期中押題重難點(diǎn)檢測卷02考試范圍：第16-18章注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·湖南長沙·八年級長沙縣湘郡未來實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）分別以下列各組數(shù)為邊的三角形，不是直角三角形的是（

）A．3，4，5 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．，，2．（2022秋·貴州遵義·九年級?？茧A段練習(xí)）代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C．且 D．3．（2023春·安徽亳州·八年級校考階段練習(xí)）在式子：中，二次根式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，若，，則的長度（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，已知等邊的邊長為4，P、Q、R分別為邊上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．6．（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，在中，D是邊的中點(diǎn)，是的角平分線，于點(diǎn)E，連接．若，，則的長度是（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.57．（2023春·安徽滁州·八年級?？茧A段練習(xí)）我們知道形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)．如：，．這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：①；②設(shè)有理數(shù)a，b滿足，則；③；④已知，則；⑤．以上結(jié)論正確的有（

）A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④8．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)．連接，作交于點(diǎn)，已知，則四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C． D．49．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，動點(diǎn)M，N分別在邊，上則的最小值是（

）A． B． C．6 D．10．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)校考期末）如圖，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)，以為斜邊作，與交于點(diǎn)，連接，使得，且，若，則菱形的周長為（

）A． B． C． D．4二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若是正整數(shù)，則整數(shù)n的最小值為___________．12．（2023·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，線段與豎直網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，則線段的長為_____________．13．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為______．14．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為E．若，則____．15．（2023秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，G是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為_____．16．（2022秋·四川遂寧·九年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：；

；

；

……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算______．17．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，．點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在邊和邊上，連接．將沿折疊，得到，點(diǎn)B恰好落在的中點(diǎn)處．設(shè)與交于點(diǎn)F，則____．18．（2022秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E連接BE、CE，過C作與BE延長線交于點(diǎn)F，連接DF、DE．若CE＝CF＝1，，下列結(jié)論中：①；②；③點(diǎn)D到CF的距離為2；④．其中結(jié)論正確的是______．（填序號）三、解答題（8小題，共66分）19．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)20．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）無論x取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，化簡式子．21．（2023春·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）按要求完成作圖：(1)作出關(guān)于軸對稱的圖形；(2)在軸上找一點(diǎn)，使得的值最小，最小為多少？22．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，和相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求的面積．23．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，平分，連接交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，求的長．24．（2022秋·四川眉山·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的材料，并解決問題．；；(1)觀察上式并填空：．(2)觀察上述規(guī)律并猜想：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，．（用含n的式子表示，不用說明理由）(3)請利用（2）的結(jié)論計(jì)算：①；②．25．（2023春·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，，，P，Q分別是的邊上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿B→A方向運(yùn)動，速度為每秒，到達(dá)A點(diǎn)后停止；點(diǎn)Q從A開始沿A→C→B的方向運(yùn)動，速度為每秒，到達(dá)B點(diǎn)后停止，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)時(shí)間為．(1)求的長度；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好在邊的垂直平分線上？并求出此時(shí)的長；(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動時(shí)，直接寫出為等腰三角形時(shí)t的值．26．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．期中押題重難點(diǎn)檢測卷02考試范圍：第16-18章注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·湖南長沙·八年級長沙縣湘郡未來實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）分別以下列各組數(shù)為邊的三角形，不是直角三角形的是（

）A．3，4，5 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．，，【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：兩短邊的平方和等于最長邊的平方，則該三角形為直角三角形，逐一選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，故是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；B、，故是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；C、，故是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；D、，故不是直角三角形，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】主要考查勾股定理的逆定理，只需判斷短邊的平方和與長邊的平方的關(guān)系即可．2．（2022秋·貴州遵義·九年級?？茧A段練習(xí)）代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，可得：，，解不等式就可以求解．【詳解】代數(shù)式有意義，，，解得：且．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式和二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握：①分式有意義，分母不為0；②二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．3．（2023春·安徽亳州·八年級校考階段練習(xí)）在式子：中，二次根式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義對各式分析判斷即可得解．【詳解】解：，是二次根式，無意義，是二次根式，是三次根式，是二次根式，無意義，綜上所述，是二次根式的有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．4．（2023秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F，若，，則的長度（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，又因?yàn)槠椒?，所以，則，則，同理可證，那么就可表示為，繼而可得出答案．【詳解】解：∵平行四邊形，∴，又平分，∴，∴，∴，同理可證：，∵，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可利用等腰三角形的性質(zhì)解題，難度不大，關(guān)鍵是解題技巧的掌握．5．（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，已知等邊的邊長為4，P、Q、R分別為邊上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】如圖，作關(guān)于對稱的，點(diǎn)E與點(diǎn)Q關(guān)于對稱，連接，則，可得當(dāng)點(diǎn)E，R，P在同一直線上，且時(shí)，的長就是的最小值，在需要利用等邊三角形的性質(zhì)求出等邊三角形的高即可得到答案．【詳解】解：如圖，作關(guān)于對稱的，點(diǎn)E與點(diǎn)Q關(guān)于對稱，連接，則，∴，∴當(dāng)點(diǎn)E，R，P在同一直線上，且時(shí)，的長就是的最小值，∵，∴，∴由平行線間間距相等可知的長等于等邊三角形的高的長∵等邊的邊長為4，∴等邊三角形的高為，即的最小值為，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)造出最短路徑．6．（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，在中，D是邊的中點(diǎn)，是的角平分線，于點(diǎn)E，連接．若，，則的長度是（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】C【分析】延長交于點(diǎn)F，通過證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形中位線定理得出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長，交于點(diǎn)F．∵平分，∴，，在與中，∴，∴，，又∵D是中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴．∴．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線，全等三角形等．熟練掌握三角形中位線定理，角平分線定義和垂直定義，三角形全等判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·安徽滁州·八年級?？茧A段練習(xí)）我們知道形如，的數(shù)可以化簡，其化簡的目的主要是把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)．如：，．這樣的化簡過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：①；②設(shè)有理數(shù)a，b滿足，則；③；④已知，則；⑤．以上結(jié)論正確的有（

）A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】利用有理化因式進(jìn)行變形計(jì)算后即可判斷．【詳解】解：①，故正確；②，∴，故錯(cuò)誤；③，，∵，∴，故正確；④∵，而，∴，故錯(cuò)誤；⑤，故正確；正確的有①③⑤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可，再二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．8．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)．連接，作交于點(diǎn)，已知，則四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【分析】已知四邊形是正方形，，得到，，，，推出，結(jié)合，得到，可進(jìn)一步證明，得到，進(jìn)而得到，即可正確解答．【詳解】∵四邊形是正方形，，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴四邊形的面積為1．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，動點(diǎn)M，N分別在邊，上則的最小值是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接，此時(shí)最小，再通過解直角三角形求出的長即可【詳解】如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接，此時(shí)最小.在中，∵，，，∴，∴.又∵，∴，解得.由對稱得，.∵，∴.∵，∴，∴，∴，即的最小值為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了線路最短的問題，確定動點(diǎn)P的位置時(shí)，使的值最小是關(guān)鍵．10．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學(xué)校考期末）如圖，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)，以為斜邊作，與交于點(diǎn)，連接，使得，且，若，則菱形的周長為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)一步得出，再根據(jù)證明得出，連接，設(shè)求出，由勾股定理可得出，進(jìn)一步可得出結(jié)論．【詳解】連接,∵菱形，，在中，又，又在和中，連接，設(shè)，，在中，（舍去）∴∴菱形的周長為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的四條邊相等、對角線互相垂直、靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若是正整數(shù)，則整數(shù)n的最小值為___________．【答案】3【分析】是正整數(shù)，則一定是一個(gè)完全平方數(shù)，即可求出n的最小值．【詳解】解：∵是正整數(shù)，∴一定是一個(gè)完全平方數(shù)，∴整數(shù)n的最小值為3．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，理解是正整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，線段與豎直網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，則線段的長為_____________．【答案】【分析】先證明則，進(jìn)而得出，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是找出全等三角形，得出邊的長度．13．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為______．【答案】2【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積大正方形的面積個(gè)直角三角形的面積，利用已知，大正方形的面積為16，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：由題意可知：每個(gè)直角三角形面積為，則四個(gè)直角三角形面積為，大正方形面積為，小正方形面積為，∵，∴，∵大正方形的面積為16，∴，∴小正方形的面積為，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用勾股定理解大正方形面積為是解題關(guān)鍵．14．（2023春·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為E．若，則____．【答案】45【分析】由矩形的性質(zhì)得出，再由已知條件得出，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，最后再根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得，進(jìn)而可得，由此即可得出結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，∵，，，四邊形是矩形，，，，，，，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、角的計(jì)算；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，G是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為_____．【答案】5【分析】作G關(guān)于的對稱點(diǎn)，在上截取，然后連接交于E，在上截取，此時(shí)的值最小，利用已知可以得出長度不變，求出最小時(shí)即可得出四邊形周長的最小值，利用軸對稱得出E，F(xiàn)位置，即可求出．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于的對稱點(diǎn)，在上截取，然后連接交于E，在上截取，此時(shí)的值最小，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，G為邊的中點(diǎn)，∴，由勾股定理得∶，即的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及勾股定理等知識，確定最小時(shí)E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．16．（2022秋·四川遂寧·九年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：；

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……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算______．【答案】【分析】根據(jù)等式所呈現(xiàn)的規(guī)律，將原式轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行運(yùn)算即可求解．【詳解】解：；；；……；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化類，掌握等式所呈現(xiàn)的規(guī)律是正確計(jì)算的前提．17．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，．點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在邊和邊上，連接．將沿折疊，得到，點(diǎn)B恰好落在的中點(diǎn)處．設(shè)與交于點(diǎn)F，則____．【答案】【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可知，，，根據(jù)勾股定理求出，即可得出，然后在中，根據(jù)勾股定理求出，再求出，然后作根據(jù)勾股定理求出，接下來在中求出，最后根據(jù)得出答案.【詳解】由折疊可知，，，.∵，是的中點(diǎn)，∴，，在中，，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得，∴，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，如圖所示，∵，∴.∵，∴.設(shè)，則，，在中，，∴，解得，∴，在中，，即，解得，∴.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，解方程等，勾股定理是求線段長的常用方法．18．（2022秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E連接BE、CE，過C作與BE延長線交于點(diǎn)F，連接DF、DE．若CE＝CF＝1，，下列結(jié)論中：①；②；③點(diǎn)D到CF的距離為2；④．其中結(jié)論正確的是______．（填序號）【答案】##【分析】利用“”可直接證明，即有，即可得：，即有；過點(diǎn)D作，交CF的延長線于點(diǎn)M，先證明，即有，可得，問題隨之得解；根據(jù)即可作答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵，∴，∴，在與中，，∴，故正確；∵，∴，∴結(jié)合一組對頂角相等可得：，∴，故正確，過點(diǎn)D作，交CF的延長線于點(diǎn)M，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴由勾股定理可求得：，∵，∴由勾股定理可得：，∵，∴，故錯(cuò)誤，，故④錯(cuò)誤，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合問題，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、三角形面積公式等知識內(nèi)容，綜合程度高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識解答．三、解答題（8小題，共66分）19．（2023春·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先將二次根式化簡，然后計(jì)算加減法即可；（2）利用分配律計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（2）．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．20．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）無論x取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，化簡式子．【答案】【分析】根據(jù)代數(shù)式都有意義，得出，繼而根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：∵，且無論取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式都有意義，∴，∴.當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）按要求完成作圖：(1)作出關(guān)于軸對稱的圖形；(2)在軸上找一點(diǎn)，使得的值最小，最小為多少？【答案】(1)見解析(2)點(diǎn)M的位置見解析，【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，先確定A、B、C對應(yīng)點(diǎn)D、E、F的位置，然后順次連接D、E、F即可．（2）作關(guān)于軸對稱點(diǎn)，僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)值最小，由此利用勾股定理求解即可；【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：作關(guān)于軸對稱點(diǎn)，僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)值最小，，，，∴的最小值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱，軸對稱最短路徑問題，勾股定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，和相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件直接證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)三線合一得出，在中，勾股定理得出，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1），，，．．（2），，．在中，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三線合一，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，平分，連接交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意可先判斷四邊形是平行四邊形，結(jié)合平行線的定義和角平分線的定義推出，即可得到，從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的基本性質(zhì)以及勾股定理首先求出，然后利用菱形的面積可由對角線乘積的一半來表示，利用等面積法求出結(jié)論即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，四邊形是平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，，，∴，，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，即的長為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定以及性質(zhì)，掌握菱形的判定方法，以及菱形的面積等于對角線乘積的一半，是解題關(guān)鍵．24．（2022秋·四川眉山·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的材料，并解決問題．；；(1)觀察上式并填空：．(2)觀察上述規(guī)律并猜想：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，．（用含n的式子表示，不用說明理由）(3)請利用（2）的結(jié)論計(jì)算：①；②．【答案】(1)(2)(3)①4；②2020【分析】（1）根據(jù)平方差公式、二次根式的乘法法則計(jì)算；（2）仿照（1）的作法計(jì)算；（3）①②根據(jù)（1）總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】（1）解：；（2）；（3）①；②．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)、平方差公式、分母有理化是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，，，P，Q分別是的邊上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿B→A方向運(yùn)動，速度為每秒，到達(dá)A點(diǎn)后停止；點(diǎn)Q從A開始沿A→C→B的方向運(yùn)動，速度為每秒，到達(dá)B點(diǎn)后停止，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)時(shí)間為．(1)求