專題3.7函數(shù)、方程與不等式的關系（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.與不等式、方程等問題結合，考查二次函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，凸顯數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．通過判斷具體函數(shù)零點的個數(shù)或零點所在區(qū)間，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．3．通過函數(shù)零點或方程根的存在情況求參數(shù)的取值范圍，凸顯直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．．二、考試要求1.理解函數(shù)零點的概念.2.常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)、簡單不等式的解法.三、主干知識梳理1．函數(shù)的零點(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標就是函數(shù)y＝f(x)的零點．(3)結論：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點2．函數(shù)零點的判定定理條件結論函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(1)圖象是連續(xù)不斷的曲線(2)f(a)f(b)＜03.判斷函數(shù)y＝f(x)是否存在零點的方法：(1)方程法：判斷方程f(x)＝0是否有實數(shù)解．(2)圖象法：判斷函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸是否有交點．(3)定理法：利用零點的判定定理來判斷．4．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點和相應方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的關系函數(shù)圖象判別式符號(設判別式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0與x軸交點個數(shù)210方程的根的個數(shù)2105．設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)對應的方程的根為x1、x2.根的分布(m＜n＜p)圖象滿足條件一個區(qū)間只有一個根x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＜0，,fp＞0))一個區(qū)間有兩個根m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,m＜－\f(b,2a)＜n，,fm＞0，,fn＞0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(b,2a)＞m，,fm＞0))在(m，n)內(nèi)有且只有一個根或f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－eq\f(b,2a)∈(m，n)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝0，,m＜－\f(b,2a)＜\f(m＋n,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fn＝0，,\f(m＋n,2)＜－\f(b,2a)＜n))另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即兩正根，也可通過滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＞0，,\f(c,a)＞0))來解決；x1，x2∈(－∞，0)，即兩負根，也可通過滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＜0，,\f(c,a)＞0))來解決；x1，x2一正一負也可通過滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac＞0，,\f(c,a)＜0))來解決．二、真題展示1.（2023年浙江省高考數(shù)學試題）已知，函數(shù)若，則___________.2.(2023·浙江高考真題）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．考點01求函數(shù)的零點

【典例1】（2023·全國高二課時練習）若相異兩實數(shù)x，y滿足，則之值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（2023·東北育才學校高三其他（理））高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，為了紀念數(shù)學家高斯，人們把函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設，則函數(shù)的所有零點之和為________.【總結提升】1.正確理解函數(shù)的零點：(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零．(2)根據(jù)函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點就是f(x)＝0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)＝0是否有實根，有幾個實根．即函數(shù)y＝f(x)的零點?方程f(x)＝0的實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．2．函數(shù)零點的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點．,考點02判斷零點所在的區(qū)間

【典例3】（2023·海豐縣彭湃中學高一期末）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A． B． C． D．【典例4】（2023·鄲城縣實驗高中高一月考）如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【總結提升】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：一般而言判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值，進行符號判斷即可得出結論．此類問題的難點往往是函數(shù)值符號的判斷，可運用函數(shù)的有關性質(zhì)進行判斷．考點03函數(shù)零點個數(shù)的判斷【典例5】（2023·山東省高三二模）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)的定義域為R，是周期為2的奇函數(shù)，在區(qū)間上恰有5個零點，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A．5050 B．4041 C．4040 D．2020【典例6】【多選題】（2023·廣東廣州·高一期末）設函數(shù)，則下列命題中正確的有（）A．若，則B．方程可能有三個實數(shù)根C．當時，函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)D．當時，函數(shù)在上有最小值【總結提升】判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法：(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個根就有幾個零點．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．(3)結合單調(diào)性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點問題．考點04根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍【典例7】（2023·雞澤縣第一中學高二開學考試）已知函數(shù)，若恰好有2個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【典例8】（2023·江蘇高考真題）已知函數(shù)，若其圖像上存在互異的三個點，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.考點05一元二次方程根的分布問題【典例9】（2023·全國高三專題練習）已知二次函數(shù)滿足條件，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）如果函數(shù)的圖像與x軸的兩個不同交點在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）當函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點時，這兩個交點能否在點的兩旁；（4）若是函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，求實數(shù)m的取值范圍.【典例10】（2023·安徽省六安一中高一月考）已知函數(shù).(1)如果函數(shù)的一個零點為，求的值；(2)當函數(shù)有兩個零點，且其中一個大于，一個小于時，求實數(shù)的取值范圍.【總結提升】二次函數(shù)零點的分布一般為下面兩個方面的問題：(1)一個區(qū)間內(nèi)只有一個根；(2)一個區(qū)間內(nèi)有兩個根．由于我們在初中學過方程根的情況，有時可以根據(jù)判別式及根與系數(shù)的關系判斷，但在多數(shù)情況下，還要結合圖象，從對稱軸、判別式、區(qū)間端點的函數(shù)值的正負等方面去探究．1．（2023·山東高考真題）關于函數(shù)，以下表達錯誤的選項是（）A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點2.（2023·江西省崇義中學高一開學考試（文））方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2023·河南省高三其他（文））已知函數(shù)若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．4．（2023·浙江省鎮(zhèn)海中學高一期中）若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．5．【多選題】已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－3)·f(6)<0，那么下列結論中正確的是()A．f(x)可能有三個零點 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)6．【多選題】定義域和值域均為[－a，a](常數(shù)a＞0)的函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的有()A．方程f(g(x))＝0有兩正數(shù)解和一負數(shù)解B．方程g(f(x))＝0最多只有三個解C．方程f(f(x))＝0可能存在五個解D．方程g(g(x))＝0有且僅有一個解7．（2023·海南省海南中學高二期中）滿足，且關于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為________8.(2023·平遙縣綜合職業(yè)技術學校高一期中）已知函數(shù).（1）為何值時，有兩個根且均比大；（2）求在上的最大值.9．（2023·嘉興市第五高級中學高二期中）設(R)(1)若，求在區(qū)間上的最大值；(2)若，寫出的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在，使得方程有三個不相等的實數(shù)解，求的取值范圍.10.（2023·全國）設函數(shù)f（x）是定義在上的增函數(shù).（1）若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.專題3.7函數(shù)、方程與不等式的關系（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.與不等式、方程等問題結合，考查二次函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，凸顯數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．通過判斷具體函數(shù)零點的個數(shù)或零點所在區(qū)間，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．3．通過函數(shù)零點或方程根的存在情況求參數(shù)的取值范圍，凸顯直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．．二、考試要求1.理解函數(shù)零點的概念.2.常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)、簡單不等式的解法.三、主干知識梳理1．函數(shù)的零點(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標就是函數(shù)y＝f(x)的零點．(3)結論：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點2．函數(shù)零點的判定定理條件結論函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(1)圖象是連續(xù)不斷的曲線(2)f(a)f(b)＜03.判斷函數(shù)y＝f(x)是否存在零點的方法：(1)方程法：判斷方程f(x)＝0是否有實數(shù)解．(2)圖象法：判斷函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸是否有交點．(3)定理法：利用零點的判定定理來判斷．4．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點和相應方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的關系函數(shù)圖象判別式符號(設判別式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0與x軸交點個數(shù)210方程的根的個數(shù)2105．設二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)對應的方程的根為x1、x2.根的分布(m＜n＜p)圖象滿足條件一個區(qū)間只有一個根x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＜0，,fp＞0))一個區(qū)間有兩個根m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,m＜－\f(b,2a)＜n，,fm＞0，,fn＞0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(b,2a)＞m，,fm＞0))在(m，n)內(nèi)有且只有一個根或f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－eq\f(b,2a)∈(m，n)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝0，,m＜－\f(b,2a)＜\f(m＋n,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fn＝0，,\f(m＋n,2)＜－\f(b,2a)＜n))另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即兩正根，也可通過滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＞0，,\f(c,a)＞0))來解決；x1，x2∈(－∞，0)，即兩負根，也可通過滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＜0，,\f(c,a)＞0))來解決；x1，x2一正一負也可通過滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac＞0，,\f(c,a)＜0))來解決．二、真題展示1.（2023年浙江省高考數(shù)學試題）已知，函數(shù)若，則___________.答案：2【解析】由題意結合函數(shù)的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.2.(2023·浙江高考真題）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．答案：(1,4)【解析】由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是當時，，此時，即在上有兩個零點；當時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.考點01求函數(shù)的零點

【典例1】（2023·全國高二課時練習）若相異兩實數(shù)x，y滿足，則之值為（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D分析：根據(jù)已知條件求得，由此求得所求表達式的值.【詳解】兩式作差消元得：，反代回去得：，同理可得：，由同構及韋達定理有：繼而有：.故選：D【典例2】（2023·東北育才學校高三其他（理））高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，為了紀念數(shù)學家高斯，人們把函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).設，則函數(shù)的所有零點之和為________.答案：【解析】，令，可得，則函數(shù)的零點，即為函數(shù)與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩函數(shù)除以交點之外，其余的交點關于點對稱，所以，函數(shù)的所有零點之和為.故答案為：.【總結提升】1.正確理解函數(shù)的零點：(1)函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零．(2)根據(jù)函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點就是f(x)＝0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)＝0是否有實根，有幾個實根．即函數(shù)y＝f(x)的零點?方程f(x)＝0的實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．2．函數(shù)零點的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點．,考點02判斷零點所在的區(qū)間

【典例3】（2023·海豐縣彭湃中學高一期末）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A． B． C． D．答案：D【解析】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減,,,所以零點所在的大致區(qū)間為故選:D【典例4】（2023·鄲城縣實驗高中高一月考）如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點.給出的下列四個區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]答案：C【解析】結合圖象可得：ABD選項每個區(qū)間的兩個端點函數(shù)值異號，可以用二分法求出零點，C選項區(qū)間兩個端點函數(shù)值同號，不能用二分法求零點.故選：C【總結提升】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：一般而言判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)的值，進行符號判斷即可得出結論．此類問題的難點往往是函數(shù)值符號的判斷，可運用函數(shù)的有關性質(zhì)進行判斷．考點03函數(shù)零點個數(shù)的判斷【典例5】（2023·山東省高三二模）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)的定義域為R，是周期為2的奇函數(shù)，在區(qū)間上恰有5個零點，則在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A．5050 B．4041 C．4040 D．2020答案：B【解析】由函數(shù)的定義域為R上的奇函數(shù)，可得，又由在區(qū)間上恰有5個零點，可得函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)各有2個零點，因為是周期為2，所以區(qū)間內(nèi)有兩個零點，且，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點，所以在區(qū)間上的零點個數(shù)為個零點.故選：B.【典例6】【多選題】（2023·廣東廣州·高一期末）設函數(shù)，則下列命題中正確的有（）A．若，則B．方程可能有三個實數(shù)根C．當時，函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)D．當時，函數(shù)在上有最小值答案：ABC分析：根據(jù)解析式表示出即可求出c的值，可判斷A；對b，c取特殊值，可判斷B；時，可以根據(jù)函數(shù)的對稱性加以判斷C；b＞0時，分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求單調(diào)性，判斷D.【詳解】因為,解得c＝1010，故A對；令，則，解得x＝0，2，﹣2，故B正確；當b＜0時，，由解析式可知函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)，故C正確；當b＞0時，，值域是R，故函數(shù)在R上沒有最小值，故D錯誤.故選：ABC【總結提升】判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法：(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個根就有幾個零點．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．(3)結合單調(diào)性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點問題．考點04根據(jù)零點情況求參數(shù)范圍【典例7】（2023·雞澤縣第一中學高二開學考試）已知函數(shù)，若恰好有2個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：C【解析】令，因為方程的兩根為，所以在同一直角坐標系下作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可知，當時，函數(shù)恰有兩個零點，圖象如圖所示：當時，函數(shù)恰有兩個零點，圖象如圖所示：綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍為.故選：C【典例8】（2023·江蘇高考真題）已知函數(shù)，若其圖像上存在互異的三個點，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.答案：分析：先畫出函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，再畫函數(shù)的圖象，觀察交點的個數(shù)，從而求得的取值范圍．【詳解】解：畫出函數(shù)的圖象如下圖，由題意得函數(shù)圖象上存在互異的三個點，且，則可看做函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，由圖知，當或時，有且僅有兩個交點，要使兩個圖象有三個不同的交點，則的取值范圍為．故答案為：．考點05一元二次方程根的分布問題【典例9】（2023·全國高三專題練習）已知二次函數(shù)滿足條件，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）如果函數(shù)的圖像與x軸的兩個不同交點在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍；（3）當函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點時，這兩個交點能否在點的兩旁；（4）若是函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，求實數(shù)m的取值范圍.答案：（1）；（2）；（3）這兩個交點不可能落在點的兩旁；（4）.分析：（1）設二次函數(shù)的解析式為，用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)題意可知，判別式，對稱軸且，計算可得到答案；（3）使用反證法，假設兩個交點在，則需要滿足，，若滿足，則成立，若不滿足，則不成立；（4）在區(qū)間上單調(diào)，區(qū)分為在是單調(diào)遞增，還是單調(diào)遞減，進行分類討論即可.【詳解】（1）設二次函數(shù)的解析式為，由，則，又，，故，即.因此，，故.（2）因為拋物線與x軸的兩個交點在區(qū)間內(nèi)，其圖象如圖所示：因此m應滿足：，解得.故m的取值范圍為.（3）假設的圖像與x軸的兩個交點落在點的兩旁，則.因為，故拋物線開口向上，又，不滿足，故假設不成立，因此當?shù)膱D像與x軸有兩個交點時，這兩個交點不可能落在點的兩旁.（4）因為拋物線的對稱軸為直線，若是函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，則必有或，即或.故的取值范圍為：．【典例10】（2023·安徽省六安一中高一月考）已知函數(shù).(1)如果函數(shù)的一個零點為，求的值；(2)當函數(shù)有兩個零點，且其中一個大于，一個小于時，求實數(shù)的取值范圍.答案：(1)；(2).【解析】(1)因為函數(shù)的一個零點為，所以，即.(2)因為函數(shù)有兩個零點，且其中一個大于，一個小于，所以當時，，即；當時，，此時無解；故實數(shù)的取值范圍為.【總結提升】二次函數(shù)零點的分布一般為下面兩個方面的問題：(1)一個區(qū)間內(nèi)只有一個根；(2)一個區(qū)間內(nèi)有兩個根．由于我們在初中學過方程根的情況，有時可以根據(jù)判別式及根與系數(shù)的關系判斷，但在多數(shù)情況下，還要結合圖象，從對稱軸、判別式、區(qū)間端點的函數(shù)值的正負等方面去探究．1．（2023·山東高考真題）關于函數(shù)，以下表達錯誤的選項是（）A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點答案：C分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，直接進行求解即可.【詳解】，最大值是1，A正確；對稱軸是直線，B正確；單調(diào)遞減區(qū)間是，故C錯誤；令的，故在函數(shù)圖象上，故D正確，故選：C2.（2023·江西省崇義中學高一開學考試（文））方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C【解析】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需，即，解不等式組可得，即的取值范圍為，故選：C.3．（2023·河南省高三其他（文））已知函數(shù)若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：D【解析】令，由題意，畫出的圖象如圖，函數(shù)恰有兩個不同的零點，即函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，∵當時，，當時，，∴，或，故選：D．4．（2023·浙江省鎮(zhèn)海中學高一期中）若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：A【解析】當時，；當時，，當時，，顯然不合題意；若，則圖象如下圖所示：由圖象可知：若有三個不同的零點，則，解得：；若，則圖象如下圖所示：由圖象可知：若有三個不同的零點，則，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：.5．【多選題】已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(－3)·f(6)<0，那么下列結論中正確的是()A．f(x)可能有三個零點 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)答案：AC【解析】因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有一個零點，且f(3)<0，f(6)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有兩個零點．但是f(0)的值沒有確定，所以函數(shù)f(x)可能有三個零點，故A正確；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符號不確定，故B不正確；C項顯然正確；由于f(0)的值沒有確定，所以f(0)與f(－6)的大小關系不確定，所以D不正確．故選A、C.6．【多選題】定義域和值域均為[－a，a](常數(shù)a＞0)的函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的有()A．方程f(g(x))＝0有兩正數(shù)解和一負數(shù)解B．方程g(f(x))＝0最多只有三個解C．方程f(f(x))＝0可能存在五個解D．方程g(g(x))＝0有且僅有一個解答案：ABCD【解析】設f(x)的零點分別為x1，x2，x3，則x1＜x2＜0＜x3，設g(x)的零點為x4，x4＞0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x1，有一個解為正數(shù)，g(x)＝x2，有一個解為正數(shù)，g(x)＝x3，有一個解為負數(shù)，故A正確；g(f(x))＝0，則f(x)＝x4，根據(jù)圖象知：函數(shù)最多有三個交點，故B正確；f(f(x))＝0，即f(x)＝x1，可能為一個解，f(x)＝x2，可能為三個解，f(x)＝x3，可能為一個解，故C正確；g(g(x))＝0，故g(x)＝x4，方程有且僅有一個解，故D正確．故選ABCD.7．（2023·海南省海南中學高二期中）滿足，且關于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為________答案：【解析】當時，方程為，此時一定有解；此時，0，1，2；即