蘇南通八市模擬)古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，如圖，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)(切點(diǎn))，地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC＝100m，則該球體建筑物的高度約為(cos10°≈0.985)()A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60mB[如圖，設(shè)球的半徑為R，則AB＝3R，AC＝Rtan∵BC＝Rtan10∴R＝1001tan＝100sin10°2sin30°?10°＝50sin∴2R＝500.985≈5二、多項選擇題5．如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔AB(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的點(diǎn)C與點(diǎn)D(點(diǎn)B，C，D不在同一直線上)，測得CD＝s.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADCACD[解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.對于A,在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解這個三角形得到BC，再利用∠ACB，BC解Rt△ABC得到AB的值；對于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，無法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，無法解出此三角形，也無法通過其他三角形求出它的其他幾何元素，所以它不能計算出塔AB的高度；對于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值；對于D，如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD，連接AE.由于cos∠ACB＝CBAC，cos∠BCD＝CEBC，cos∠ACE＝CEAC，所以cos∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC6．如圖，甲船從A1出發(fā)以25nmile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船出發(fā)時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時兩船相距52nmile.當(dāng)甲船航行12min到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時兩船相距5nmile，下面說法正確的是()A．乙船的行駛速度與甲船相同B．乙船的行駛速度是152nmile/hC．甲、乙兩船相遇時，甲行駛了1+D．甲、乙兩船不可能相遇AD[如圖，連接A1B2，依題意，A1A2＝25×1260＝5(nmile)，而B2A2＝5nmile，∠A1A2B2則△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5nmile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝52nmile，由余弦定理得：B1B2＝A1B12+A1B22?2A1延長B1B2與A1A2延長線交于O，顯然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10(nmile)，OB2＝53(nmile)，OB1＝5(3＋1)(nmile)，所以甲船從出發(fā)到點(diǎn)O用時t1＝1025＝25(h)，乙船從出發(fā)到點(diǎn)O用時t2＝53+125＝3+15三、填空題7．某校學(xué)生參加課外實踐活動“測量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測得∠PAC＝15°，沿土坡向坡頂前進(jìn)25m后到達(dá)D處，測得∠PDC＝45°.已知旗桿CP＝10m，PB⊥AB，土坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ＝________．53?54[在△PAD中，由正弦定理得PD＝ADsin∠APD·sin15°＝252在△PDC中，PC＝10，故sin∠PCD＝sin45°PC·PD因為cosθ＝sin∠PCD，所以cosθ＝538．(2023·山東濟(jì)南三模)山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)(如圖1)，其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“∞”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新．如圖2，為了測量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600m到點(diǎn)D，此時測得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°(A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi))，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為________m.10015[由題意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝12CD＝300，BC＝32CD＝300又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin45°＝CDsin60°，所以在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×所以AB＝10015.]9．(2023·河南名校聯(lián)考)中國古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山高的問題(如圖1)：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問島高及去表各幾何？假設(shè)古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD＝800步，D，B，H三點(diǎn)共線且在同一水平面上，從點(diǎn)B退行100步到點(diǎn)F，此時A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從點(diǎn)D退行120步到點(diǎn)G，此時A，E，G三點(diǎn)也共線，則山峰的高度AH＝________步．(古制單位：180丈＝300步)3280[由題可知BC＝DE＝48×300180＝80步，BF＝100步，DG＝120步，BD在Rt△AHF中，AHHF＝BCBF＝在Rt△AHG中，AHHG＝DEDG＝所以HF＝54AH，HG＝32則HG－HF＝800－100＋120＝820＝14AH所以AH＝3280步．]10．如圖，某湖有一半徑為1km的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個水文監(jiān)測中心(大小忽略不計)，在其正東方向相距2km的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測設(shè)備．為了使監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備，且∠BAC＝90°，AB＝AC.定義：四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”，設(shè)∠AOB＝θ，則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________km2.5+52[在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cosθ，AB＝5?4cos∴S四邊形OACB＝S△OAB＋S△ABC＝12·OA·OB·sinθ＋12·AB2，∴S四邊形OACB＝sinθ－2cosθ＋52，則S四邊形OACB＝5sin(θ－φ)＋52(其中tanφ＝2)，當(dāng)sin(θ－φ)＝1時，S四邊形OACB取最大值5+52，所以“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域四、解答題11．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北45