數(shù)學(xué)——答題思路

數(shù)學(xué)解題思想是數(shù)學(xué)解題的靈魂，知曉數(shù)學(xué)解題思想，你就擁有了破題利器。解題思想

01函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想。所謂函數(shù)的思想是指用運(yùn)動變化的觀點去分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析、解決相關(guān)的問題。而所謂方程的思想是分析數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，去構(gòu)建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問題。02數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問題;而某些幾何問題也往往可以通過數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)的方法去解決。因此數(shù)形結(jié)合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。常見解題類型：①“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性。②“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征。③“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。03分類討論思想分類討論的思想之所以重要，原因一是因為它的邏輯性較強(qiáng)，原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣，原因三是因為它可培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。解決分類討論問題的關(guān)鍵是化整為零，在局部討論降低難度。常見解題類型：類型1：由數(shù)學(xué)概念引起的的討論，如實數(shù)、有理數(shù)、絕對值、點(直線、圓)與圓的位置關(guān)系等概念的分類討論;類型2：由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數(shù)還是負(fù)數(shù)的問題;類型3：由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應(yīng)用引起的討論;類型4：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關(guān)問題引起的討論。類型5：由某些字母系數(shù)對方程的影響造成的分類討論，如二次函數(shù)中字母系數(shù)對圖象的影響，二次項系數(shù)對圖象開口方向的影響，一次項系數(shù)對頂點坐標(biāo)的影響，常數(shù)項對截距的影響等。分類討論思想是對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在于克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。04轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思想之一，是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心。數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，所以以上三種思想也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體呈現(xiàn)。轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過程中前因和后果是充分的也是必要的;不等價轉(zhuǎn)化就只有一種情況，因此結(jié)論要注意檢驗、調(diào)整和補(bǔ)充。轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體的和直觀的問題;將復(fù)雜的轉(zhuǎn)為簡單的問題;將一般的轉(zhuǎn)為特殊的問題;將實際的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)的問題等等使問題易于解決。常見的轉(zhuǎn)化方法：①直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題;②換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題;③數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑;④等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到化歸的目的;⑤特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，使結(jié)論適合原問題;⑥構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題;⑦坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何問題也是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑。05特殊與一般思想

用這種思想解選擇題有時特別有效，這是因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊情況下也必然成立，根據(jù)這一點，同學(xué)們可以直接確定選擇題中的正確選項。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣有用。06極限思想

極限思想解決問題的一般步驟為：一、對于所求的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量;二、確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量;三、構(gòu)造函數(shù)(數(shù)列)并利用極限計算法則得出結(jié)果或利用圖形的極限位置直接計算結(jié)果。各類題型解題技巧

選擇填空題選擇題十大速解方法：排除法、增加條件法、以小見大法、極限法、關(guān)鍵點法、對稱法、小結(jié)論法、歸納法、感覺法、分析選項法；填空題四大速解方法：直接法、特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法。解答題專題一、三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)問題1.解題路線圖①不同角化同角②降冪擴(kuò)角③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④結(jié)合性質(zhì)求解。2.構(gòu)建答題模板①化簡：三角函數(shù)式的化簡，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化為“一角、一次、一函數(shù)”的形式。②整體代換：將ωx＋φ看作一個整體，利用y＝sinx，y＝cosx的性質(zhì)確定條件。③求解：利用ωx＋φ的范圍求條件解得函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性質(zhì)，寫出結(jié)果。④反思：反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點，對結(jié)果進(jìn)行估算，檢查規(guī)范性。專題二、解三角形問題1.解題路線圖(1)①化簡變形；②用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；③變形證明。(2)①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范圍；③確定角的取值范圍。2.構(gòu)建答題模板①定條件：即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)注出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向。②定工具：即根據(jù)條件和所求，合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化。③求結(jié)果。④再反思：在實施邊角互化的時候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向，一般有兩種思路：一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系；二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形。專題三、數(shù)列的通項、求和問題1.解題路線圖①先求某一項，或者找到數(shù)列的關(guān)系式。②求通項公式。③求數(shù)列和通式。2.構(gòu)建答題模板①找遞推：根據(jù)已知條件確定數(shù)列相鄰兩項之間的關(guān)系，即找數(shù)列的遞推公式。②求通項：根據(jù)數(shù)列遞推公式轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項公式，或利用累加法或累乘法求通項公式。③定方法：根據(jù)數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法（如公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法等）。④寫步驟：規(guī)范寫出求和步驟。⑤再反思：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范。專題四、利用空間向量求角問題1.解題路線圖①建立坐標(biāo)系，并用坐標(biāo)來表示向量。②空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算。③用向量工具求空間的角和距離。2.構(gòu)建答題模板①找垂直：找出(或作出)具有公共交點的三條兩兩垂直的直線。②寫坐標(biāo)：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出特征點坐標(biāo)。③求向量：求直線的方向向量或平面的法向量。④求夾角：計算向量的夾角。⑤得結(jié)論：得到所求兩個平面所成的角或直線和平面所成的角。專題五、圓錐曲線中的范圍問題1.解題路線圖①設(shè)方程。②解系數(shù)。③得結(jié)論。2.構(gòu)建答題模板①提關(guān)系：從題設(shè)條件中提取不等關(guān)系式。②找函數(shù)：用一個變量表示目標(biāo)變量，代入不等關(guān)系式。③得范圍：通過求解含目標(biāo)變量的不等式，得所求參數(shù)的范圍。④再回顧：注意目標(biāo)變量的范圍所受題中其他因素的制約。專題六、解析幾何中的探索性問題1.解題路線圖①一般先假設(shè)這種情況成立（點存在、直線存在、位置關(guān)系存在等）②將上面的假設(shè)代入已知條件求解。③得出結(jié)論。2.構(gòu)建答題模板①先假定：假設(shè)結(jié)論成立。②再推理：以假設(shè)結(jié)論成立為條件，進(jìn)行推理求解。③下結(jié)論：若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立則肯。

定假設(shè)；若推出矛盾則否定假設(shè)。④再回顧：查看關(guān)鍵點，易錯點（特殊情況、隱含條件等），審視解題規(guī)范性。專題七、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.解題路線圖（1）①標(biāo)記事件；②對事件分解；③計算概率。（2）①確定ξ取值；②計算概率；③得分布列；④求數(shù)學(xué)期望。2.構(gòu)建答題模板①定元：根據(jù)已知條件確定離散型隨機(jī)變量的取值。②定性：明確每個隨機(jī)變量取值所對應(yīng)的事件。③定型：確定事件的概率模型和計算公式。④計算：計算隨機(jī)變量取每一個值的概率。⑤列表：列出分布列。⑥求解：根據(jù)均值、方差公式求解其值。專題八、函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題1.解題路線圖（1）①先對函數(shù)求導(dǎo)；②計算出某一點的斜率；③得出切線方程。（2）①先對函數(shù)求導(dǎo)；②談?wù)搶?dǎo)數(shù)的正負(fù)性；③列表觀察原函數(shù)值；④得