第3課時(shí)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[考試要求]1．借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2．了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.1．基本事實(shí)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行2．三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系共面提醒：分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線不一定為異面直線，他們的關(guān)系也可能平行或相交．4．空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系符號(hào)直線和平面直線在平面內(nèi)a?α直線在平面外直線與平面相交a∩α＝A直線與平面平行a∥α平面和平面兩平面平行α∥β兩平面相交α∩β＝l5．定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：0，[常用結(jié)論]1．異面直線判定的一個(gè)定理與一個(gè)平面相交的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線是異面直線，如圖所示．2．唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線． ()(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線． ()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合． ()(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊(cè)P131練習(xí)T4改編)已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，則a與b的位置關(guān)系可能是()A．平行或相交 B．相交或異面C．平行或異面 D．平行、相交或異面D[當(dāng)a與b共面，即a與b平行或相交時(shí)，如圖所示：顯然滿足題目條件；在a與b相交的條件下，分別把a(bǔ)，b平行移動(dòng)到平面β，平面α上，此時(shí)a與b異面，亦滿足題目條件．故選D.]2．(人教A版必修第二冊(cè)P128練習(xí)T2改編)下列命題正確的是()A．空間任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面C．兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面D．兩兩平行的三條直線確定一個(gè)或三個(gè)平面D[不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；只有點(diǎn)在直線外時(shí)才能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤；當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)不能確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤，故D正確．]3．(多選)(人教A版必修第二冊(cè)P132習(xí)題8.4T9改編)如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中()A．AB與CD異面B．CD與GH平行C．EF與GH成60°角D．CD與EF相交AC[該正方體的直觀圖如圖所示，AB與CD是異面直線，A正確；CD與GH相交，B錯(cuò)誤；因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以EF∥CD，三角形GHD為正三角形，直線GH與直線GD所成角為60°，則EF與GH所成角為60°，C正確，D錯(cuò)誤．故選AC.]4．(人教A版必修第二冊(cè)P132習(xí)題8.4T5改編)三個(gè)平面最多能把空間分為_(kāi)_______部分，最少能把空間分成________部分．84[三個(gè)平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個(gè)平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．]考點(diǎn)一基本事實(shí)的應(yīng)用[典例1]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．[證明](1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)(或證兩平面重合)．(2)證明共線的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．[證明](1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．考點(diǎn)二空間兩直線位置關(guān)系的判定[典例2](1)(2023·廣東惠州三調(diào))已知三個(gè)平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，則下列結(jié)論一定成立的是()A．b，c是異面直線B．b∩c＝PC．b∥cD．a(chǎn)與c沒(méi)有公共點(diǎn)(2)在底面半徑為1的圓柱OO1中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線(1)B(2)D[(1)∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，而a?α，b?γ，則P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，∴P∈c，可得a∩c＝P，b∩c＝P.故選B.(2)由題意，圓柱的軸截面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無(wú)交點(diǎn)，所以AC與EF是異面直線；又CF＝12+22＝5，AE＝22+22空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(2023·北京通州區(qū)一模)已知a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，且滿足a?α，b?β，α∩β＝l，a∥l，則“a與b異面”是“直線b與l相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2024·深圳中學(xué)模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)P在直線AD1上，Q為線段BD的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法不正確的是()A．存在點(diǎn)P，使得PQ⊥A1C1B．存在點(diǎn)P，使得PQ∥A1BC．直線PQ始終與直線CC1異面D．直線PQ始終與直線BC1異面(1)C(2)C[(1)若“a與b異面”，反證：直線b與l不相交，由于b，l?β，則b∥l，∵a∥l，則a∥b，這與a與b異面相矛盾，故直線b與l相交，故“a與b異面”是“直線b與l相交”的充分條件；若“直線b與l相交”，反證：若a與b不異面，則a與b平行或相交．①若a與b平行，∵a∥l，則b∥l，這與直線b與l相交相矛盾；②若a與b相交，設(shè)a∩b＝A，即A∈a，A∈b，∵a?α，b?β，則A∈α，A∈β，即點(diǎn)A為α，β的公共點(diǎn)，且α∩β＝l，∴A∈l，即A為直線a、l的公共點(diǎn)，這與a∥l相矛盾．綜合①②知a與b異面．即“a與b異面”是“直線b與l相交”的必要條件．所以“a與b異面”是“直線b與l相交”的充要條件．故選C.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1,∵點(diǎn)P在直線AD1上，Q為線段BD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P和D1重合時(shí)，PQ?平面BDD1B1，∴PQ⊥A1C1，A正確；連接A1D，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P為線段A1D的中點(diǎn)時(shí)，PQ為三角形A1BD的中位線，即PQ∥A1B，B正確；CC1?平面AA1C1C，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，PQ?平面AA1C1C，則直線PQ和CC1在同一平面內(nèi)，C錯(cuò)誤；BC1?平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1＝P，P?BC1，故直線PQ始終與直線BC1不相交，且不平行，是異面直線，D正確．故選C.]【教師備選資源】若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交D[法一(反證法)：由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交．故選D.法二(模型法)：如圖①，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖②，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．]考點(diǎn)三異面直線所成的角[典例3](1)(2024·陜西榆林模擬)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2BB1＝3AB，D是棱BC的中點(diǎn)，E在棱CC1上，且CC1＝3CE，則異面直線A1D與B1E所成角的余弦值是()A．66 B．6C．63 D．(2)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．15 B．5C．55 D．(1)B(2)C[(1)取棱BB1靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)F，取棱B1C1的中點(diǎn)H，取B1F的中點(diǎn)G，連接A1H，DH，A1F，DF.由已知CE＝13CC1＝13BB1＝B1G，又CE∥B1G，所以四邊形CEB1G是平行四邊形，B1E∥同時(shí)可得F是BG中點(diǎn)，而D是BC中點(diǎn)，所以DF∥CG.所以DF∥B1E，則∠A1DF是異面直線A1D與B1E所成的角(或補(bǔ)角)．又DH∥CC1，CC1⊥平面A1B1C1，則DH⊥平面A1B1C1，A1H?平面A1B1C1，則DH⊥A1H，設(shè)AB＝4，則BB1＝6，從而A1H＝23，DH＝6，BD＝2，BF＝2，B1F＝A1B1＝4，故A1F＝42，A1D＝43，DF＝22.在△A1DF中，由余弦定理的推論可得cos∠A1DF＝A1D2所以異面直線A1D與B1E所成的角的余弦值為64故選B.(2)法一(平移法)：如圖，連接BD1，交DB1于點(diǎn)O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，AD1＝ADDM＝AD2+DB1＝AB2+AD2+BB12＝5，所以O(shè)M＝12AD1得cos∠MOD＝12+5即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55法二(補(bǔ)體法)：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體A′B′BA-A′1B′1B1A1．連接B1B′，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB′，由題意，得DB′＝12+1+12＝5，B′B1＝12+在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B'B12+DB12－2B′B1·即5＝4＋5－2×25cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝55法三(坐標(biāo)法)：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由條件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，3)，B1(1，1，3)，所以AD1＝(－1，0，3)，DB1＝(1，1，3)，則由向量夾角公式，得cos〈AD1，DB1〉＝AD1·求異面直線所成角的方法(1)平移法：將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解．(2)補(bǔ)形法：在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解．(3)坐標(biāo)法：如果幾何圖形便于建系，可以將問(wèn)題坐標(biāo)化，借助向量求解．提醒：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(2024·安徽滁州模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝5，E為B1C1的中點(diǎn)，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為()A．510 B．34C．1326 D．(2)如圖，圓臺(tái)OO1的上底面半徑為O1A1＝1，下底面半徑為OA＝2，母線長(zhǎng)AA1＝2，過(guò)OA的中點(diǎn)B作OA的垂線交圓O于點(diǎn)C，則異面直線OO1與A1C所成角的大小為_(kāi)_______．(1)C(2)45°[(1)取C1D1的中點(diǎn)F，連接EF，CF，B1D1，易知EF∥B1D1∥BD，所以∠CEF為異面直線BD與CE所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)镋F＝12B1D1＝2CE＝CF＝CC12+C所以由余弦定理得cos∠CEF＝EF2+EC2?C(2)在直角梯形OO1A1A中，因?yàn)锽為OA的中點(diǎn)，OA＝2，所以O(shè)1A1＝OB＝AB＝1，連接A1B(圖略)，易知四邊形OO1A1B為矩形，所以O(shè)O1∥A1B，所以∠BA1C為異面直線OO1與A1C所成的角．在Rt△AA1B中，因?yàn)锳A1＝2，AB＝1，所以A1B＝3.連接OC(圖略)，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝3.在Rt△A1BC中，因?yàn)锽C＝A1B，所以∠BA1C＝45°.]在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形；截線就是平面與相應(yīng)幾何體面的公共線．解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟知立體幾何理論體系，提升空間想象能力．一、截面問(wèn)題[典例1](1)(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，直線AC1⊥平面α.平面α截此正方體所得截面有如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀不可能是正五邊形D．截面面積最大值為33[賞析]突破點(diǎn)：熟知正方體的常見(jiàn)截面圖顯然A、C成立，B不成立，下面說(shuō)明D成立，如圖，當(dāng)截面是正六邊形，面積最大，MN＝22，GH＝2，OE＝1+222＝62，所以S＝2×12×(22[答案]ACD(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_(kāi)_______．[賞析]突破點(diǎn)：線面平行的性質(zhì)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作BD的平行線，交C1D1于點(diǎn)N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α.∵E為BC的中點(diǎn)，可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，由正方體的棱長(zhǎng)為2，則BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高為h＝52?222＝322，∴梯形MNDB的面積為12×(2[答案]9空間幾何體的截面作圖的常用方法(1)平行線法．用平行線法解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵是：截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面是有一條直線與截面上某點(diǎn)所在的幾何體的某一個(gè)表面平行．(2)延長(zhǎng)線法．用延長(zhǎng)線法解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵是：截面上的點(diǎn)至少有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)幾何體的一個(gè)表面上，那么這兩點(diǎn)的連線一定在截面內(nèi)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方體中過(guò)M，N，CA．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形C[如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點(diǎn)P，直線C1N，CB相交于點(diǎn)Q，連接PQ交直線AD于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.]二、截線問(wèn)題[典例2](2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．[賞析]第一步：找交線如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2．分別取B1C1，BB1，CC1的中點(diǎn)M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝22+12＝5，D1M⊥B1C1，且D1由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點(diǎn)．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使MP＝2，連接D1P，則D1P＝D1M2+MP2＝32+22＝5，連接MG，MH，易得MG＝MH＝2，故可知以第二步：求交線長(zhǎng)由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以GH的長(zhǎng)為14×2π×2＝2[答案]2作交線的兩種方法(1)利用基本事實(shí)3作交線．(2)利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心，以2為半徑作一個(gè)球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長(zhǎng)之和為()A．3π4 B．C．3π2 C[正方體的表面被該球面所截得的弧長(zhǎng)是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的14，所以所有弧長(zhǎng)之和為3×2π4＝課時(shí)分層作業(yè)(四十三)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、單項(xiàng)選擇題1．兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．可能是平行直線D．可能是異面直線，也可能是相交直線D[已知直線c與d是異面直線，直線a與直線b分別和直線c與直線d相交于點(diǎn)A，B，C，D，根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，兩條直線相交，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合時(shí)，兩條直線異面，所以直線a，b的位置關(guān)系是異面或相交．故選D.]2．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上B[如圖所示，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.]3．(2024·貴州貴陽(yáng)模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，則直線AB1與BC所成角的余弦值等于()A．22 B．C．24 C[連接AC1，因?yàn)锽C∥B1C1，所以直線AB1與BC所成的角即為∠AB1C1，設(shè)AB＝a，易得AB1＝2a，AC1＝2a，B1C1＝a，則由余弦定理的推論知，cos∠AB1C1＝AB12+B故選C.]4．(2023·上海春季高考)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是邊A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是()A．DD1 B．ACC．AD1 D．B1CB[對(duì)于A，當(dāng)P是A1C1的中點(diǎn)時(shí)，BP與DD1是相交直線；對(duì)于B，根據(jù)異面直線的定義知，BP與AC是異面直線；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)，BP與AD1是平行直線；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)，BP與B1C是相交直線．故選B.]5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點(diǎn)，則異面直線EF與AD1所成角的正切值為()A．2 B．2C．33 D．B[如圖，連接BD1，則EF∥BD1，所以∠AD1B為異面直線EF與AD1所成角，因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥AA1，且AD∩AA1＝A，所以AB⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以△BAD1為直角三角形，所以tan∠BD1A＝AB故選B.]6．(2023·豫湘名校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值等于()A．32 B．C．13 D．D[如圖，將該幾何體補(bǔ)成一個(gè)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由題易得底面ABCD為菱形，且△ABC為等邊三角形．連接DC1，BD，易得AB1∥DC1，所以∠BC1D(或其補(bǔ)角)是異面直線AB1與BC1所成的角．設(shè)AB＝1，則BC1＝DC1＝2，BD＝21?122所以cos∠BC1D＝22+2故選D.]7．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，若AB，CD都是直角圓錐SO底面圓的直徑，且∠AOD＝π3，則異面直線SA與BDA．13 B．2C．64 D．C[如圖，連接AD，BC，AC，SC.因?yàn)镺為AB，CD中點(diǎn)，且AB＝CD，所以四邊形ADBC為矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其補(bǔ)角為異面直線SA與BD所成的角．設(shè)圓O的半徑為1，則SA＝SC＝2.因?yàn)椤螦OD＝π3，所以∠ADO＝π在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝3.所以cos∠SAC＝22+3所以異面直線SA與BD所成角的余弦值為64.故選C.8．(2023·新鄉(xiāng)三模)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，過(guò)A，D1，E三點(diǎn)的截面把正方體ABCD-A1B1C1D1分成兩部分，則該截面的周長(zhǎng)為()A．32＋25 B．22+C．92 D．22＋25A[如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，BC1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱CC1，BC的中點(diǎn)，則EF∥BC1，正方體中BC1∥AD1，則有EF∥AD1，所以平面AFED1為所求截面，因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，所以EF＝2，D1E＝AF＝22+12＝5，AD1＝22，所以四邊形AFED1的周長(zhǎng)為3故選A.]二、多項(xiàng)選擇題9．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈lB．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線的三點(diǎn)，A∈β，B∈β，則C?βC．若A∈α且B∈α，則直線AB?αD．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線ABC[由根據(jù)A∈α且A∈β，則A是平面α和平面β的公共點(diǎn)，又α∩β＝l，由基本事實(shí)3可得A∈l，A正確；由基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，則C?β，B正確；由基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，C正確；由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，D錯(cuò)誤．故選ABC.]10．(2024·云南紅河州模擬)如圖，M，N為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過(guò)M，N兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形BD[根據(jù)題意，過(guò)M，N兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為四邊形和六邊形，如圖：故選BD.]三、填空題11．有下列四個(gè)命題：①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；②空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線；③空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面；④空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面．其中真命題的所有序號(hào)為_(kāi)_______．②③[①中，對(duì)于平面四邊形來(lái)說(shuō)不成立，故①是假命題；②中，若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則根據(jù)“直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”知四點(diǎn)共面，與四點(diǎn)不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，故④是假命題．]12．(2024·山東泰安模擬)在平行四邊形ABCD中，∠A＝45°，AB＝2AD＝2，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折