概率與統(tǒng)計(jì)是高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要載體，在高考中占有非常重要的地位．概率統(tǒng)計(jì)命題方向主要有以下兩類：一是概率計(jì)算問題；二是統(tǒng)計(jì)案例問題．近年來新高考加大了相互獨(dú)立事件和條件概率的考查力度，由于該部分知識(shí)也恰是新教材中擴(kuò)充的內(nèi)容，切合了新課標(biāo)對(duì)教學(xué)的要求，指引師生在后續(xù)的備考中要關(guān)注教材改版前后內(nèi)容的變化，同時(shí)兼顧知識(shí)間的滲透與融合．命題點(diǎn)一立足統(tǒng)計(jì)本質(zhì)、注重知識(shí)交融[典例1](2023·新高考Ⅱ卷)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布．以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率p(c)＝0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；(2)設(shè)函數(shù)f(c)＝p(c)＋q(c)．當(dāng)c∈[95，105]時(shí)，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)間[95，105]的最小值．[解](1)由題圖知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，設(shè)X為患病者的該指標(biāo)，則p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.設(shè)Y為未患病者的該指標(biāo)，則q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.(2)當(dāng)95≤c≤100時(shí)，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；當(dāng)100＜c≤105時(shí)，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.綜上所述，f(c)＝?由一次函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(c)在[95，100]上單調(diào)遞減，在(100，105]上單調(diào)遞增，作出f(c)在區(qū)間[95，105]上的大致圖象(略)，可得f(c)在區(qū)間[95，105]上的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.概率主要研究隨機(jī)現(xiàn)象，統(tǒng)計(jì)主要研究數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．將兩者巧妙地融合是歷年來高考命題的思想之一，高考曾將頻率分布直方圖與二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布融為一體考查，本題又將頻率分布直方圖與分位數(shù)、函數(shù)建模巧妙地融為一體，給出了新的命題動(dòng)向．關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，研習(xí)高考命題思路，提升備考技能．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2023·鎮(zhèn)海中學(xué)、歷城二中等九校聯(lián)考)某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生，30位女生，12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為α，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記X為3人中身高不超過α的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30人，記被選出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)個(gè)男生的概率為P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值．[解](1)X所有可能的取值為0，1，2，3，且X～B(3，0.8)．P(X＝0)＝C30×(1－0.8)3＝P(X＝1)＝C31×0.8×(1－0.8)2＝P(X＝2)＝C32×0.82×(1－0.8)＝P(X＝3)＝C33×0.83＝0.5故X的分布列為X0123P0.0080.0960.3840.512所以E(X)＝3×0.8＝2.4.(2)設(shè)事件A為“被選出的人中恰好有k位男生”，則30個(gè)人中剩下(30－k)個(gè)人為女生或者老師，事件包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為C30所以P(k)＝C30kC所以由Pk+1Pk解得k<88774所以P(12)>P(11)>P(10)＞…，P(12)>P(13)>P(14)>…，故當(dāng)k＝12時(shí)，P(k)最大．命題點(diǎn)二考查數(shù)據(jù)分析、滲透原理論證[典例2](2022·新高考Ⅰ卷改編)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：組別衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090附：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828(1)依據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．PBAPBA①證明：R＝PA②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|B)的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值．[解](1)零假設(shè)為H0：患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣無差異．χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d＝200×40×90?60×10依據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．(2)①證明：R＝PBAP由題意知，證明P＝PA左邊＝PABPA右邊＝PABPB左邊＝右邊，故R＝PA②由已知P(A|B)＝25，P(A|B)＝1又P(A|B)＝所以R＝PAB新教材與老教材相比，對(duì)核心概念、重要公式等都做了必要的拓展、補(bǔ)充或證明，平時(shí)備考需進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)核心概念的認(rèn)知和基本理論體系的建立．如本題(2)問與我們平時(shí)的備考不同，一是題干長(zhǎng)，二是涉及條件概率，而且還是證明問題．本題看似麻煩，實(shí)則容易，由已知條件和所求R的值兩個(gè)等式可分別利用條件概率公式展開相乘化簡(jiǎn)，即可得證；然后結(jié)合互斥、對(duì)立事件概率之間的關(guān)系就可以輕而易舉地解答出最后一問．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(2024·浙江名校聯(lián)盟模擬)人口老齡化加劇的背景下，我國先后頒布了一系列生育政策，根據(jù)不同政策要求，分為兩個(gè)時(shí)期Ⅰ和Ⅱ.根據(jù)部分調(diào)查數(shù)據(jù)總結(jié)出如下規(guī)律：對(duì)于同一個(gè)家庭，在Ⅰ時(shí)期內(nèi)生孩X人，在Ⅱ時(shí)期內(nèi)生孩Y人，(不考慮多胞胎)生男生女的概率相等．X服從0－1分布且P(X＝0)＝15.YY012Ppp＋qp－q現(xiàn)已知一個(gè)家庭在Ⅰ時(shí)期內(nèi)沒生孩子，則在Ⅱ時(shí)期內(nèi)生2個(gè)孩子的概率為124；若在Ⅰ時(shí)期內(nèi)生了1個(gè)女孩，則在Ⅱ時(shí)期內(nèi)生2個(gè)孩子的概率為16；若在Ⅰ時(shí)期內(nèi)生了1個(gè)男孩，則在Ⅱ時(shí)期內(nèi)生2個(gè)孩子的概率為112，樣本點(diǎn)中Ⅰ時(shí)期內(nèi)生孩人數(shù)與Ⅱ(1)求Y的期望與方差；(2)由數(shù)據(jù)zi(i＝1，2，…，n)組成的樣本空間根據(jù)分層隨機(jī)抽樣分為兩層，樣本點(diǎn)之比為a∶b，分別為xi(i＝1，2，…，k)與yi(i＝1，2，…，m)，k＋m＝n，總體樣本點(diǎn)與兩個(gè)分層樣本點(diǎn)均值分別為z，x，y，方差分別為S02，S1[解](1)由分布列知：p＋(p＋q)＋(p－q)＝1，即p＝13設(shè)事件Ai(i＝1，2，3)分別表示Ⅰ時(shí)期內(nèi)沒生孩子、生了1個(gè)女孩、生了1個(gè)男孩，事件B表示Ⅱ時(shí)期內(nèi)生2個(gè)孩子，則P(B|A1)＝124，P(B|A2)＝16，P(B|A3)＝又P(A1)＝15，P(A2)＝P(A3)＝45×所以P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝p－q＝13－q即124×15+16×2綜上，Y的分布列如表所示：Y012P16713E(Y)＝0×13＋1×67120＋2×13120D(Y)＝13×0?31402＋(2)由題意S＝＝而上式＝＝1n[kS12+kx?＝knS12+又k＋m＝n，且a∶b＝k∶m，上式＝aa+bS12+綜上，S02＝aa+bS12+x由題設(shè)知，E(X)＝45，D(X)＝425，E(Y)＝3140，D(Y則總體均值z(mì)＝27×4綜上，題設(shè)樣本總體的方差為27×425【教師備選資源】從有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，記Ai表示事件“第i次摸到紅球”，i＝1，2，…，7.(1)求第一次摸到藍(lán)球的條件下第二次摸到紅球的概率；(2)記P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時(shí)發(fā)生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時(shí)A3發(fā)生的概率．①證明：P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)；②求P(A3)．[解](1)由條件概率公式可得P(A2|A1)＝PA1A