第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.2.2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)第二課時(shí)二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象和性質(zhì)21.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)y=a(x+h)2的圖象和性質(zhì)1.(教材變式·P16T4)(2024安徽合肥市五十中學(xué)東校期中)將

拋物線y=2(x+3)2向右平移2個(gè)單位后,得到的拋物線的表達(dá)

式是

(

)A.y=2(x+5)2B.y=2(x+3)2+2C.y=2(x+1)2D.y=2(x+1)2-2C解析根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律,將拋物線y=2(x+3)2向

右平移2個(gè)單位后,得到的拋物線的表達(dá)式是y=2(x+3-2)2,即y

=2(x+1)2,故選C.2.(2024安徽蕪湖二十九中期中)若點(diǎn)A(-1,y1),B(2,y2)在拋物

線y=-(x+2)2上,則y1,y2的大小關(guān)系為

(

)A.y1>y2B.y1≥y2C.y1<y2D.y1≤y2A解析當(dāng)x=-1時(shí),y1=-(-1+2)2=-1;當(dāng)x=2時(shí),y2=-(2+2)2=-4,∴y1>

y2.3.(2024安徽合肥廬江月考)對(duì)于二次函數(shù)y=5(x+3)2的圖象,

下列說(shuō)法不正確的是

(

)A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸是直線x=-3C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0)D.當(dāng)x<-3時(shí),y隨x的增大而增大D解析因?yàn)槎魏瘮?shù)的表達(dá)式為y=5(x+3)2,a=5>0,所以拋物

線開(kāi)口向上;由x+3=0,得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3;拋物線

的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),所以A,B,C正確.因?yàn)閍=5>0,對(duì)稱軸為直

線x=-3,所以當(dāng)x<-3時(shí),y隨x的增大而減小,故D錯(cuò)誤.4.(2021江蘇泰州中考)在函數(shù)y=(x-1)2中,當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增

大而

.(填“增大”或“減小”)增大解析函數(shù)y=(x-1)2中,a=1>0,所以拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸

為直線x=1,所以當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大.5.(新獨(dú)家原創(chuàng))(易錯(cuò)題)已知點(diǎn)A(2,a)與點(diǎn)B(b,4)關(guān)于拋物線

y=-2(x+1)2的對(duì)稱軸對(duì)稱,則ab=

.-16解析由拋物線的表達(dá)式可知其對(duì)稱軸為直線x=-1,所以點(diǎn)

A,B關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,所以2+b=-1×2,a=4,所以b=-4,所以ab=

-16.易錯(cuò)警示關(guān)于直線x=-1對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和等于-

2,縱坐標(biāo)相等.容易和關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反

數(shù)混淆而導(dǎo)致出錯(cuò).6.已知拋物線y=a(x+h)2的對(duì)稱軸為直線x=-2,且過(guò)點(diǎn)(1,-3).(M

9121002)(1)求此拋物線的表達(dá)式.(2)當(dāng)x取何值時(shí),y隨x的增大而增大?當(dāng)x取何值時(shí),函數(shù)有最

值?最值是多少?解析

(1)由題意可知h=2,∴y=a(x+2)2.∵拋物線過(guò)點(diǎn)(1,-3),

∴-3=a·32,解得a=-

,∴此拋物線的表達(dá)式為y=-

(x+2)2.(2)∵a=-

<0,對(duì)稱軸為x=-2,∴當(dāng)x<-2時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x=-2時(shí),該函數(shù)有最大值,最大值為0.7.(2024安徽合肥月考,9,?)已知函數(shù)y=2(x-1)2,當(dāng)-1≤x≤2時(shí),y的最大值與最小值的和為

(

)A.8B.10C.2D.0能力提升全練A解析∵函數(shù)y=2(x-1)2中,a=2>0,∴函數(shù)圖象開(kāi)口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),∵-1≤x≤2,拋物線對(duì)稱軸為x=1,∴當(dāng)x=1時(shí),y最小=0,當(dāng)x=-1時(shí),y最大=2×(-1-1)2=2×4=8,∴y的最大值與最小值的和為8+0=8.故選A.8.(2023四川南充中考,7,?)若點(diǎn)P(m,n)在拋物線y=ax2(a≠0)上,則下列各點(diǎn)在拋物線y=a(x+1)2上的是(M9121002)(

)A.(m,n+1)B.(m+1,n)C.(m,n-1)D.(m-1,n)D解析∵點(diǎn)P(m,n)在拋物線y=ax2(a≠0)上,拋物線y=a(x+1)2

可由拋物線y=ax2向左平移一個(gè)單位得到,∴點(diǎn)P向左平移一

個(gè)單位后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(m-1,n),故點(diǎn)(m-1,n)在拋物線y=

a(x+1)2上.故選D.9.(2019臺(tái)灣省中考,26,?)如圖,坐標(biāo)平面上有一頂點(diǎn)為A的拋物線,此拋物線與直線y=2交于B、C兩點(diǎn),△ABC為正三

角形.若A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),則此拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為何?(

)A.

B.

C.(0,9)D.(0,19)B解析過(guò)C作CD⊥x軸于D(圖略),設(shè)B(-3-m,2),C(-3+m,2)(m>

0),∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),∴BC=2m.∵△ABC為正三角形,∴AC=BC=2m,∠CAO=60°,∴∠ACD=30°,∴AC=2AD,又∵AC2=AD2+CD2,CD=2,∴m=

,∴C

.設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+3)2,∴a

=2,∴a=

,∴y=

(x+3)2,當(dāng)x=0時(shí),y=

.故選B.10.(分類討論思想)(2024安徽合肥月考,14,?)已知二次函數(shù)y=-(x-h)2(h是常數(shù)),且自變量取值范圍是2≤x≤5.(1)當(dāng)h=3時(shí),函數(shù)的最大值是

;(2)若函數(shù)的最大值為-1,則h的值是

.06或1解析

(1)∵h(yuǎn)=3,∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-3)2.∵2≤x≤5,-1

<0,拋物線對(duì)稱軸為x=3,∴當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)有最大值0.(2)∵二次函數(shù)y=-(x-h)2的圖象開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=h,頂點(diǎn)

在x軸上,∴該函數(shù)圖象大致如下:

當(dāng)h<2時(shí),由題意結(jié)合圖象,可知當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5

時(shí),函數(shù)的最大值在x=2處取得,即-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍

去);當(dāng)2≤h≤5時(shí),函數(shù)y=-(x-h)2的最大值為0,不符合題意;當(dāng)

h>5時(shí),由題意結(jié)合圖象,可知當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí),

函數(shù)的最大值在x=5處取得,即-(5-h)2=-1.解得h3=4(舍去),h4=

6.綜上所述,h的值為1或6.11.(幾何直觀)設(shè)函數(shù)y1=-(x-m)2,y2=-(x-n)2,直線x=1與函數(shù)y1,y

2的圖象分別交于點(diǎn)A(1,a1),B(1,a2),得

(

)A.若1<m<n,則a1<a2B.若m<1<n,則a1<a2C.若m<n<1,則a1<a2D.若m<n<1,則a2<a1素養(yǎng)探究全練C解析如