第07講6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示課程標準學習目標①借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示。②掌握兩個向量加、減運算的坐標表示。③掌握平面向量數(shù)乘運算的坐標表示。④理解用坐標表示的平面向量共線的條件。⑤能根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否共線。1.在理解的基礎上，靈活掌握兩個向量加、減運算的坐標表示，加強數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)；2.熟練運用掌握向量的運算性質，提升對平面向量共線的坐標表示的理解與掌握，提升數(shù)學核心素養(yǎng)；3.會利用坐標法，理解和掌握兩個向量是否共線的判斷.；知識點01：平面向量的正交分解（1）把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.（2）在不共線的兩個向量中,垂直是一種特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一種分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,會給問題的研究帶來方便.知識點02：平面向量的坐標表示（1）向量的坐標表示在直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個不共線單位向量、作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)，使得，則把有序數(shù)對，叫做向量的坐標．記作，此式叫做向量的坐標表示，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，注意：①對于，有且僅有一對實數(shù)與之對應②兩向量相等時，坐標一樣③，，④從原點引出的向量的坐標就是點的坐標【即學即練1】（2023下·高一課時練習）如圖所示，為單位正交基，則向量，的坐標分別是（

）

A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】由平面向量基本定理得到，，從而求出兩向量的坐標.【詳解】根據(jù)平面直角坐標系，可知，，∴，.故選：C.（2）點的坐標與向量的坐標的關系區(qū)別：①表示形式不同向量中間用等號連接，而點中間沒有等號②意義不同點的坐標表示點在平面直角坐標系中的位置，的坐標既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點或向量.聯(lián)系：當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.知識點03：平面向量的坐標表示（1）兩個向量和（差）的坐標表示兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）.坐標表示：，則：；【即學即練2】（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習）已知平面向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量坐標化的加法運算即可得到答案.【詳解】，故選：C.（2）任一向量的坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標，，則.（3）向量數(shù)乘的坐標表示實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.坐標表示:,則.【即學即練3】2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，若，則實數(shù)m的值是（

）A． B． C．1 D．4【答案】B【分析】利用向量的坐標運算求解即可.【詳解】因為向量，，且所以，所以，解得：，所以.故選：B.知識點04：平面向量共線的坐標表示設,,其中,則當且僅當存在唯一實數(shù),使得；用坐標表示,可寫為,即：消去得到：.這就是說,向量()共線的充要條件是.【即學即練4】（2023上·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，，，若，則（

）A．3 B．-1 C．2 D．4【答案】A【分析】運用共線向量的坐標表達式即得.【詳解】由，，又由，可得：，解得.故選：A.題型01平面向量的正交分解及坐標表示【典例1】（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知和是兩個正交單位向量，，且，則（

）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4【典例2】（2023·全國·高三專題練習）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則.

【典例3】（2023·高一課時練習）設，是x，y軸正方向上的單位向量，，，則向量，的夾角為．【變式1】（2023·全國·高一課堂例題）設為一組標準正交基，已知，，．若，求在基下的坐標．【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，設為一組標準正交基，用這組標準正交基分別表示向量，，，，并求出它們的坐標．

【變式3】（2022·山東·高三專題練習）在平面直角坐標系中，點，將向量繞點按逆時針方向旋轉后得到向量，則點的坐標是（

）A． B． C． D．題型02平面向量的坐標運算【典例1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）若向量，，則．【典例2】（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習）若，求【變式1】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學?？茧A段練習）平行四邊形中，，，則的坐標為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023上·北京昌平·高三昌平一中?？计谥校┮阎蛄浚瑵M足，，則.題型03由向量線性運算結果求參數(shù)【典例1】（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量滿足，，，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．【典例2】（2023下·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若E為AF的中點，，則（

）

A． B． C． D．【變式1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點M滿足，則（

）A．1 B． C． D．【變式2】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中學校聯(lián)考期末）過，的直線與x軸交于點P，設，則題型04向量坐標運算解決幾何問題【典例1】（2022下·天津南開·高一南開中學?？计谀┤鐖D，在矩形中，為上一點，，若，則的值為（

）A． B． C． D．1【典例2】（多選）（2023下·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，延長邊至點，使得.動點從點出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到點，若，則（

）

A．滿足的點有且只有一個B．滿足的點有兩個C．存在最小值D．不存在最大值【變式1】（多選）（2022·江蘇·高三專題練習）如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點E，使得DE=CD，動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周后回到點A，若，則下列判斷不正確的是（

）A．滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點B．滿足λ+μ=1的點P有且只有一個C．滿足λ+μ=3的點P有且只有一個D．λ+μ=的的點P有且只有一個【變式2】（2022下·湖北十堰·高一鄖陽中學?？茧A段練習）某公園有三個警衛(wèi)室A?B?C，互相之間均有直道相連，千米，千米，千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時保安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A，甲的速度為2千米/小時，乙的速度為1千米/小時.(1)保安甲從C出發(fā)1.5小時后達點D，若，求實數(shù)x?y的值；(2)若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在公園內(nèi)的最大通話距離不超過2千米，試問有多長時間兩人不能通話？題型05線段的定比分點【典例1】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）已知點，向量，，點是線段的三等分點，則點的坐標是（

）A． B． C．或 D．或【典例2】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考階段練習）已知，，點在線段的延長線上，且，則的坐標是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022·全國·高三專題練習）已知，，點P在線段AB的延長線上，且，則點P的坐標為.【變式2】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為（

）A． B． C． D．或題型06由向量的坐標求模【典例1】（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中?？茧A段練習）已知向量，，則（

）.A． B．C． D．【典例2】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，且，則實數(shù)．【典例3】（2022上·上海黃浦·高三格致中學?？计谥校┰诘妊菪沃?，，，，是腰上的動點，則的最小值為.【變式1】（2022下·山東東營·高一統(tǒng)考期中）已知向量，，則（

）A． B．2 C． D．【變式2】（2023上·陜西榆林·高三校考階段練習）已知平面向量，則.【變式3】（2022上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為.題型07由向量坐標線性運算解決最值和范圍問題【典例1】（2019·全國·高三校聯(lián)考階段練習）在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2022下·河南安陽·高一安陽縣第一高級中學?？茧A段練習）若為坐標原點，，，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．6【典例3】（2022上·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）在中，，在所在平面內(nèi)的一點滿足，當時，的值為取得最小值時，的值為.【變式1】（2022下·山東·高一山東師范大學附中?？计谥校┰诰匦蜛BCD中，，，動點P在以點A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．2【變式2】（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）在中，，，（，），若對任意的實數(shù)，恒成立，則邊的最小值是.題型08平面向量共線的判定【典例1】（2022下·北京·高一清華附中朝陽學校?？茧A段練習）已知向量，，那么與共線的一個向量是（

）A．（6，4） B．（4，6） C．（0，4） D．（1，6）【典例2】（多選）（2021上·遼寧鞍山·高一鞍山一中?？计谀┮阎獮樽鴺嗽c，，，則（

）A．與同方向的單位向量為B．若，則點的坐標為C．若，則D．若，則四邊形為平行四邊形【變式1】（多選）（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）下列兩個向量，不能作為平面中一組基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）已知、、三點的坐標分別為、、，判斷向量與是否共線．題型09由向量共線求參數(shù)【典例1】（2023·新疆·高三學業(yè)考試）已知向量，，若與共線，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知，，，，若存在非零實數(shù)使得，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【變式1】（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量.若，則實數(shù)的值為.【變式2】（2023上·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）已知向量，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．1 C． D．2題型10由坐標解決三點共線問題【典例1】（多選）（2023下·江西贛州·高一?？茧A段練習）向量，，，若A，B，C三點共線，則k的值可能為（

）A．2 B．－2 C．11 D．－11【典例2】（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）已知向量，.(1)若與共線，求的值；(2)若，，且三點共線，求的值.【變式1】（2023下·湖南·高一校聯(lián)考階段練習）已知向量，，，若、、三點共線，則.【變式2】（2023上·天津河北·高三統(tǒng)考期中）設，，，其中，，為坐標原點，若，，三點共線，則，的最小值為.題型11由坐標解決線段平行和長度問題【典例1】（2022·四川綿陽·綿陽中學實驗學校校考模擬預測）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【典例2】（2022·高二課時練習）在中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担笞C：，且．【變式1】（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是.【變式2】（2021·高一課時練習）如圖所示，已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交點P的坐標.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023·高一課時練習）已知，點，則點的坐標為（

）A． B．C． D．2．（2023下·河南商丘·高一?？茧A段練習）已知向量，則（

）A． B． C． D．3．（2023上·河南省直轄縣級單位·高二校考開學考試）已知點，線段的中點坐標為，向量，若向量，則（

）A．2 B．1 C． D．4．（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習）已知，則與同向的單位向量的坐標是（

）A． B． C． D．5．（2021下·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知，點滿足且，則等于（

）A． B．1 C． D．6．（2023上·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，若，則=（

）A．20 B．15 C．10 D．57．（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知向量，，，若與共線，則（

）A．2或 B．2或1 C．或0 D．0或28．（2023下·高一課時練習）如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，動點P在邊BC上，且滿足（m，n均為正數(shù)），則的最小值為（

）

A．1 B． C． D．二、多選題9．（2020上·湖南常德·高二常德市淮陽中學校考期中）已知向量，，若，則（

）A．或 B．或C．或 D．或10．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一校考期中）如圖，在正方形ABCD中，Q為BC上一點，AQ交BD于E，且E，F(xiàn)為BD的兩個三等分點，則（

）

A． B．C． D．

三、填空題11．（2023上·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知平面向量，滿足，，，則向量，夾角的余弦值為．12．（2022·高一課時練習）在平面直角坐標系中，向量，的方向如圖所示，且，，則，