2023學年成都市蓉城高二數(shù)學（下）期末考試卷

考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．2 B．3 C．10 D．42．若，則（

）A． B．1 C．64 D．03．已知在四面體中，為的中點，若，則（

）A．3 B． C． D．4．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且成等差數(shù)列，則（

）A．3 B．6 C．9 D．185．若函數(shù)在點處的切線的斜率為1，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．某市人民政府新招聘進5名應(yīng)屆大學畢業(yè)生，分配給教育、衛(wèi)生、醫(yī)療、文旅四個部門，每人只去一個部門，若教育部門必須安排2人，其余部門各安排1人，則不同的方案數(shù)為（

）A．52 B．60 C．72 D．3607．南宋數(shù)學家楊輝為我國古代數(shù)學研究作出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》中，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列中第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前四項分別為:，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C．數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 D．數(shù)列有最大項8．已知直線與雙曲線分別相交于兩個不同的點，是雙曲線上不同于的一點，設(shè)直線的斜率分別為，則當取得最小值時，雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．等差數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．當時，的最小值為1610．對于三次函數(shù)，現(xiàn)給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)有三個零點B．函數(shù)有兩個極值點C．點是曲線的對稱中心D．方程有三個不同的實數(shù)根11．已知數(shù)列的通項公式為，前項積為，則下列說法正確的是（

）A．在數(shù)列中，是最大項 B．在數(shù)列中，是最小項C．數(shù)列單調(diào)遞減 D．使取得最小值的為9三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在的展開式中，常數(shù)項為13．已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項和，則14．已知關(guān)于的不等式(其中)的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且滿足，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.16．某家會員足夠多的知名水果店根據(jù)人的年齡段辦理會員卡，“年齡在20歲到34歲之間的會員”為1號會員，占比20%，“年齡在35歲到59歲之間的會員”為2號會員，占比，“年齡在60歲到80歲之間的會員”為3號會員，占比，現(xiàn)對會員進行水果質(zhì)量滿意度調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果得知，1號會員對水果質(zhì)量滿意的概率為號會員對水果質(zhì)量滿意的概率為號會員對水果質(zhì)量滿意的概率為.(1)隨機選取1名會員，求其對水果質(zhì)量滿意的概率;(2)從會員中隨機抽取2人，記抽取的2人中，對水果質(zhì)量滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.17．如圖，在斜三棱柱中，分別是的中點.(1)證明:平面;(2)若，且，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知點為橢圓上任一點，橢圓的短軸長為，離心率為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若點是拋物線的準線上的任意一點，以為直徑的圓過原點，試判斷是否為定值?若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由.19．已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)求證:1．A【分析】先根據(jù)等差數(shù)列求和公式化簡即得.【詳解】是等差數(shù)列，可得,所以.故選：A.2．D【分析】利用賦值法，將代入可求得結(jié)果.【詳解】令，則，所以，故選：D3．B【分析】根據(jù)空間向量的基本定理與應(yīng)用即可求解.【詳解】，又，所以，所以.故選：B4．C【分析】先根據(jù)等比數(shù)列部分項成等差得出公比，再結(jié)合等比數(shù)列通項求值即可.【詳解】若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以公比，且成等差數(shù)列，可得,即得可得，.故選：C.5．C【分析】根據(jù)題意，，結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】根據(jù)題意，，則，，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立,所以的最小值為.故選：C6．B【分析】先分人數(shù)分組，再結(jié)合要求應(yīng)用排列分部門即可.【詳解】5名應(yīng)屆大學畢業(yè)生，分配給教育、衛(wèi)生、醫(yī)療、文旅四個部門，每人只去一個部門，人數(shù)分配為,可得,若教育部門必須安排2人，其余部門各安排1人，則可得故選：B.7．D【分析】根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項公式，從而可得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則，A、C不符合題意；再利用累加法計算可判斷B；借助基本不等式判斷D.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則；由二階等差數(shù)列的定義可知，所以數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，即，所以，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，則，A、C不符合題意；所以，將所有上式累加可得，所以，即該數(shù)列的第11項為，B不符合題意；由于，則，當且僅當，即時，等號成立，但由于，即數(shù)列有最小值為，而當時，單調(diào)遞增，所以無最大值，D符合題意.故選：D.8．C【分析】聯(lián)立方程求出的坐標，通過運算得到，代入，令，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值，從而得的值，即可求解.【詳解】將代入雙曲線方程中，整理得，得，設(shè)，則，，所以，所以，令，設(shè)，則，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，則當時，函數(shù)取得最小值，此時，所以，解得，所以.故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：直線方程與曲線方程聯(lián)立后通過運算得到，從而令，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究最值.9．ABD【分析】對于A，由等差數(shù)列性質(zhì)即可判斷；對于B，由公差的定義即可判斷；對于C，作差結(jié)合公差小于0即可判斷；對于D，只需注意到，由此即可判斷.【詳解】對于A，由題意，故A正確；對于B，，其中為等差數(shù)列的公差，即，故B正確；對于C，，即，故C錯誤；對于D，由題意，從而當，，且，故D正確.故選：ABD.10．BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，根據(jù)零點的定義與存在性定理即可判斷A；根據(jù)極值點的定義即可判斷B；根據(jù)拐點的定義即可判斷C；根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可判斷D.【詳解】由得，令或，所以在單調(diào)遞減，在、單調(diào)遞增.A：因為，所以在存在1個零點，故在R上有2個零點，故A錯誤；B：的極大值點為，極小值點為，所以有2個極值點，故B正確；C：令，得，，所以是的拐點，進而是的對稱中心，故C正確；D：因為的極大值為，極小值為，作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，所以方程有3個不同的實根，故D正確.故選：BCD11．ABD【分析】判斷數(shù)列的單調(diào)性，由此求得最大項與最小項，進而判斷A,B選項，再根據(jù)項與1的大小關(guān)系判斷的單調(diào)性及最值判斷C，D選項即可.【詳解】，∴當時隨著的增大越來越小且小于，當時隨著的增大越來越小且大于，則前項中最大項為，最小項為，故A，B選項正確；當時，當時，,所以數(shù)列不是單調(diào)遞減，C選項錯誤；前n項積取得最小值時為9，故D選項正確.故選：ABD.12．20【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算即可求解.【詳解】二項式展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：2013．77【分析】根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列求和公式分組求和計算即可.【詳解】因為當n為奇數(shù)時為等差數(shù)列，公差為1，,;當n為偶數(shù)時為等比數(shù)列，公比為2，,;所以.故答案為：77.14．【分析】不等式可轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析當不等式解集中恰有兩個整數(shù)時a應(yīng)滿足的條件，列不等式組求解即可.【詳解】不等式可轉(zhuǎn)化為，設(shè)（），則，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，且當時，，作出圖象，如圖所示，

令，，則直線恒過定點.要使恰有兩個整數(shù)解，由圖可知不合題意，所以，兩個整數(shù)解為，則，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析當不等式解集中恰有兩個整數(shù)時滿足，即為所求.15．(1)(2)【分析】（1）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，求出首項和公差，由此能求出.（2）利用裂項相消法求出數(shù)列前n項和.【詳解】（1）等差數(shù)列前項和為，且滿足，成等比數(shù)列，依題意得，化簡得，解得，.（2），則.16．(1)(2)分布列見解析；【分析】（1）由題意，根據(jù)全概率公式計算即可求解；（2）由題意知，利用二項分布求出對應(yīng)的概率，列出的分布列，求出數(shù)學期望即可.【詳解】（1）設(shè)事件：隨機選取1名會員，其對水果質(zhì)量滿意.則；（2）的可能取值為，則，，，，所以的分布列為012所以.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點E，連接OE，，可得四邊形為平行四邊形，則有，利用線面平行的判定定理可證得平面；（2）可證得平面ABC，以O(shè)為原點，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成的角正弦值.【詳解】（1）連接交于點E，連接OE，，∵O，E分別是AB，的中點，D為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，則．∵平面，平面，∴平面．（2）連接OC，∵，,∴為正三角形，∴，∵，且都在面，∴平面ABC，而面，故，由，易知△ABC是等腰直角三角形，∴，以O(shè)為原點，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，，，，由，可得，且，，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角正弦值為．18．(1)(2)為定值，且定值為2．【分析】（1）將橢圓方程化為標準方程，然后利用橢圓的焦點坐標求出的值，代入即可求出橢圓的標準方程；（2）設(shè)，，因為以為直徑的圓過原點，所以，得到，再利用兩點間的距離公式代入化簡計算即可.【詳解】（1）因為橢圓的短軸長為，離心率為.，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）由（1）知拋物線的標準方程為，其準線方程為：，設(shè)，，因為以為直徑的圓過原點，所以，所以，所以，即，所以，又因為，，所以，所以為定值，且定值為2．【點睛】方法點睛：兩點間距離公式中點的坐標應(yīng)用橢圓方程轉(zhuǎn)化為一個未知量即可得出定值.19．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可求解；（2）構(gòu)造函數(shù)（），將原不等式轉(zhuǎn)化為，即，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性可得在上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出即可；（3）根據(jù)不等式、，對不等式進行放縮，即可證明.【詳解】（1）當時，，則，所以，所以曲線在點處的切線