第一章?綜合檢測卷(時間：90分鐘

滿分：120分)考查內(nèi)容：勾股定理一、選擇題(共有10小題,每小題3分,共30分)1.(2024貴州六盤水期中,6,★☆☆)在Rt△ABC中,斜邊BC=5,則AB2+AC2+BC2的值為

()A.15

B.25

C.50

D.無法計算C2.(2021山西中考,8,★☆☆)在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中,我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用如圖所示的圖形,驗

證著名的勾股定理,這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法,簡稱為“無字證明”.

實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù),圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律,它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思

想是

()

A.統(tǒng)計思想

B.分類思想

C.數(shù)形結(jié)合思想

D.函數(shù)思想C3.(2023四川巴中期末,8,★☆☆)一棵美麗的“勾股樹”如圖所示,其中所有的四邊形都是正方

形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的邊長分別是3,5,2,3,則最大的正方形E的面

積是()

A.13

B.26

C.34

D.47D由勾股定理得,正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=32+52=34,正方形G的面積=正

方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13,所以正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積

=47.故選D.4.(★☆☆)下列四組線段中,能組成直角三角形的是

()A.a=32,b=42,c=52

B.a=11,b=12,c=13C.a=5,b=12,c=13

D.a=1,b=1,c=2C5.

(2023河北滄州期末,10,★★☆)如圖,某超市為了吸引顧客,在超市門口離

地4.5m的墻上裝了一個由傳感器控制的門鈴A,只要人走到離門口4m及4m以內(nèi),門鈴就會自動

發(fā)出語音“歡迎光臨”,若一個身高1.5m的學(xué)生走到D處,門鈴恰好自動響起,則該學(xué)生頭頂C到

門鈴A的距離為()

A.3m

B.4m

C.5m

D.6mC如圖,過點C作CE⊥AB,交AB于點E.

由題意可知,BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),CE=4m,在Rt△ACE中,由勾股定理得AC2=

AE2+CE2,∴AC=5m,即該學(xué)生頭頂C到門鈴A的距離為5m.故選C.6.(2023山東威海期中改編,11,★★☆)如圖,∠AOB=90°,OA=36cm,OB=12cm,點P從點A出發(fā)沿

AO向點O勻速運(yùn)動,點Q同時從點B出發(fā),沿BC勻速前進(jìn)攔截點P,恰好在點C處攔截了點P.若點P

與點Q運(yùn)動的速度相等,則點Q運(yùn)動的路程為()

A.13cm

B.20cm

C.24cm

D.16cmB由題意可知BC=AC,設(shè)BC=xcm,則OC=(36-x)cm.在Rt△BOC中,由勾股定理得OB2+OC2=BC2,即122

+(36-x)2=x2,解得x=20.故選B.7.

(2024重慶十一中月考,8,★★☆)某數(shù)學(xué)興趣小組開展了探究“筆記本電

腦的張角大小”的實踐活動.如圖,當(dāng)張角為∠BAF時,頂部邊緣B處到桌面的距離BC為7cm,此時

底部邊緣A處與C處間的距離AC為24cm,小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究,最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為

∠DAF時(D是B的對應(yīng)點),頂部邊緣D處到桌面的距離DE為20cm,則底部邊緣A處與E處間的距

離AE為

()

A.15cm

B.18cm

C.21cm

D.24cmA由題意可知,AC=24cm,BC=7cm,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴AB=25cm,∴AD=AB=25cm,∵DE=20cm,在Rt△ADE中,AE2=AD2-DE2,∴AE=15cm.8.(2024河北保定高碑店、清苑期中,14,★★☆)對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形,現(xiàn)有

如圖所示的垂美四邊形ABCD,對角線AC,BD交于點O.若AD=1,BC=4,則AB2+CD2等于()

A.15

B.16

C.17

D.20C∵AC⊥BD于點O,AD=1,BC=4,∴AO2+DO2=AD2=12=1,BO2+CO2=BC2=42=16,BO2+AO2=AB2,CO2+DO2=CD2,∴AB2+CD2=BO2+AO2+CO2+DO2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2)=1+16=17.9.(2024山東棗莊滕州東郭中學(xué)開學(xué)測試,11,★★☆)如圖,一支長為15cm的鉛筆放在長方體筆筒

中,已知筆筒的長,寬,高依次為4cm,3cm,12cm,那么這支鉛筆露在筆筒外的部分的長度x的范圍

是

()

A.2cm≤x≤5cm

BB.2cm≤x≤3cmC.4cm≤x≤5cmD.9cm≤x≤12cm由題意知,當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底部放置時,鉛筆露在筆筒外的部分的長度x最大,最大值為15-12=3

(cm).42+32+122=169,結(jié)合題圖可知,鉛筆在筆筒內(nèi)的部分的長度最大為13cm,∴鉛筆露在筆筒外的部

分的長度x的最小值為15-13=2(cm),∴這支鉛筆露在筆筒外的部分的長度x的范圍是2cm≤x≤3cm.10.(2023河北石家莊四十一中模擬,16,★★★)圖①、圖②的兩個正方形網(wǎng)格的面積分別為S1、S2,正方形ABCD和正方形MNPQ滿足

=

,下列結(jié)論正確的是

()

A.S1=36

B.S正方形ABCD=

S1

DC.S正方形MNPQ=

S2

D.

=

設(shè)題圖①中組成網(wǎng)格的每個小正方形的邊長是x,題圖②中組成網(wǎng)格的每個小正方形的邊長是y,∴S1=36x2,S2=36y2,∵S正方形ABCD=AB2=(2x)2+(4x)2=20x2,∴

=

,∴S正方形ABCD=

S1,故B錯誤.∵S正方形MNPQ=MN2=(3y)2+(3y)2=18y2,∴

=

,∴S正方形MNPQ=

S2,故C錯誤.∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ,∴20x2=18y2,∴

=

,∴

=

,故D正確.∵題圖①中組成網(wǎng)格的每個小正方形的邊長未知,∴S1不一定等于36,故A錯誤.11.(2024河南駐馬店驛城期中,12,★☆☆)如圖所示的是一個長80cm,寬60cm的長方形木框,需

在對角的頂點間釘一根木條用來加固,則木條的長至少為

cm.

100二、填空題(共有6小題,每小題4分,共24分)12.

(2023河北石家莊橋西期中改編,18,★☆☆)某公園的一角如圖所示,有人

為了抄近道而避開路的拐角∠ABC(∠ABC=90°),在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“捷徑路AC”.

已知AB=8米,BC=6米,他們踩壞草坪只為少走

米的路.

4在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8米,BC=6米,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=82+62=100,故AC=10米,

∴BC+AB-AC=6+8-10=4(米),∴他們踩壞草坪只為少走4米的路.13.(2024重慶南開中學(xué)期中,16,★★☆)如圖,∠BAC=90°,AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,則∠DBA=

°.

45∵∠BAC=90°,AB=4,AC=4,∴∠ABC=45°,BC2=AB2+AC2=32,∵BD=7,DC=9,∴BD2+BC2=49+32=81=92=DC2,∴△DBC是直角三角形,∠DBC=90°,∴∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°.14.(★★☆)如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,C均在小正方形的頂點上,

BD⊥AC于點D,則BD的長為

.

由勾股定理得,AC2=32+42=25,∴AC=5,∵BD是△ABC中AC邊上的高,∴

×5·BD=

×3×3,解得BD=

.等面積法等面積法也叫等積法,是幾何中常用的一種方法,其特點是把已知量和未知量用面積公式聯(lián)

系起來,通過運(yùn)算求線段的長.方法技巧15.

(2022湖北黃岡、孝感、咸寧中考,15,★★☆)勾股定理最早出現(xiàn)在商高

的《周髀算經(jīng)》:“勾廣三,股修四,徑隅五.”觀察下列勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;7,24,25;…….這類勾

股數(shù)的特點:勾為奇數(shù),弦與股的差為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù),弦與股的差為2的一類勾股數(shù),如:

6,8,10;8,15,17;…….若此類勾股數(shù)的勾為2m(m≥3,m為正整數(shù)),則其弦是

(結(jié)果用含m的

式子表示).m2+1∵m為正整數(shù),∴2m為偶數(shù),設(shè)其股為a,則弦為a+2,根據(jù)勾股定理得,(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1,∴弦是a+2=m2-1+2=m2+1.16.(2023四川廣安中考,15,★★★)如圖,圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁

離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜,此時,一只螞蟻正好在杯外壁上,它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相

對的點B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為

cm.(杯壁厚度不計)

10如圖,將杯子側(cè)面展開(展開圖的一半),作B關(guān)于EF的對稱點B',作B'D垂直于AE,交AE的延長線于點D,連接B'A,則B'A的長即為最短距離,由題可知,B'D=

×16=8(cm),AD=9-4+1=6(cm),∵B'A2=B'D2+AD2=100,∴B'A=10cm.

將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,利用“軸對稱的性質(zhì)”將線段和最短的問題轉(zhuǎn)化成“兩點之間線

段最短”的問題,確定最短路徑,再構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求距離.方法解讀三、解答題(共有6小題,共66分)(含評分細(xì)則)17.(8分)(2023廣東肇慶德慶期末,17,★☆☆)如圖,小明準(zhǔn)備建一個鮮花大棚,棚寬BE=4米,高AE=

3米,長AD=10米,棚的斜面用長方形玻璃ABCD遮蓋,不計墻的厚度,請計算陽光透過的最大面積.

在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,AE=3米,BE=4米,∴AB=5米,

(4分)長方形ABCD的面積=10×5=50(平方米).

(6分)答:陽光透過的最大面積是50平方米.

(8分)18.

(8分)(2021四川攀枝花中考,19,★☆☆)下圖是“弦圖”的示意圖,“弦

圖”最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的,它標(biāo)志著中國古代的數(shù)

學(xué)成就.它由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成,恰好拼成一個大正方形,每個直角三角

形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.請你運(yùn)用此圖形證明勾股定理:a2+b2=c2.

因為S大正方形=4×S直角三角形+S小正方形=4×

ab+(b-a)2

(2分)=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2,

(5分)S大正方形=c2,

(7分)所以a2+b2=c2.

(8分)19.(12分)(★★☆)如圖所示,有一個直角三角形紙片,∠ACB=90°,AC=12cm,AB=20cm,現(xiàn)將直角

三角形紙片沿直線AD折疊,使點C落在斜邊AB上的點E處,連接DE,求CD的長.

在Rt△ABC中,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,∴BC=16cm.

(3分)由折疊的性質(zhì)可知,DC=DE,AC=AE=12cm,∠DEA=∠C=90°.∴BE=AB-AE=8cm,∠DEB=90°.

(6分)設(shè)DC=DE=xcm,則BD=(16-x)cm.在Rt△BDE中,由勾股定理得BE2+ED2=BD2,即82+x2=(16-x)2,

(10分)解得x=6,∴CD=6cm.

(12分)20.(12分)(2023河南焦作期末改編,20,★★☆)如圖,四邊形ABCD中,∠B=90°,AC為對角線,AE⊥

CD于點E,已知AB=8,BC=6,CD=26,AD=24.(1)請判斷△ACD的形狀并說明理由.(2)求線段AE的長.

(1)△ACD是直角三角形.

(1分)理由:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,∴AC2=AB2+BC2=82+62=100,∴AC=10,

(4分)∵CD=26,AD=24,∴CD2-AD2=262-242=100=AC2,∴△ACD是直角三角形.

(7分)(2)由(1)知,△ACD是直角三角形,且∠CAD=90°.∵S△ACD=

AC·AD=

AE·DC,

(9分)∴AE=

=

=

.

(12分)21.

(12分)(2023江西宜春期中,15,★★★)如圖,有一架秋千,當(dāng)它靜止在

AD位置時,踏板離地面EF的垂直高度為0.6m,將秋千AD往前推送3m,到達(dá)AB位置,此時,秋千的

踏板離地面的垂直高度為1.6m,秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài).(1)根據(jù)題意,BF=

m,BC=

m,CD=

m.(2)根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù),求秋千的長度.(3)如果想要踏板離地面的垂直高度為2.6m,需要將秋千AD往前推送

m.(1)1.6;3;1.

(3分)(2)∵BC⊥AC,∴∠ACB=90°,設(shè)秋千的長度為xm,則AB=AD=xm,AC=AD-CD=(x-1)m,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即(x-1)2+32=x2,

(7分)解得x=5,即秋千的長度是5m.

(10分)(3)4.

(12分)詳解:當(dāng)BF=2.6m時,CE=2.6m,∵DE=0.6m,∴CD=CE-DE=2.6-0.6=2(m),由(2)可知,AD=AB=5m,∴AC=AD-CD=5-2=3(m),在Rt△ABC中,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,∴BC=4m,即需要將秋千AD往前推送4m.22.(14分)(新獨(dú)家原創(chuàng),★★★)“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想,將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形是

解決“螞蟻爬行最短路徑問題”的方法.【基礎(chǔ)研究】螞蟻在正方體表面爬行問題:如圖①所示的是一個正方體,一只螞蟻從點A出發(fā),沿

著正方體的表面爬行到點G,怎樣爬行路徑最短?要解決這個問題,我們可以把正方體的表面展

開,把立體圖形兩個面上的兩點A,G之間的最短路徑問題轉(zhuǎn)化為同一個面上兩點之間的距離問