圓錐曲線中的證明、探索性問題1．已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)B(42，－3)，D(22，0)，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：GDGE＝HD2．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且點(diǎn)(3，22)和點(diǎn)(6，2)在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)與拋物線Γ：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的距離為4.(1)求橢圓C和拋物線Γ的方程；(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0)與拋物線Γ交于P，Q兩點(diǎn)，與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．①若m＝k，拋物線Γ在點(diǎn)P，Q處的切線交于點(diǎn)S，求證：|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2；②若m＝－2k，是否存在定點(diǎn)T(x0，0)，使得直線MT，NT的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a>0，b(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0．過P且斜率為－3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點(diǎn)M，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.4．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0，12的距離，記動(dòng)點(diǎn)P(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33.參考答案1．解：(1)由題意可得32a2?9b2＝1，2a2+b(2)證明：設(shè)E(42，t)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，當(dāng)x＝42時(shí)，即3216?y29因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±34x故當(dāng)直線DE與漸近線平行時(shí)，此時(shí)和雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線DE方程為y＝±34(x－22)令x＝42，則y＝±322，故|t|≠則直線DE：y＝t22(x－2由y=得(9－2t2)x2＋82t2x－16t2－144＝0，所以x1＋x2＝82t22t2?9，GD·HE?GE·DH＝(22－x1，－y1)·(42－x2，t－y2)－(42－x1，t－y1)·(x2＝2x1x2＋2y1y2－62(x1＋x2)－t(y1＋y2)＋32＝2+t24x1x2－324t2+62(＝4t2+8t所以GD·HE＝所以|GD||HE|cos0＝|GE||DH|cos0，即GDGE＝HD2．解：(1)設(shè)橢圓C的方程為λx2＋μy2＝1(λ≠μ，λ＞0，μ＞0)，∵點(diǎn)(3，22)和(6，2)在橢圓C上，∴3λ+8μ=1解得λ=∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2由橢圓C的方程可知，橢圓C的左頂點(diǎn)為(－3，0)，又Fp2∴p2－(－3)＝4，解得p∴拋物線Γ的方程為y2＝4x.(2)①證明：當(dāng)m＝k時(shí)，直線l：y＝k(x＋1)，即x＝1ky令1k＝n，則直線l：x＝ny－1，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2由x=ny?1，y2=4x，得則Δ＝16n2－16＞0，∴n2＞1，∴y1＋y2＝4n，y1y2＝4.設(shè)拋物線Γ在點(diǎn)P，Q處的切線方程分別為x＝n1(y－y1)＋x1，x＝n2(y－y2)＋x2，由x=n1y?y1+x1，y2=4x，得y2－4n1y＋4n1y1－4x1＝0，∴又y12＝4x1，則4y1∴16n12?16n1y1+4y12＝4(2n1同理可得2n2＝y(tǒng)2.聯(lián)立兩切線方程x=n1y?y1+x1，x=n2y?解得x=y1y24∴|SP|2＝(x1－1)2＋(y1－2n)2，又x1＝ny1－1，∴|SP|2＝(ny1－2)2＋(y1－2n)2＝n2+1y12－8ny同理可得|SQ|2＝n2+1y22－8ny∵PFQF＝x1+1x2∴要證|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2，等價(jià)于證明y1·|SQ|2＝y(tǒng)2·|SP|2，∵y1·|SQ|2＝n2+1y1y22－8ny1y2＋4(n2＋1)y1，又y1y2＝4，∴y1·|SQ|2＝4(n2＋1)(y同理可得y2·|SP|2＝4(n2＋1)(y1＋y2)－32n，∴y1·|SQ|2＝y(tǒng)2·|SP|2，即|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2.②當(dāng)m＝－2k時(shí)，直線l：y＝k(x－2)，假設(shè)存在點(diǎn)T(x0，0)，使直線MT，NT的傾斜角互補(bǔ)，則直線MT，NT的斜率之和為0.設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，由y=kx?2，y212+x29=1，得(3k2∴Δ2＝(12k2)2－4(3k2＋4)(12k2－36)＞0，即5k2＋12＞0恒成立，∴x3＋x4＝12k23k2+4，x∵y3∴k(x3－2)(x4－x0)＋k(x4－2)(x3－x0)＝0，即2x3x4－(x0＋2)(x3＋x4)＋4x0＝0，∴24k2?723k2+4－(x0即16x0?723k2∴假設(shè)成立，即存在點(diǎn)T92，0，使得直線MT3．解：(1)由題意可得ba＝3，a2+b2＝2，故a＝1，b＝3.因此(2)設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b(k≠0)，將直線PQ的方程代入C的方程得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，則x1＋x2＝2kb3?k2，x1x2＝－b2+33?k2，所以3－k2<0，所以x1設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM，yM)，則y兩式相減，得y1－y2＝23xM－3(x1＋x2)，而y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，故23xM＝k(x1－x2)＋3(x1＋x2)，解得xM＝kb兩式相加，得2yM－(y1＋y2)＝3(x1－x2)，而y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，故2yM＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2b，解得yM＝?3b2+3?k2因此，點(diǎn)M的軌跡為直線y＝3kx，其中k為直線PQ若選擇①②：證明：因?yàn)镻Q∥AB，所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，并設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令點(diǎn)A在直線y＝3x上，則yA=kxA?2，yA=3x同理可得xB＝2kk+3，yB＝－此時(shí)xA＋xB＝4k2k2?3，yA＋而點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足yM=kxM?2，yM=3kxM，解得xM＝2k2k2若選擇①③：證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn)F(2，0)，此時(shí)M不在直線y＝3kx當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝m(x－2)(m≠0)，并設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令點(diǎn)A在直線y＝3x上，則yA=mxA?2，yA=3x同理可得xB＝2mm+3，yB＝－因?yàn)镸在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝xA+xB2＝2m2m由于點(diǎn)M同時(shí)在直線y＝3kx上，故6m＝3k·2m2，解得k＝m.因此PQ∥若選擇②③：證明：因?yàn)镻Q∥AB，所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，并設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令點(diǎn)A在直線y＝3x上，則yA=kxA?2，yA=3x同理可得xB＝2kk+3，yB＝－設(shè)AB的中點(diǎn)為C(xC，yC)，則xC＝xA+xB2＝2k2k由于|MA|＝|MB|，故M在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線y－yC＝－1k(x－xC將該直線與y＝3kx聯(lián)立，解得xM＝2k2k2?3＝xC，yM＝6kk2?3＝y(tǒng)C4．解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，依題意得|y|＝x2化簡(jiǎn)得x2＝y(tǒng)－14所以W的方程為x2＝y(tǒng)－14(2)證明：設(shè)矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在W上，則AB⊥BC，矩形ABCD的周長為2(|AB|＋|BC|)．設(shè)Bt，t2故可設(shè)直線AB的方程為y－t2+14＝k(x－與x2＝y(tǒng)－14聯(lián)立，得x2－kx＋kt－t2＝0則Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2＞0，所以k≠2t.設(shè)A(x1，y1)，所以t＋x1＝k，所以x1＝k－t，所以|AB|＝1+k2|x1－t|＝1+k2|k－2t|＝1+k|BC|＝1+?1k2?1k?2t＝1+k所以2(|AB|＋|BC|)＝21+k2k2(|2k2t－所以|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝(?2①當(dāng)2k－2k2≤0，即k≥1時(shí)，函數(shù)y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在?∞，?12k上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在?12k，k2上單調(diào)遞減或是常數(shù)函數(shù)(當(dāng)k＝1時(shí)是常數(shù)函數(shù))，函數(shù)y＝(2k2＋2所以當(dāng)t＝k2時(shí)，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值為k2又k≠2t，所以2(|AB|＋|BC|)＞21+k2k2(令f(k)＝21+k23則f′(k)＝21+當(dāng)1≤k＜2時(shí)，f′(k)＜0，當(dāng)k＞2時(shí)，f′(k)＞0，所以函數(shù)f(k)在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(k)≥f(2)＝33，所以2AB+BC＞②當(dāng)2k－2k2＞0，即0＜k＜1時(shí)，函數(shù)y＝(－2k2－2k)t＋k3－1在?∞，?12k上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝(2k－2k2)t＋k3＋1在?12k，k2上單調(diào)遞增，函