2024遼寧中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練微專題構(gòu)造全等的四大方法方法一倍長(zhǎng)中線法方法解讀(1)倍長(zhǎng)中線在△ABC中，AD是BC邊的中線．輔助線作法：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使AD＝DE，連接BE.結(jié)論：△ACD≌①________．(2)倍長(zhǎng)類中線在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，連接DE.輔助線作法：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使DF＝DE，連接CF.結(jié)論：△BDE≌②________．1.如圖．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，連接AM.求證：DE＝2AM.第1題圖 方法二截長(zhǎng)補(bǔ)短法方法解讀當(dāng)題目中出現(xiàn)線段的倍差關(guān)系時(shí)，一般考慮用截長(zhǎng)補(bǔ)短法．如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＝2∠B.(1)截長(zhǎng)法輔助線作法：在AB上截取AF＝AC，連接DF.結(jié)論：(1)△AFD≌③______；(2)線段AB，AC，CD的數(shù)量關(guān)系為④______________．(2)補(bǔ)短法輔助線作法：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使CE＝CD，連接DE.結(jié)論：(1)△AED≌⑤______；線段AB，AC，CD的數(shù)量關(guān)系為⑥______________．2.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O.猜想線段BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．第2題圖方法三作平行線法方法解讀如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)F，且DF＝EF.【方法一】輔助線作法：過(guò)點(diǎn)D作DH∥AC，交BC于點(diǎn)H.結(jié)論：△CEF≌⑦_(dá)_______．【方法二】輔助線作法：過(guò)點(diǎn)E作EI平行于BD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)I.結(jié)論：△BDF≌⑧____________．3.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交AB于點(diǎn)G，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.請(qǐng)寫(xiě)出線段BG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明．第3題圖方法四旋轉(zhuǎn)法方法解讀有共頂點(diǎn)，等線段時(shí)考慮用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等．(1)等腰三角形在△ABC中，AB＝BC，共頂點(diǎn)B，點(diǎn)D為△ACB內(nèi)一點(diǎn)．輔助線作法：將△ABD旋轉(zhuǎn)至AB與BC重合，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC，連接DD′，CD.結(jié)論：△ABD≌⑨________；△DBD′為eq\o(○,\s\up1(10))________；∠ABC＝?________．(2)正方形在正方形ABCD中，CB＝CD，共頂點(diǎn)C，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)．輔助線作法：將△BCE旋轉(zhuǎn)至BC與DC重合，旋轉(zhuǎn)角為∠BCD，連接BD，EF.結(jié)論：△BCE≌?________；△CEF為?__________；∠BCD＝?________．4.(1)如圖①，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，連接AE、AF，且∠EAF＝45°，連接EF，猜想線段EF，BE，DF應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，連接AD、AE，且∠DAE＝45°，猜想線段BD，DE，EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；第4題圖參考答案【方法解讀】①△EBD；②△CDF；③△ACD；④AB＝AC＋CD；⑤△ABD；⑥AB＝AC＋CD；⑦△HDF；⑧△IEF；⑨△CBD＇；⑩等腰三角形；?∠DBD′；?△DCF；?等腰直角三角形；?∠ECF.1.證明：如解圖，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)N，使MN＝AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM＝BM，在△AMC和△NMB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝NM,∠AMC＝∠NMB,CM＝BM))，∴△AMC≌△NMB，∴AC＝NB，∠C＝∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠EAD＋∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD，∵AD＝AC，∴BN＝AD，在△EAD和△ABN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝BA,∠EAD＝∠ABN,AD＝BN))，∴△EAD≌△ABN，∴DE＝AN＝2AM.第1題解圖2.解：BE＋CD＝BC，證明：如解圖，在BC上取點(diǎn)F，使得CF＝CD，連接OF，∵∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝180°－eq\f(1,2)×(180°－60°)＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝180°－∠BOC＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠FCO，在△COD和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CF,∠DCO＝∠FCO,CO＝CO))，∴△COD≌△COF，∴CD＝CF，∠COF＝∠COD，又∵∠BOC＝120°，∴∠BOF＝60°＝∠BOE，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，∴在△BOE和△BOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBO＝∠FBO,BO＝BO,∠BOE＝∠BOF))，∴△BOE≌△BOF，∴BE＝BF，∵BF＋FC＝BC，∴BE＋CD＝BC.第2題解圖【一題多解】解：BE＋CD＝BC，證明：如解圖，在BC上取點(diǎn)F，使得BF＝BE，連接OF，∵∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝180°－eq\f(1,2)×(180°－60°)＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝180°－∠BOC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，∴在△BOE和△BOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝BF,∠EBO＝∠FBO,BO＝BO))，∴△BOE≌△BOF，∴BE＝BF，∠BOF＝∠BOE＝60°.又∵∠BOC＝120°，∴∠COF＝60°＝∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠FCO，在△COD和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCO＝∠FCO,CO＝CO,∠COD＝∠COF))，∴△COD≌△COF，∴CD＝CF，∵BF＋FC＝BC，∴BE＋CD＝BC.3.解：BG＝CF；證明如下：如解圖①，過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠MCE,BE＝EC,∠BEG＝∠MEC))，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠BAD＝∠FGA，∠DAC＝∠F，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF.第3題解圖①【一題多解】解：BG＝CF；證明如下：如解圖②，過(guò)點(diǎn)B作BM∥CF交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.∵BM∥CF，∴∠C＝∠MBC，∠M＝∠F，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝EC，在△BEM和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠MBE＝∠C,BE＝CE,∠BEM＝∠CEF))，∴△BEM≌△CEF(ASA)，∴BM＝CF，∵AD∥EF，∴∠DAC＝∠F，∠BGF＝∠BAD，∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC，∴∠BGM＝∠DAC，∴∠BGM＝∠M，∴BM＝BG，∴BG＝CF.第3題解圖②4.解：(1)BE＋DF＝EF；理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，∵如解圖①，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，∴AG＝AF,BG＝DF，∠GAB＝∠FAD，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABC＝90°＋90°＝180°，∴點(diǎn)G、B、E三點(diǎn)共線，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠GAE＝45°，在△AEG和△AEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝AF,∠GAE＝∠FAE,AE＝AE))，∴△AEG≌△AEF，∴GE＝EF，∵GE＝BE＋BG＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF；第4題解圖①(2)BD2＋EC2＝DE2，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，如解圖②，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，連接EG,∴AG＝AD,CG＝BD，∠GAC＝∠DAB，∠ACG＝∠ABC＝45°，∴∠ACG＋∠ACB＝45°＋45°＝90°，∴在Rt△E