2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1若z=-l+6i，則—=()

ZZ—1

A.一1+后B.7-亞C,[D.四

3333

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓

他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正

確率如下圖：

100%

95%

90%

樹85%

曲80%*講座前

田75%?講座后

70%..............*

65%?……*.........

60%t......??冰.....................................................

ZXV___1111111111

U12345678910

居民編號

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.設(shè)全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8={刀|》2一4%+3=0},貝電(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為

()

A.8B.12C.16D.20

5.函數(shù)y=(3*—3-')cosx在區(qū)間一g：的圖象大致為()

6.當(dāng)x=l時，函數(shù)/(x)=alnx+2取得最大值一2,則/'(2)=()

X

11

A.—1B.---C.-D.1

22

7.在長方體ABCD-ABCQ中，已知片。與平面ABC。和平面根乃乃所成的角均為30。，貝!]()

A.AB=2ADB.48與平面所成的角為30°

C.AC=CB}D.BQ與平面84G。所成的角為45°

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB是

以。為圓心，04為半徑的圓弧，。是的A5中點，。在AB上，C￡＞J_A8.“會圓術(shù)”給出AB的弧長的

rn2

近似值S的計算公式：S=AB+士當(dāng)。4=2,NAOB=60。時，s=（)

OA

11-3>/311-473「9-3上c9-46

-----------D.-----------C.---------D.---------

2222

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為

%」和%.若個上=2,貝二（)

、乙V乙

A.75B.2夜c.VioD.

4

10.橢圓。：「+與=13＞人＞0）的左頂點為A,點P,。均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若直線AP,AQ

ab

的斜率之積為則C的離心率為（）

4

AV3BV2c1D1

2223

11.設(shè)函數(shù)/O）=sin8x+/在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則口的取值范圍是（)

I37

苣13Af!28-

苣5w(11If

A.B._36JC.D.U56j

?31,1

12.已知。=一,/?==cos一,C二=4sin—,貝！J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cc.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量。和〃的夾角的余弦值為g,且忖=邛|=3,則（2。+。”=

14.若雙曲線一二=i(m>0)的漸近線與圓/+V——+3=0相切，則加=.

m"

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

AT

16.已知二ABC中，點力在邊BC上，ZADB=120°,A￡>=2,CD=2BD.當(dāng)乙上取得最小值時，

AB

BD=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.記S“為數(shù)歹ij｛凡｝的前〃項和.已知一+〃=2%+1.

n

(1)證明：｛%｝等差數(shù)列；

(2)若%，%，%成等比數(shù)列，求S“的最小值.

18.在四棱錐P—ABCD中，尸￡>_1底面43。。,。?！?民4。=。。=。8=1,43=2,。/3=6.

(1)證明：BDLPA-,

(2)求PD與平面P4B所成的角的正弦值.

19.甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得。分，沒有平

局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,

0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

20.設(shè)拋物線C:：/=2px(p〉0)的焦點為F,點。(〃,())，過尸的直線交C于M,N兩點.當(dāng)直線MZ)

垂直于x軸時，|“目=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,A3的傾斜角分別為a,￡.當(dāng)a-(3

取得最大值時，求直線的方程.

21.已知函數(shù)/（x）='―-\nx+x-a.

（1）若/（刈20,求a取值范圍；

⑵證明：若“X）有兩個零點王,馬，則環(huán)玉々<1.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

［2+t

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為《6（t為參數(shù)），曲線。2的參數(shù)方程為

［y=^

2+s

x---------

<6（s為參數(shù)）.

（1）寫出的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G極坐標(biāo)方程為2cos6>—sin6=0,

求G與G交點的直角坐標(biāo)，及C3與G交點的直角坐標(biāo).

［選修4-5：不等式選講］

23.已知a,b,c均為正數(shù)，且/+〃+4/=3,證明：

（1）。+〃+2。<3；

（2）若h=2c,則

答案

選擇

1-5CBDBA6-12BDBCACA

填空

V3

6

35,

yf3—1—1+V3

解答題

2

17、(1)因為——-+n=2an+1,BP2Sn+n=2nan+n?

當(dāng)“22時，2S._]+(n-l)-②

①一②得，2s“+“--2s—(“-1)=2"a“+〃-2(“--1)

即2a“+2”—1=一2(〃—+1

即2(〃-1)?！耙?(〃-1)4“_|=2(〃-1),所以a“-a,i=l,且〃eN*

所以｛a,,｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)解：由(1)可得％=。1+3a7=fl]+6。9=4+8

又a4a7為成等比數(shù)列，所以％2=%七9

即(q+6)2=(q+3>(%+8),解得％=_12

._*g”°.cn(n-l)125\(25丫625

所ec以ra”—“-13,所以s“=—12nH----------n2~n_n

"222212J8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時.(S,)*=-78.

18、(1)證明：在四邊形ABC。中，作DELAB于E，CE_LAB于尸

因為CD//AB,AD=CD=CB—1,AB=2

所以四邊形ABC。為等腰梯形

所以4￡=8/=’

2

故OE=3，BD=^DE2+BE2=V3

所以A￡>2+3￡)2

所以AD_L8O

因為9_L平面ABC。，8。u平面ABC。

所以PD1.BD

又PDcAD=D

所以8。，平面PAD

又因PAu平面PAD

所以即J_B4；

(2)如圖，以點力為原點建立空間直角坐標(biāo)系

BD=6

則A(1,0,0),8(0,"0),P(0,0,6)

則AP=(-1,0,⑹,6P=,,-瓜叫DP=(0,0,⑹

設(shè)平面Q48的法向量〃=(x,y,z)

n-AP=-x+也z=0

則有｛可取〃二(G/,1)

n-BP=->/3y+Gz=0

n-DP75

則cos(〃,￡)P)=

U\DP\5

所以PO與平面248所成角的正弦值為正.

19、(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.()4=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為010,20,30,所以

X=0)=0.5X0.4X0.8=0.16

X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44

P(X=20)=0.5x0.6x().8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34

產(chǎn)(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0X0.16+10X().44+20X().34+3()X0.()6=13.

20、（1）拋物線的準(zhǔn)線為x=—",當(dāng)"O與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為〃

21、此時阿尸|="+5=3,所以〃=2

所以拋物線C的方程為V=4x

(2)設(shè)MJy,N與，必,A?，%,8

—,y4，直線MN:x=my+l

x=mv+1、

由《o'可得y2_4my_4=0,A>0,yxy2=-4

y=4x

k=X—%=4=%--=4

由斜率公式可得抽一片一正一,+必，‘"一必_,一為+乂

4444

mx,—2個，4（X1—2）

直線MD:x=」——y+2，代入拋物線方程可得J?一_」__L.ys=0

y>X

八〉°，乂%=一8，所以為=2%，同理可得”=2乂

44=%,

所以&8

%+%2(,+%)2

又因為直線MN、AB的傾斜角分別為a,力

tana

所以原8=tanB==

若要使￡一萬最大，則尸

Qrtana_tan__:_1.1=及

設(shè)“MN=2頷8=2%>0,則1+tanatanp1+2k2-+2koM4

%\k

I6

當(dāng)且僅當(dāng)一=2%即％=衛(wèi)時，等號成立

k2

所以當(dāng)夕-尸最大時以B=Y2

AB2

設(shè)直線AB:x=y[2y+n

代入拋物線方程可得V-46y-4〃=0

△〉0,%”=-4〃=今比=T6

所以〃=4

所以直線AB:x=VIy+4.

21、(1)f(x)的定義域為(0,+8)

令/(幻=0,得x=l

當(dāng)xe(0,l)"'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xG(l,+oo),/'(X)>0,/(x)單調(diào)遞增/(%)>/(I)=e+1-。,

若f(x)20,則e+1—。20,即aWe+1

所以。的取值范圍為(—8,e+1]

(2)由題知,/(x)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設(shè)玉<1<%2

1

要證玉々<1,即證西〈——

X2

1(1

因為X，—e(0,l),即證/?(%)>——

X2(冗2.

(]、

因為/(x)=/(w),即證—

\X27

v

e-1

即證----Inx+x-xe*-Inx——>0,XG(1,+OO)

XX

即證----W—2Inx——(x>0

XX

下面證明1>1時：--xer>0,lnx--|fx1

<0

XX

4i

WI

1--ex-ex

X

X—1r

——e->0n

X

所以p(x)>0(l)=e,而/<e

所以J—e>0,所以g'OO

X

所以g(x)在(1,+8)單調(diào)遞增

即g(x)>g⑴=0,所以^-一m>0

甕])2

<0

2f

所以〃。)在(l,y)單調(diào)遞減

1

即〃(x)</z(l)=0,所以111工一31x<0

x

…e”上-1

綜上，----xc'-2InX——Ix—>0,所以演Z<1?

xX

選考題

22、（1）因為％=衛(wèi)y=4t所以x=3W即C的普