專題15圓錐曲線焦點(diǎn)三角形微點(diǎn)2焦點(diǎn)三角形面積公式及其應(yīng)用專題15圓錐曲線焦點(diǎn)三角形微點(diǎn)2焦點(diǎn)三角形面積公式及其應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】有心圓錐曲線（橢圓、雙曲線）上一點(diǎn)與有心圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形．本節(jié)利用圓錐曲線的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)推導(dǎo)焦點(diǎn)三角形的面積公式，并舉例說明其應(yīng)用．一、焦點(diǎn)三角形定義橢圓和雙曲線有對(duì)稱中心，故統(tǒng)稱為有心圓錐曲線．有心圓錐曲線上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱之為有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形．其中，我們把橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和其短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形稱為橢圓的一個(gè)特征焦點(diǎn)三角形．二、焦點(diǎn)三角形面積公式【結(jié)論1】橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)三角形面積為．特別地，當(dāng)時(shí)，有．證明：如圖，由余弦定理知．①由橢圓定義知：，②則②2－①得，．當(dāng)時(shí)，．【結(jié)論2】橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，，則．特別地，當(dāng)時(shí)，有．證明：如圖，由余弦定理知，，，，，∴．當(dāng)時(shí)，．三、焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義、余弦定理、基本不等式等知識(shí)解題．1．設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積.2．已知雙曲線的左、右集點(diǎn)分別為，若雙曲線上點(diǎn)使，則的面積是（

）A．12 B．16 C．24 D．323．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為．求橢圓C的方程（2023·新課標(biāo)Ⅰ）4．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．25．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，且，求的面積.例6．(2023城廂區(qū)校級(jí)期中）6．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，若，且的面積為，則A．2 B．3 C．6 D．9例7．(2023連城縣校級(jí)期中）7．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A．9 B．3 C．4 D．8例8．（2023·新課標(biāo)Ⅲ）8．設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（

）A．1 B．2 C．4 D．8例9．(2023·安徽省亳州市第一中學(xué)高月考）9．已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．例10．(2023·吉林吉林·高三期末）10．已知P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時(shí)，，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn).以的實(shí)軸為直徑的圓與線段交于，兩點(diǎn)，且，是線段的三等分點(diǎn)，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【針對(duì)訓(xùn)練】12．已知橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為q，則q取最大值時(shí)，的面積為（

）A．1 B． C．2 D．13．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．8（2023·新課標(biāo)Ⅲ）14．已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為A． B． C． D．15．設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（

）A． B．2 C． D．116．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．(2023全國(guó)高三專題練習(xí)）17．橢圓的焦點(diǎn)為、，橢圓上的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．(2023河南高二月考（理））18．、的雙曲線的兩焦點(diǎn)，在雙曲線上，，則的面積是A．11 B． C． D．(2023攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中（理））19．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，且，則的面積為（

）A． B． C． D．(2023重慶九龍坡區(qū)·高二期末（理））20．橢圓的焦點(diǎn)為，P為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積是.A． B． C． D．(2023新疆烏魯木齊市·烏市一中高二月考）21．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．22．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為______．23．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是________.(2023西城區(qū)期末）24．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)在橢圓上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．25．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且若的面積為，則__________．26．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓的離心率是______________．(2023龍山縣校級(jí)期末）27．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩焦點(diǎn)，若，試求：（1）橢圓的方程；（2）的面積．28．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線斜率為，求的面積.（2023新課標(biāo)Ⅱ）29．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.專題15圓錐曲線焦點(diǎn)三角形微點(diǎn)2焦點(diǎn)三角形面積公式及其應(yīng)用專題15圓錐曲線焦點(diǎn)三角形微點(diǎn)2焦點(diǎn)三角形面積公式及其應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】有心圓錐曲線（橢圓、雙曲線）上一點(diǎn)與有心圓錐曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形．本節(jié)利用圓錐曲線的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)推導(dǎo)焦點(diǎn)三角形的面積公式，并舉例說明其應(yīng)用．一、焦點(diǎn)三角形定義橢圓和雙曲線有對(duì)稱中心，故統(tǒng)稱為有心圓錐曲線．有心圓錐曲線上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱之為有心圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形．其中，我們把橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和其短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形稱為橢圓的一個(gè)特征焦點(diǎn)三角形．二、焦點(diǎn)三角形面積公式【結(jié)論1】橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)三角形面積為．特別地，當(dāng)時(shí)，有．證明：如圖，由余弦定理知．①由橢圓定義知：，②則②2－①得，．當(dāng)時(shí)，．【結(jié)論2】橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，，則．特別地，當(dāng)時(shí)，有．證明：如圖，由余弦定理知，，，，，∴．當(dāng)時(shí)，．三、焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用在求圓錐曲線中焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線的定義、余弦定理、基本不等式等知識(shí)解題．1．設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積.2．已知雙曲線的左、右集點(diǎn)分別為，若雙曲線上點(diǎn)使，則的面積是（

）A．12 B．16 C．24 D．323．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為．求橢圓C的方程（2023·新課標(biāo)Ⅰ）4．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．25．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，且，求的面積.例6．(2023城廂區(qū)校級(jí)期中）6．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，若，且的面積為，則A．2 B．3 C．6 D．9例7．(2023連城縣校級(jí)期中）7．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（

）A．9 B．3 C．4 D．8例8．（2023·新課標(biāo)Ⅲ）8．設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（

）A．1 B．2 C．4 D．8例9．(2023·安徽省亳州市第一中學(xué)高月考）9．已知雙曲線，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．例10．(2023·吉林吉林·高三期末）10．已知P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時(shí)，，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn).以的實(shí)軸為直徑的圓與線段交于，兩點(diǎn)，且，是線段的三等分點(diǎn)，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【針對(duì)訓(xùn)練】12．已知橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為q，則q取最大值時(shí)，的面積為（

）A．1 B． C．2 D．13．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．8（2023·新課標(biāo)Ⅲ）14．已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為A． B． C． D．15．設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（

）A． B．2 C． D．116．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則P到x軸的距離為A． B． C． D．(2023全國(guó)高三專題練習(xí)）17．橢圓的焦點(diǎn)為、，橢圓上的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．(2023河南高二月考（理））18．、的雙曲線的兩焦點(diǎn)，在雙曲線上，，則的面積是A．11 B． C． D．(2023攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中（理））19．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，且，則的面積為（

）A． B． C． D．(2023重慶九龍坡區(qū)·高二期末（理））20．橢圓的焦點(diǎn)為，P為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積是.A． B． C． D．(2023新疆烏魯木齊市·烏市一中高二月考）21．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．22．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為______．23．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是________.(2023西城區(qū)期末）24．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)在橢圓上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．25．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且若的面積為，則__________．26．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓的離心率是______________．(2023龍山縣校級(jí)期末）27．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩焦點(diǎn)，若，試求：（1）橢圓的方程；（2）的面積．28．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線斜率為，求的面積.（2023新課標(biāo)Ⅱ）29．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.參考答案：1．【解析】根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓定義得到，再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，則，根據(jù)余弦定理：，即，故..【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓焦點(diǎn)三角形面積問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于?？碱}型.2．B分析：設(shè),根據(jù)雙曲線的定義得，利用勾股定理求出，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可知，，所以，設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,，由雙曲線定義可得，，，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，三角形的面積，屬于中檔題.3．分析：設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)正方形的面積求出橢圓中參數(shù)的值且判斷出參數(shù)，的關(guān)系，根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出，的值得到橢圓的方程．【詳解】解：依題意，設(shè)橢圓的方程為，焦距為，由題設(shè)條件知，，所以，故橢圓的方程為.4．B分析：由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.5．分析：根據(jù)題意，利用橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理，求得的面積．【詳解】如圖所示，由橢圓，得，，；在△中，由余弦定理得：，∴；∴的面積為；綜上，的面積為.6．B分析：先根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求得，設(shè)出，，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面積公式求解即得．【詳解】解：設(shè)，，則由橢圓的定義可得：①在△中，所以②，由①②得即所以，．故選：B．7．B分析：由橢圓定義與余弦定理，三角形面積公式求解【詳解】法一：設(shè)，，則，，∴．又，∴，解得．法二：由焦點(diǎn)三角形面積公式得故選：B8．A分析：根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.9．B分析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，由題意可得，設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱性可得，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，，整理可得關(guān)于，的齊次方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，圓心為，半徑為，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得四邊形是矩形，設(shè)，，則，由可得，所以，所以，所以.故選：B.

10．A分析：設(shè).先由題意求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為..把轉(zhuǎn)化為，由求出，即可求得.【詳解】設(shè).在中，當(dāng)時(shí)，由橢圓的定義，余弦定理得：整理得：由三角形的面積公式得：，解得：.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上，又O為的中點(diǎn)，所以軸，即.由，得，解得：，所以，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：.又有，解得：，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.所以.因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】解析幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對(duì)應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.11．B【解析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，，取中點(diǎn)，根據(jù)雙曲線定義可表示出；在圓中利用垂徑定理可表示出，根據(jù)為三等分點(diǎn)可確定為中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可表示出并得到，由此構(gòu)造方程求得；利用雙曲線焦點(diǎn)三角形面積構(gòu)造等量關(guān)系，得到關(guān)于的齊次方程，由此求得漸近線斜率，進(jìn)而得到漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接設(shè)，由雙曲線定義知：

且

又

為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)

且，解得：

，又雙曲線焦點(diǎn)三角形面積

雙曲線漸近線方程為故選：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，涉及到雙曲線定義、焦點(diǎn)三角形面積的應(yīng)用、垂徑定理求解圓的弦長(zhǎng)的應(yīng)用等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠通過兩種不同的方式表示出雙曲線焦點(diǎn)三角形面積，進(jìn)而構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程.12．B分析：根據(jù)橢圓定義，結(jié)合基本不等式求出，進(jìn)而求出面積.【詳解】根據(jù)橢圓定義，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)三角形是等腰三角形，易知，所以的面積為故選：B.13．B【詳解】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應(yīng)用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．14．B【解析】設(shè)，因?yàn)樵俳Y(jié)合雙曲線方程可解出，再利用三角形面積公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則①．又，②．由①②得，即，，故選B．【點(diǎn)睛】本題易錯(cuò)在忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢．15．D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，即得.【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，，，，，的面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.16．B【詳解】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得，.由余弦定理得cos∠P=，即cos，解得，所以，故P到x軸的距離為.17．C【解析】利用橢圓定義和余弦定理，列出方程組，求出，由此能求出△的面積．【詳解】解：解：橢圓的焦點(diǎn)為、，橢圓上的點(diǎn)滿足，由橢圓定義得：，，①由余弦定理得：，②聯(lián)立①②，得：，∴，故選：C.18．A分析：由雙曲線的方程根據(jù)雙曲線定義可知的值，再根據(jù)，求得的值，利用配方法求得，進(jìn)而可求得的面積.【詳解】雙曲線的，不妨設(shè)，則，而，得，，，的面積11，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)、雙曲線的定義與三角形的面積公式，屬于中檔題.解答與雙曲線焦點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，往往需要利用雙曲線的定義：.19．C分析：由，可得，再由及余弦定理計(jì)算可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可得，最后由面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以在中由余弦定理可得，即又，即，所以，再由所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和橢圓的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．20．A分析：橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為，直接代入公式可求得面積.【詳解】由于橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為，故所求面積為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積，橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為，將題目所給數(shù)據(jù)代入公式，可求得面積.屬于基礎(chǔ)題.21．C分析：根據(jù)題意，分析可得，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可得，，將兩式聯(lián)立可得的值，由三角形面積公式計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在橢圓上，滿足，，又由橢圓的方程為，其中，則有，，聯(lián)立可得，則△的面積；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及勾股定理與三角形的面積，關(guān)鍵是掌握橢圓的幾何性質(zhì)．22．分析：設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），由PF1⊥PF2得到一個(gè)方程，將此方程代入雙曲線的方程，消去x，求出|y|的值．【詳解】設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴=-1，∴x2+y2=25

①，又，∴，∴y2=，∴|y|=，∴P到x軸的距離是．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)的應(yīng)用．結(jié)合題意，建立兩個(gè)等式，解方程，即可得出答案．23．分析：與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)的問題，一般以回歸定義求解為上策，抓住△PF1F2為直角三角形建立等式關(guān)系．【詳解】∵△POF2是面積為的正三角形，∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．∴c=2，∵△PF1F2為直角三角形，∴a=，所以.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的基本量，關(guān)鍵是抓住圖形特征建立等式關(guān)系．24．D分析：由題意，根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合勾股定理以及等面積法，可得答案.【詳解】由題意作圖，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，則|PF1|·|PF2|=|F1F2|·d，故2b2=2cd，故，故選：D．25．3分析：由橢圓的定義得到，在利用與垂直，得到，化簡(jiǎn)得到，在利用即可得到答案.【詳解】由題意知，與垂直，所以，所以，所以，所以，所以，所以．故答案為：3.26．##分析：根據(jù)三角形面積公式求出，利用橢圓的定義及三角形余弦定理即可求出結(jié)果．【詳解】由，的面積為，可得，∴．再根據(jù)橢圓的定義可得．再利用余弦定理可得，求得，∴．故答案為：．27．（1）；（2）20分析：（1）設(shè)出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系求出